Déterminer la vitesse minimale pour faire le tour d'un looping

[invite59bce975]

Bonjour,

Mes collègues et moi sommes coincés sur un problème de mécanique. Nous devons déterminer, comme le titre l'indique, la vitesse minimale initiale nécessaire pour qu'un véhicule fasse le tour d'un looping. Le véhicule est en roue libre et les frottements du sol et de l'air sont ignorés.



On ne considère que le looping, pas la pente qu'il y a avant. Jusqu'ici nous avons étudier le problème dans un repère polaire, en définissant un angle thêta représentant l'angle entre la position de la voiture sur le looping et l'horizontal à partir du centre de celui-ci.
Nous avons ensuite déterminé les équations horaires et avons obtenue :

OM = rU_R
v_m = ra'U_a
a_m = r(a''U_a+a'²U_R)

Avec a à la place de thêta (pour l'écriture),
r le rayon du looping,
m la position du véhicule sur le looping

Nous sommes bloqués ici, nous ne savons pas comment continuer l'exercice. Si vous pouviez nous éclairer sur la marche à suivre pour la suite.
Nous ne devons pas utilisé les énergies car juste après, nous devons refaire la même mais en considérant les frottements du sol et de l'air.

[albanxiii]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

Vous pouvez faire un bilan des forces et imposer que la réaction normale ne soit jamais nulle pour trouver la condition de non décollement. Classique...

[invitef29758b5]

Salut

Passez par l' énergie potentielle et cinétique .

[Deedee81]

Salut,

Passez par l' énergie potentielle et cinétique .

L'idée est bonne mais.... il dit qu'il doit ensuite tenir compte des frottements. La méthode proposée par Albanxiii est plus générale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite59bce975]

Pouvez-vous m'en dire plus, je ne vois pas comment imposé la condition que la réaction normal ne soit jamais nulle et faire le lien avec notre équation différentielle de l'accélération.

[albanxiii]

Je vous ai dit comment faire dans mon message. Bilan de forces, lois de Newton et résolution des équations. Commencez et postez ici, on vous guidera si nécessaire.

[invite59bce975]

En faisant le bilan des forces, nous obtenons :
ma = m(v²/r)(cosaU_R-sinaU_a) - mg(cosaU_R-sinaU_a)

on en déduit l’accélération en supprimant m

Nous tombons sur deux équations différentielle.

Sur U_R :
cosa * ((v²/r) - g) = ra'²

Sur U_a :
gsina-(v²/r)sina = ra''

Je suppose donc qu'il faut résoudre l'équation sur U_R. En revanche, après pas mal de recherche, je n'ai pas trouver comment la résoudre.

[petitmousse49]

Bonjour à tous
J'ai l'impression que tout ce qui a été écris dans les messages précédents suppose le véhicule assimilable à un point matériel (masse ponctuelle). Un modèle réduit de voiture permettant une rotation des roues sans trop de frottements solides possède une longueur de plusieurs centimètres (5cm peut-être) alors que le rayon de la piste n'est que de 11,5cm... Connaissant la distance entre les axes de rotation avant et arrière de la voiture, il serait sans doute possible de déterminer le rayon de la trajectoire du centre d'inertie du véhicule mais négliger l'influence de la rotation propre du véhicule autour de son centre d'inertie....

[stefjm]

Pouvez-vous m'en dire plus, je ne vois pas comment imposé la condition que la réaction normal ne soit jamais nulle et faire le lien avec notre équation différentielle de l'accélération.

La force centrifuge doit au moins équilibrer le poids en haut du looping.

[jacknicklaus]

La force centrifuge doit au moins équilibrer le poids en haut du looping.

ca n'est pas suffisant. car le mobile pourrait respecter cet équilibre, mais aussi partir du sommet selon une trajectoire parabolique, avec un rayon de courbure éventuellement plus petit que celui du cercle de looping : et plouf.
Il faut soit partir du bilan de forces comme suggéré par albanxiii, soit si vous connaissez, utiliser l'équation d'Euler-Lagrange et une condition de contrainte avec le multiplicateur de Lagrange.

