Continuité et différentiabilité de la vitesse

[stefjm]

Discussion issue d'un hors-sujet sur le fil https://forums.futura-sciences.com/p...e-lumiere.html , mach3, pour la modération

En plus tout dépend d'où l'on part...
On peut partir de l'expérimental, avec le constat de l'invariance de la vitesse de la lumière et de la façon dont les champs électriques et magnétiques se transforment l'un en l'autre quand on change de référentiel, aboutir aux transformations de lorentz et à la métrique de Minkowski qui impliquent que c est une vitesse maximale.
Ou alors on peut partir du théorique, en se demandant quelles sont les structures possibles de l'espace-temps (et ça se compte sur les doigts de la main) et voir ce que chacune implique en termes d'observations, certaines impliquant une vitesse maximale et d'autres non.

Et cela dépend des hypothèses plus ou moins fortes que l'on pose pour la régularité de la vitesse. (continuité, différentiabilité et à quelle ordre...)
La vitesse "c" est un pôle, et n'est une vitesse maximale que sous une contrainte de continuité que la mécanique quantique fait tomber.
-----

[Deedee81]

Salut,

et n'est une vitesse maximale que sous une contrainte de continuité que la mécanique quantique fait tomber.

Heu, non, en mécanique quantique relativiste on ajoute la règle [O(x), O(y)] = 0 (O étant un opérateur de champ) si x et y sont séparés par un intervalle spatial. Ce qui préserve la causalité relativiste et limite la vitesse à ..... c !

De plus l'opérateur vitesse (ou impulsion) est bel et bien dérivable en mécanique quantique. Je ne sais pas où tu as vu que la MQ faisait tomber ça.

Enfin, le fait que c soit une valeur maximale peut se démontrer sans faire intervenir la continuité et à condition d'admettre que la simultanéité est relative et qu'un résultat contradictoire est une impossibilité physique.

[stefjm]

Heu, non, en mécanique quantique relativiste on ajoute la règle [O(x), O(y)] = 0 (O étant un opérateur de champ) si x et y sont séparés par un intervalle spatial. Ce qui préserve la causalité relativiste et limite la vitesse à ..... c !

De plus l'opérateur vitesse (ou impulsion) est bel et bien dérivable en mécanique quantique. Je ne sais pas où tu as vu que la MQ faisait tomber ça.

Ce n'est plus la vitesse mais un opérateur vitesse.
Je sais bien qu'en physique, quand on a des trucs pas dérivables, on invente des extensions pour que cela le devienne parce que c'est bien pratique (je pense en particulier à la dérivée des distributions, dirac).

Enfin, le fait que c soit une valeur maximale peut se démontrer sans faire intervenir la continuité et à condition d'admettre que la simultanéité est relative et qu'un résultat contradictoire est une impossibilité physique.

Si je suis aveugle et que je construis ma physique sur la vitesse limite du son, je n'aurais aucun résultat contradictoire non plus...

[Deedee81]

Salut,

Ce n'est plus la vitesse mais un opérateur vitesse.
Je sais bien qu'en physique, quand on a des trucs pas dérivables, on invente des extensions pour que cela le devienne parce que c'est bien pratique (je pense en particulier à la dérivée des distributions, dirac).

La variable vitesse même non opératorielle est dérivable puisque c'est une variable à valeurs dans les réels (certaines solutions peuvent être discrètes et d'autres continues, mais ça ce n'est pas propre à la mécanique quantique. On retrouve la même chose en physique classique, comme dans le spectre de Fourrier pour prendre un exemple relativement proche. Et il ne faut pas confondre une variable et les solutions d'une équation).

Tu peux être plus précis avec tes "trucs pas dérivables" ? Tu aurais un exemple d'un "truc", disons une fonction, qui est essentiel en mécanique quantique et qui serait non dérivable ????
(pas Dirac, on peut s'en passer, suffit de quantifier dans une boite. Et un potentiel avec discontinuité on a ça aussi en physique classique... ce n'est bien sûr qu'une approximation).

