Questions sur une expérience mentale en relativité restreinte

[Yelkel]

Bonjour,
J’ai récemment regardé une vidéo sur YouTube détaillant au début une expérience mentale qui amènerait à comprendre (du moins partiellement) la signification de la formule E=mc^2. Je ne pense pas avoir tout à fait compris l’expérience, du moins dans toutes ses subtilités. C’est pour ça que je vais essayer de l’expliquer telle que je l’ai interprétée avec mes mots et en appelle à votre aide pour me corriger si j’ai effectivement mal compris certains points. N’étant pas un très grand physicien il se peut que je dise d’énormes bêtises ou que mes explications ne soient pas totalement claires et compréhensibles, excusez m’en par avance. Il se pourrait aussi que le raisonnement sur l’expérience de la vidéo que j’ai visualisée (et que je m’apprête à vous décrire) soit incohérent ou tellement vulgarisé qu’il en perde son propos. N’ayant qu’un niveau de math et de physique médiocre, je ne pense pas avoir un regard suffisamment critique pour remettre en question le raisonnement de la vidéo. Certaines choses effectivement me semblent étranges mais je ne suis pas du tout sûr de moi. Et sous les conseils d'un ami j'ai décidé de poser mes questions. Alors j'écris certainement beaucoup trop mais au moins j’espère que tout est dit. Aidez-moi à comprendre. Si vous voulez vérifier cela ou voir ce qu’elle dit en détail, j’ai mis à la fin un lien vers la vidéo. Merci d’avance.