[albanxiii]

Euler-Lagrange est plus élégant en effet.

Il faut soit partir du bilan de forces comme suggéré par albanxiii,

De mémoire, il y a un exercice corrigé qui traite ce problème de "Mécanique, fondements et application" de J-Ph. Pérez.

[Black Jack 2]

ca n'est pas suffisant. car le mobile pourrait respecter cet équilibre, mais aussi partir du sommet selon une trajectoire parabolique, avec un rayon de courbure éventuellement plus petit que celui du cercle de looping : et plouf.
Il faut soit partir du bilan de forces comme suggéré par albanxiii, soit si vous connaissez, utiliser l'équation d'Euler-Lagrange et une condition de contrainte avec le multiplicateur de Lagrange.

Bonjour,
Je ne suis pas d'accord avec le "ca n'est pas suffisant".
L'énoncé parle bien de frottement à négliger et la condition annoncée (force centrifuge au point haut >= poids du véhicule est bien suffisante)

Lorsque le véhicule dépasse le point haut, la vitesse augmente (conservation de l'énergie mécanique) et donc la force centrifuge augmente ... alors que la composante radiale du poids diminue et donc la réaction du support conserve bien le bon sens.

Donc si cela passe au point haut ... cela continue de passer dans la redescente passé le point haut.

Si les effets des frottements ne peuvent plus être ignorés, alors il faut absolument passer faire un bilan des forces et ...

[stefjm]

Bonjour,
Donc si cela passe au point haut ... cela continue de passer dans la redescente passé le point haut.

En suivant le cercle du looping ou la parabole de chute libre?

[calculair]

il faut que V**2/R > g

V**2 > g R

V**2 = 0,13 *10 = 1,3

V approximativement égal 1,15 m/s et cela au sommet de la boucle
je rappelle les hypothèses :"Les frottements du sol et de l'air sont ignorés."

[calculair]

si la voiture par du sommet du plan incliné , sa hauteur de chute est da 0,93- 0,23 = 0,7m

on a E = 1/2 mV**2

1/2 m V**2 = m g h

V**2 = 2 g h

2 x 10 x 0,7 = 20 x 0,7 =14

V = 3,7 m/s

le looping se fait sans problème

comme la vitesse minimale est V**2 = 1,3. alors h mini = 1,3 /(2 g ) =1,3 / 20 = 0,065m tu ajoutes le diamètre de la boucle 0,23 + 0,065 = 0,295 m

[Black Jack 2]

En suivant le cercle du looping ou la parabole de chute libre?

N'est-ce pas évident ?

Si le mobile passe au point haut du cercle du looping ... il continuera sa route sur le cercle.

Et ce sera le cas si, au point haut du cercle du looping, on a m.v²/r >= m.g

[stefjm]

L'évidence entre la parabole de chute libre et le cercle?
Non, ce n'est pas évident.

[calculair]

Le travail dans le champ de pesanteur ne dépend que l'altitude de départ et d'arrivée E = somme de h1 à h2 m g dh le resultat ne dépend que des bornes

L'évidence entre la parabole de chute libre et le cercle?
Non, ce n'est pas évident.

[stefjm]

Et en quoi cela pouve que c'est le cercle qui est suivi et pas la parabole de chute libre loes de la fin de looping?

[invitede656be3]

Je vais essayer d’être plus concret que dans mon précédent message .
Donc vitesse au sommet : conservation de l’énergie d’où
m.g.(h1-d) = 1/2 m.vs avec m = 0.03 kg h1 = 0.93 m d = 0.23 m
vs = sqrt( 2.g (h1- d)) vs = sqrt( 2 * 9.81* 0.7) = 3.70 m/s
Force centrifuge au sommet m. vs^2/ d/2 = 2 m.vs^2 /d = 2*0.03*(3.7)^2/0.23 = 3.57 N
Poids m.g = 0.03 *9.81 = 0.294 N
Donc si la voiture part du haut de la rampe il y a une très grosse marge.
Si on veux être très rigoureux on doit justifier que vs est la bonne vitesse à utiliser.
Dans la montée Vm > vs (conservation de l'énergie) et le poids est projeté sur le rayon donc avec un sin(teta) < 1 . Poids plus petit, force centrifuge plus grande CQFD
Même chose pour la descente.
Pour « pinailler" :
1)Le centre de gravité n’est pas au niveau de roue d'où une variation de l’énergie potentielle. Refaire le calcul avec un diamètre plus petit tenant compte de la distance roue / centre de gravité
2)La force d’appui au sommet ne doit pas être nulle ou un peu positive. Il faut un minimum d’adhérence de force d’appui sinon ça part dans le décor. La valeur maxi est le poids puisque ça marche sur une trajectoire normale.