EDIT ah, peut-être l'opérateur projection. Et encore je suis pas sûr, à vérifier.

Si je suis aveugle et que je construis ma physique sur la vitesse limite du son, je n'aurais aucun résultat contradictoire non plus...

Encore heureux.....

Non, sans rire, je suppose que tu sais pourquoi pour V > son on n'a aucune contradiction et pour V > c on a des contradictions ? La différence entre les deux tiens en un seul mot qui commence par la lettre i

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Tu peux être plus précis avec tes "trucs pas dérivables" ? Tu aurais un exemple d'un "truc", disons une fonction, qui est essentiel en mécanique quantique et qui serait non dérivable ????
(pas Dirac, on peut s'en passer, suffit de quantifier dans une boite. Et un potentiel avec discontinuité on a ça aussi en physique classique... ce n'est bien sûr qu'une approximation).

J'ai dit une bêtise : la distribution de Dirac n'est pas continue mais elle est bien dérivable (et donne une autre distribution).

[stefjm]

La variable vitesse même non opératorielle est dérivable puisque c'est une variable à valeurs dans les réels (certaines solutions peuvent être discrètes et d'autres continues, mais ça ce n'est pas propre à la mécanique quantique. On retrouve la même chose en physique classique, comme dans le spectre de Fourrier pour prendre un exemple relativement proche. Et il ne faut pas confondre une variable et les solutions d'une équation).

Quand je parle de continuité (dérivabilité), c'est forcément d'une fonction, pas d'une variable.

Tu peux être plus précis avec tes "trucs pas dérivables" ? Tu aurais un exemple d'un "truc", disons une fonction, qui est essentiel en mécanique quantique et qui serait non dérivable ????
(pas Dirac, on peut s'en passer, suffit de quantifier dans une boite. Et un potentiel avec discontinuité on a ça aussi en physique classique... ce n'est bien sûr qu'une approximation).

N'importe quel objet ponctuel (charge par exemple) pose le soucis non?

Encore heureux.....

Non, sans rire, je suppose que tu sais pourquoi pour V > son on n'a aucune contradiction et pour V > c on a des contradictions ? La différence entre les deux tiens en un seul mot qui commence par la lettre i

Non, je ne vois pas.
T'as jamais fait de blague à un aveugle?

[Deedee81]

Salut,

N'importe quel objet ponctuel (charge par exemple) pose le soucis non?

Non, car on ne dérive pas le point. Et on rencontre ça en physique classique (voir la définition habituelle du courant à partir des charges en EM).
En fait, les champs décrivant les particules (ou les fonctions d'ondes) restent continus et dérivables et c'est eux qu'on dérive.

Même si soucis il peut y avoir (en théorie quantique des champs, c'est ça qui conduit aux divergences ultraviolettes et rien ne dit que cette ponctualité n'est pas une approximation. Mais on n'en sait encore rien, en tout cas même ce caractère ponctuel reste conforme aux résultats du LHC).

Non, je ne vois pas.

Invariant.

T'as jamais fait de blague à un aveugle?

Non, mais à un sourd oui (j'ai longtemps travaillé avec un sourd et forcément on fait toujours des blagues au boulot).

[stefjm]

Non, car on ne dérive pas le point. Et on rencontre ça en physique classique (voir la définition habituelle du courant à partir des charges en EM).
En fait, les champs décrivant les particules (ou les fonctions d'ondes) restent continus et dérivables et c'est eux qu'on dérive.

Le champ électrique et le potentiel électrique classique diverge au niveau de la particule, pas continu, pas dérivable (en espace).

[Matmat]

J'ai dit une bêtise : la distribution de Dirac n'est pas continue mais elle est bien dérivable (et donne une autre distribution).

dérivable implique continue , il vaut mieux dire presque partout dérivable, ou bien dérivable sauf sur un ensemble négligeable .