Donc on nous présente tout d’abord un "personnage" que j’appellerai A avec un double sabre laser. Il envoie horizontalement depuis les deux côtés opposés de son sabre, deux faisceaux de lumière. La vitesse de A et du sabre est nulle et reste inchangée lors de l’envoi des faisceaux et plus généralement lors de toute l’expérience. Les deux faisceaux envoyés par le sabre prennent des directions opposées que je noterai avec les vecteurs u1 et u2 (u1 = - u2). Je résume la scène : A, immobile, envoie à un moment deux faisceaux de lumière horizontalement, dans deux directions opposées. Donc si on fait un bilan de l’énergie perdue par A et son sabre depuis le référentiel de A, on peut dire qu’ils ont seulement perdu l’énergie lumineuse des deux faisceaux envoyés.
Maintenant on rejoue la même scène, mais ce, depuis le référentiel d’un autre "personnage" que j’appellerai B. La vidéo propose de refaire le bilan de l’énergie perdue par A et son sabre, mais depuis le référentiel de B. Dans notre situation B court vers A à une vitesse v1 pour s’arrêter au bout d’un moment devant lui. Dans notre exemple B court dans la même direction que le faisceau dont la direction est le vecteur u2. Il rencontrera donc dans sa course le faisceau dont la direction est le vecteur u1. Donc si je rejoue la scène depuis le référentiel de B : B court vers A, rencontre un des faisceaux du sabre laser et s’arrête devant A. La, on fait le bilan de l’énergie perdue par A et son sabre mais depuis le référentiel de B. Donc lorsque B commence à courir, A gagne une énergie cinétique, puis perd l’énergie lumineuse des deux faisceaux de son sabre pour finalement lorsque B s’arrête, perdre son énergie cinétique.
Quelques questions pour être sûr : On est bien d’accord sur le fait que dans le référentiel de B c’est bien A qui avance vers B, gagne une énergie cinétique et une vitesse, quand bien même ce serait en vérité bien B qui court vers A ? Dans le référentiel de B pendant qu’il est en mouvement c’est bien le monde autour de B qui est en mouvement et non l’inverse ? Dans notre référentiel on est, quel que soit notre mouvement, immobile ?
A présent, la vidéo parle de l’effet doppler relativiste d’Einstein (quelque chose qui m’est totalement étranger), il dit (d’après ce que j’ai compris) que B, en raison de sa vitesse et de la direction de son mouvement ne perçoit pas les deux faisceaux de lumière de la même manière que A. A les voit tous les deux de la même couleur et B lui, en percevrait un plus bleu (celui qu’il rencontre pendant sa course, dont la direction est celle de u1) et l’autre plus rouge (celui qui part dans le sens de son mouvement, qu’il ne rencontrera pas et dont la direction est celle de u2). Ici, il explique que si on fait la somme de l’énergie des deux faisceaux envoyés, suivant les deux référentiels, l’énergie emportée par les deux faisceaux est plus grande dans le référentiel de B que dans celui de A (J’ai un peu de mal à visualiser ça, je ne comprends pas pourquoi les énergies des faisceaux ne se compensent pas dans le référentiel de B. Je comprends bien le fait qu’il y a un faisceau plus énergétique que l’autre mais pourquoi en faisant la somme de leurs énergies, ne se compensent-elles pas parfaitement dans son référentiel? Pour la suite de l’expérience j’admets le fait que la somme de l’énergie des deux faisceaux est différente suivant le référentiel). Ça reviendrait selon lui à dire, dans le référentiel de B, que si l’énergie cinétique de A est la même, avant et après l’allumage du double sabre, les deux bilans de l’énergie perdue, selon les référentiels de A et B ne seraient donc pas les mêmes. L’énergie totale perdue par A depuis le référentiel de B serait donc supérieure à l’énergie totale perdue par A dans son propre référentiel. Donc l’énergie perdue ne serait donc pas la même suivant l’endroit où l’on se trouve. Or d’après ses dires ce n’est pas possible, l’énergie perdue par A et son sabre devrait être la même quel que soit le référentiel.
Donc ici, il explique que si l’énergie lumineuse perdue par A est plus grande dans le référentiel de B que dans celui de A, et sachant que les deux bilans des énergies perdues sont par définition égaux, il en déduit que l’énergie cinétique de A est plus grande avant l’allumage du sabre qu’après. Or il a précisé au début que la vitesse de A est nulle et reste constante. Donc si on se fie à la formule de l’énergie cinétique (Ec = ½ mv^2), ou v représente la vitesse de A dans le référentiel de B et m la masse de A, sachant que A est immobile et en considérant que la vitesse de B est constante donc que son accélération est nulle, alors pour que l’énergie cinétique de A soit différente selon qu’on soit avant ou après l’envoie des faisceaux, il faut que la masse ait diminué. Cette masse perdue serait due, d’après ce que j’ai compris à l’allumage du sabre et à l’énergie lumineuse perdue (mais je n’en suis pas très sûr). Si c’est vrai cela voudrait donc dire que (si effectivement A et son sabre perdent de la masse) la masse perdue est de l’énergie ?
Pour finir il donne l’équation de la variation de la masse de A dans le référentiel de B. Je noterai donc m1 sa masse avant l’allumage du sabre et m2 sa masse après. On aurait donc d’après lui :
m2- m1 = 2E * [(1-v^2/c^2)^(-1/2) – 1] / v^2
Ou v représenterait la vitesse de A dans le référentiel de B (je suppose bien évidemment que v<c), E l’énergie lumineuse perdue dans le référentiel de A et bien évidemment c, la célérité de la lumière. (La suite du raisonnement me semble un peu étrange notamment en ce qui concerne le développement limité ou je n’arrive pas à trouver le même résultat, peut-être est-ce moi qui ne comprends pas, ou l’équation d’origine qui est incorrecte, si vous avez une réponse je serais curieux de la connaitre) Il ajoute que si on veut trouver cette même variation, mais dans le référentiel de A, il faudrait prendre la limite de cette équation quand v tend vers 0 (ce qui me parait logique, le mouvement de A étant inexistant dans son référentiel quel que soit son déplacement) et faire un développement limité pour finalement trouver la fameuse formule m = E/c^2 ou m représente la variation de masse (m2- m1) dans le référentiel de A.