Les frottements : en général pour les forces de roulement on prends F = alpha * v Pour la résistance de l'air F = ½ Ro v^2 Cx avec Ro densité de l'air Cx facteur de trainée.
Mais cela conduit souvent à des équations différentielles qui n'ont pas de solution analytique. (Possible que l'équation donnée dans le brouillon en fasse partie). Reste le calcul numérique avec les méthodes itératives.

[Zefram Cochrane]

La force centrifuge doit au moins équilibrer le poids en haut du looping.

Oui cela donne la vitesse du point haut, il faut ajouter à cela la perte de vitesse de la caisse pour aller de l'entrée du circuit au point haut.

[jacknicklaus]

Bonjour,

Mes collègues et moi sommes coincés sur un problème de mécanique. Nous devons déterminer, comme le titre l'indique, la vitesse minimale initiale nécessaire pour qu'un véhicule fasse le tour d'un looping. Le véhicule est en roue libre et les frottements du sol et de l'air sont ignorés.

tous calculs faits, relativement simples avec Euler-Lagrange, la vitesse de la voiture à l'entrée du looping doit être à minima où R est le rayon du looping. Je peux développer si nécessaire.

[zanoloann]

Bonjour l'un de vous pourrait m'expliquer comme faire le même exercice mais cette fois-ci en prenant en compte les frottements? Ce qui complique énormément la chose (changement de repère, ...)

Merci d'avance

[invitec392c16b]

Bonjour,
je rencontre un problème un peu pareil.
Pourrais tu m'aider ?
Merci

[gts2]

Bonjour,

Comment est défini le frottement (solide, visqueux ...) ?
Si c'est solide, un mélange du message #2 de @albanxiii pour déterminer la condition de décollage et de #3 de @Dynamix pour déterminer de v² de la condition devrait vous emmener à la solution.

[XK150]

Salut ,

Par expérience , si le problème est " un peu pareil " , il vaut mieux poster d'entrée , l'énoncé complet en mot à mot , cela évite de perdre du temps ...
Et la modération va vous demander votre travail perso sur le sujet .

[invitede656be3]

Bonsoir,
La méthode a déjà été donnée par 2 participants.
Pour assurer l'adhérence sur la piste il faut que la force centrifuge soit supérieure à la composante du poids suivant le rayon.
Elle dépend de la vitesse donc il faut connaitre l'équation du mouvement. Pour cela on peut utiliser l'équation de Lagrange( voir Wikipédia) qui utilise les énergies
cinétique et potentielle.
Elle conduit à une équation différentielle du 2 eme ordre à une variable.
On obtient la vitesse sur la trajectoire et le calcul la force centrifuge.
Je joins les brouillons du début des calculs. A vérifier et poursuivre.

[gts2]

Je n'ai pas bien vu où étaient les frottements.
Si la question est bien "déterminer la vitesse minimale pour faire le tour d'un looping" (mais on attend toujours le texte complet), il n'y a pas besoin de résoudre l'équation du mouvement.

[calculair]

gts2 a raison : La condition a vérifier est que la force centripète reste supérieur au poids du mobile. Cette condition doit être vraie bien sur lors du passage à vitesse minimale dans la boucle.
Apres vous pouvez prévoir une marge de sécurité pour faire la manip en vraie.....

Je n'ai pas bien vu où étaient les frottements.
Si la question est bien "déterminer la vitesse minimale pour faire le tour d'un looping" (mais on attend toujours le texte complet), il n'y a pas besoin de résoudre l'équation du mouvement.