Calcul du moment d'inertie d'un demi-cercle

[Valentin123]

Bonjour,

Dans un exercice on me demande de calculer le moment d'inertie d'un demi-cercle par rapport à l'axe z qui coupe son plan en x=0
De manière générale j'ai un peu de mal à intégrer la méthode de résolution pour le calcul d'un moment d'inertie car je tourne en rond, je retombe toujours fatalement sur la formule I_∆=mr². Vous allez comprendre ...

Dans le cas du demi-cercle et par rapport à l'axe z :

I_z= ∫ entre 0 et ∏ de r² dm
dm=Ω.dl
dl=r.d(theta)

donc I_z= ∫ entre 0 et ∏ de r³.Ω.d(theta) = Ω.∏.r³

avec m = Ω.l=Ω.∏.r j'obtiens finalement :

Iz=mr²

Qu'est-ce qu'il manque à mon raisonnement pour que mon calcul ne tourne pas en rond ?
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[Resartus]

Bonjour,
On parle bien d'un cercle (un cerceau), et pas d'un disque plein?
Et du moment d'inertie par rapport au centre du demi-cercle?
Dans ce cas, votre calcul est juste : le moment d'inertie est bien la moitié de celui du cercle complet, mais la masse aussi, et donc la formule reste bonne.

Mais si vous vouliez trouver le moment d'inertie par rapport au centre de gravité , ce serait un poil plus compliqué : d'abord trouver ce centre de gravité, puis utiliser la formule quivabien pour trouver le moment d'inertie par rapport à ce point....

[petitmousse49]

Bonjour
L'axe (Oz) est bien l'axe passant par le centre O et perpendiculaire au plan contenant le cercle (personnellement, je dirais plutôt cerceau car un cercle n'a pas de masse) ?
Dans ce cas, r est une constante que tu peux sortir de l'intégrale, cela conduit à la formule que tu proposes...


Je te laisse conclure...

[Valentin123]

C'est bien l'axe perpendiculaire passant par ce plan dont il s'agit. La raison pour laquelle je n'envisageais pas que mon calcul soit juste est que si je cherche le moment d'inertie d'un cerceau complet je trouve le même résultat avec le même procédé :

Iz= ∫ entre 0 et 2∏ de r² dm
dm=Ω.dl
dl=r.d(theta)

donc Iz= ∫ entre 0 et 2∏ de r³.Ω.d(theta) = Ω.2∏.r³

avec m = Ω.l=Ω.2∏.r j'obtiens finalement :

Iz=mr²

C'est fâcheux.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dynamix]

Salut

je trouve le même résultat

Non , tu ne trouves pas le même résultat .
r².m(cerceau)
n' est pas égal à
r².m(demi cerceau)

[petitmousse49]

Passer du cerceau au demi cerceau divise le moment d'inertie par 2 mais divise aussi la masse par 2. La formule du moment d'inertie reste inchangée.

[le_STI]

Salut.

(personnellement, je dirais plutôt cerceau car un cercle n'a pas de masse)

C'est un tore

[Valentin123]

Oui oui, je comprends bien que les résultats sont implicitement différents mais j'aimerais savoir comment expliciter le coefficient.
Exemple : I_{Delta boule}=2/5 mr².

Et le terme de "tore" est réservé pour les tores en 3D, ici on a juste un objet à une dimension, un fil sans épaisseur mais avec une masse linéique, c'est pas simple de donner un nom à un objet qui n'a pas de réalité physique

[petitmousse49]

Le plus simple consiste à démontrer l'expression du moment d'inertie par rapport au centre O , noté I_O, de la boule homogène. On obtient un coefficient 3/5. Ensuite, compte tenu des symétries les moments par rapport aux trois axes vérifient :
I_Ox = I_Oy = I_Oz
et :
I_Ox + I_Oy + I_Oz = 2I_O