Voilà. Merci d’avance à ceux qui m’auront lu jusqu’au bout, qui corrigeront mes erreurs et approximations et sauront éclairer mes lumières. Comme dit au début il est possible que cette expérience mentale ait été mal expliquée en ce cas je vous renvoie au lien de la vidéo. Si vous voulez regarder l’extrait dont je vous ai parlé et décrivant l’expérience, il va de 1min08 à 4min38, voici le lien : https://www.youtube.com/watch?v=GZqpMXBmRuU
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[mach3]

J'ai lu rapidement le texte et il semble qu'il y ait quelques erreurs minimes mais je dois prendre le temps de bien décortiquer pour faire une réponse valable.
La vidéo en elle-même est très bonne, c'est une chaîne que je recommande. Il faut que je prenne le temps de bien revoir cette vidéo pour être sûr du raisonnement employé et comparer avec le récit qui en est fait.

m@ch3

[Yelkel]

Merci pour votre réponse, et le temps que vous m'accordez. J'attends vos conclusions et corrections avec impatience.

[Mailou75]

Salut,

J’ai lu ton texte en diagonale et pas le temps de mater la video mais il me semble que ceci pourrait t’aider :

https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6176155 désolé si je suis hors sujet...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rachilou]

Bonjour,

En regardant ces vidéos sur Etienne Klein, tu pourras en savoir plus sur la question.

https://www.youtube.com/watch?v=9zcYgCVU8Gg
https://www.youtube.com/watch?v=gxyG3ZK68q8

[mach3]

Commençons par l'effet Doppler. Je vais surement dévier un peu du chemin suivi dans la vidéo, mais le résultat sera le même.

En mécanique classique, la longueur d'onde est indépendante du référentiel. La fréquence étant le rapport de la vitesse de l'onde (par rapport au référentiel considéré) et la longueur d'onde, la fréquence dépendra alors du référentiel. En fonction du référentiel, la vitesse de l'onde sera plus ou moins grande et cela influera sur la fréquence émise et/ou reçue.
En allant un peu plus loin, concernant la lumière (mais toujours en restant classique) la quantité de mouvement dépend de l'inverse de la longueur d'onde. Quand on émet de la lumière dans une direction, on doit donc avoir un recul dans la direction inverse (comme quand on tire à l'arme à feu ou même quand on envoie devant soi n'importe quel objet), à cause de la conservation de la quantité de mouvement. Un objet en mouvement rectiligne uniforme va donc changer de vitesse si il émet de la lumière, dans la direction inverse à l'émission.

Regardons donc l'expérience d'un point de vue classique : Sheldon (A) émet de la lumière dans deux directions opposées. Les deux signaux sont identiques (même durée, même longueur d'onde) mais opposés, donc au bilan la quantité de mouvement de Sheldon ne doit pas varier (les deux reculs s'annulent) et sa vitesse ne doit donc pas varier, et cela quelque soit le référentiel inertiel (celui de Sheldon, A ou celui de Leonard, B). La fréquence des deux signaux sera par contre différente selon le référentiel (mais notons que dans notre cas, c'est à dire même longueur d'onde, la somme des deux fréquences sera indépendante du référentiel).
Si Sheldon est immobile par rapport à l'ether (c'est le milieu de propagation de la lumière en mécanique classique), alors les deux signaux qu'il émet sont pour lui de même fréquence et pour Leonard, en mouvement par rapport à Sheldon, le signal qui vient vers lui aura une fréquence plus élevée et celui qui s'éloigne aura une fréquence plus faible (la moyenne des deux fréquences étant égale à la fréquence que mesure Sheldon), parce ces signaux ne vont pas à la même vitesse par rapport à Leonard (la fréquence étant la vitesse divisée par la longueur d'onde).
A l'inverse si c'est Leonard qui est immobile par rapport à l'éther, les deux signaux auront la même fréquence pour lui, et ils auront une fréquence différente pour Sheldon (les deux rayons n'auront pas la même vitesse par rapport à Sheldon). Et on peut imaginer tous les cas intermédiaires.
Par suite, vu que l'énergie emportée par la lumière dépend de la fréquence, on voit que dans cette étude classique, comme la somme des fréquences et constante, l'énergie perdue par Sheldon ne dépend pas du référentiel.

Passons en physique relativiste. Maintenant la longueur d'onde n'est plus invariante, elle dépend du référentiel et la vitesse de la lumière est devenue invariante, il n'y a pas d'éther, pas de milieu de propagation, la vitesse est c dans tout référentiel.
Cela modifie l'effet Doppler, qu'on appelle alors effet Doppler relativiste. Le début de notre récit ne change pas :
"Sheldon (A) émet de la lumière dans deux directions opposées. Les deux signaux sont identiques (même durée, même longueur d'onde) mais opposés, donc au bilan la quantité de mouvement de Sheldon ne doit pas varier (les deux reculs s'annulent) et sa vitesse ne doit donc pas varier, et cela quelque soit le référentiel inertiel (celui de Sheldon, A ou celui de Leonard, B)."
Par contre après il y a des changements importants :
Dans tous les cas, les deux signaux ont forcément la même fréquence pour Sheldon, car la vitesse de la lumière est la même dans les deux directions (alors qu'en classique elle pouvait être différente, à cause du mouvement par rapport à l'éther). Dans tous les cas, pour Leonard, la fréquence est multipliée par un facteur pour le signal qui vient vers lui, mais divisée par le même facteur pour signal qui s'éloigne (on pourra rentrer un peu dans les rouages géométriques qui explique cela si nécessaire). Si l'énergie rayonnée (proportionnelle à la fréquence) par Sheldon dans le référentiel de Sheldon est e+e=2e, celle rayonnée par Sheldon dans le référentiel de Leonard est ae+e/a = (a²+1)e/a > 2e (qui tend vers 2e quand a tend vers 1), avec a le facteur par lequel la fréquence est multipliée ou divisée.
L'énergie que perd Sheldon dépend donc du référentiel, ce qui est nouveau par rapport à la mécanique classique.

Si on regarde du côté de la quantité de mouvement de Sheldon, dans le référentiel de Sheldon elle ne change pas (il émet de la lumière identique dans les deux directions), mais elle change dans le référentiel de Leonard. La quantité de mouvement étant inversement proportionnelle à la longueur d'onde, elle-même inversement proportionnelle à la fréquence (la vitesse étant de la lumière étant constante maintenant), elle est multipliée par le même facteur que la fréquence pour le signal qui va vers Leonard et divisée par celui-ci pour celui qui s'éloigne. Dans le référentiel de Sheldon, on aura p-p=0, alors que dans celui de Leonard, on aura ap-p/a = (a²-1)p/a > 0. La quantité de mouvement de Sheldon change donc sans que celui-ci ne change de vitesse. Or, la quantité de mouvement est, en physique classique, mv. Si v ne change pas, alors c'est que m a changé (en fait l'expression de quantité de mouvement devient en mécanique relativiste, mais ça ne change rien, étant dépendant de la vitesse seulement, si la vitesse ne change pas, c'est bien la masse qui change). Et on peut relier cette variation de masse à l'énergie perdue par Sheldon.

Il me faut un peu de temps pour compléter cette explication (et recoller un peu plus à la vidéo, mais le cheminement étant seulement résumé dans la vidéo, pas évident de passer par le même).

m@ch3

[Yelkel]

Merci énormément pour vos explications simples et concises, les informations de la vidéo sont déjà beaucoup plus claires. Je continue mes recherches pour mieux visualiser l’expérience dans toutes ses complexités. Et vous remercie de nouveau pour votre précieuse aide.