Sur le concept de différentielle totale en thermodynamique

[Keisersoze]

Bonjour,

lorsqu'on écrit une différentielle totale exacte en physique on comprend intuitivement qu'il s'agit d'une différence infinitésimale de la fonction (autrement dit on comprend implicitement que df c'est f(a)-f(a+h) avec h aussi petit que l'on veut) pourtant si je regarde le concept de différentielle totale en mathématiques cette relation est une pure définition , càd qu'on a juste donner le nom df à la quantité dronf/dronx1*dxi+...+drondfn/drondxn*dxn, si je remonte plus loin dans mon cours on dit en analogie avec les fonctions d'une variable de R que f(a)=f(a+h) +df(a) + o(h), on voit alors que la vraie différence infinitésimale de la fonction n'est pas seulement df(a) mais df(a) + o(h)! d'où ma question: lorsqu'on écrit une différentielle totale exacte (en thermo par exemple), écrit-on une vraie égalité ou juste un approximation en omettant le petit o(h)?

D'autant que si l'on se limite aux fonctions d'une variable réelle on voit bien que de dire que df=df/dx(a)*h est, bien évidemment, très loin d'être vraie tout le temps, on fait juste ça pour linéariser les équations lorsque c'est possible. Pourrait on dire que la différentielle totale exacte en physique est un développement de Taylor à l'ordre 1 étendu aux fonctions de plusieurs variables?
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[gts2]

Lorsqu'on écrit une différentielle totale exacte (en thermo par exemple), écrit-on une vraie égalité ou juste un approximation en omettant le petit o(h)?
Pourrait on dire que la différentielle totale exacte en physique est un développement de Taylor à l'ordre 1 étendu aux fonctions de plusieurs variables?

Réponse de Normand : çà dépend !
La différentielle en physique peut-être une vraie différentielle :
dU=-PdV+TdS est bien la différentielle de U
On établit les équations d'onde, disons celle d'une corde, à l'aide de différentielle, et on n'obtient pas une équation d'onde approchée (mathématiquement parlant, physiquement c'est autre chose).

Mais on utilise aussi la différentielle pour faire des calculs approchés, sans prévenir du changement de statut !

[mach3]

Une approche plus complexe mais plus éclairante est sous l'angle des dérivées directionnelles et 1-formes. Bref résumé qui passe sur pas mal de détail, à creuser si ça intéresse.

On considère une variété, de dimension n, avec des champs scalaires définis dessus (dans le cas de la thermo, la variété sera l'ensemble des états d'équilibre d'un système et les champs scalaires seront la pression, la température, etc, bref les fonctions d'état). On peut, sur cette variété, considérer des courbes paramétrées (dans le cas de la thermo, ce seront des chemins, des successions d'états d'équilibres successifs, le long desquels les fonctions d'état varient) et ces courbes paramétrées peuvent servir à définir ce qu'on appelle des dérivées directionnelles. Par exemple, admettons une courbe de paramètre . Le long de cette courbe, les champs scalaires de la variété prennent des valeurs données par , , , etc. Les dérivées directionnelles des champs scalaires suivant cette courbe paramétrée sont simplement :
, , , etc.
Il s'agit des variations des champs scalaires P, T, V, etc le long de la courbe quand le paramètre augmente, divisée par l'accroissement de ce paramètre quand cet accroissement devient arbitrairement petit.

est appelé opérateur de dérivée directionnelle, il s'applique à tout champ scalaire se trouvant au point considéré et donne sa dérivée dans la direction de la courbe de paramètre qui passe en ce point.

En un point, il y a une infinité de courbe paramétrées qui passent, et on peut donc utiliser le concept de dérivée dans toutes les directions possibles à partir d'un point de la variété. Il y a notamment des courbes paramétrées "spéciales" vis-à-vis des champs scalaires, par exemple des courbes suivant lesquels un champ scalaire varie mais n-1 autres champs scalaires (indépendant les uns des autres) ne varient pas. Par exemple dans une variété de dimension 2 une courbe le long de laquelle P varie mais T reste constant. On peut alors considérer que le paramètre est P, et l'opérateur de dérivée directionnelle est alors l'opérateur de dérivée partielle par rapport à P avec T constant :


En fait il se trouve que les opérateurs de dérivées directionnelles forment un espace vectoriel dont les opérateurs de dérivée partielle peuvent servir de vecteurs de base :


est un vecteur, et exprimé dans la base de vecteurs ses coordonnées sont

Appliqué au champ scalaire V, cela donne :



ou écrit d'une manière qui doit rappeler quelque chose :



est un scalaire, obtenu après l'application de l'opérateur de dérivée directionnelle sur le champ scalaire V.

Or, cet opérateur est un vecteur, et une façon d'obtenir un scalaire à partir d'un vecteur est l'application d'une 1-forme sur celui-ci. Qui dit espace vectoriel, dit espace vectoriel dual, c'est à dire l'ensemble des formes linéaires ou 1-forme sur l'espace vectoriel. On peut fabriquer de telles formes en prenant la "dérivée extérieure" des champs scalaires, par exemple , et pour les champs P, T et V (le d est en gras même si cela ne se voit pas bien avec le LaTeX - versus -, ce n'est pas le d de la différentielle même si il y a correspondance). Dans le cas où elle est appliquée à des champs scalaire, cette dérivée extérieure donne ce qu'on appelle leur gradient (parfois notés , et ). Si on applique la 1-forme sur le vecteur , on obtient le scalaire . La 1-forme appartenant à un espace vectoriel, on peut l'exprimer par rapport à une base, par exemple :



est une 1-forme, et exprimé dans la base de 1-forme ses coordonnées sont

Si on l'applique à un vecteur , on obtient automatiquement



Une 1-forme dérivée d'un champ scalaire V, appliquée sur un vecteur nous donne la dérivée directionnelle de ce champ scalaire V dans la direction de ce vecteur. Cette 1-forme dérivée du champ scalaire V est en fait une dérivée directionnelle "en potentiel", elle contient toute l'information pour générer toute dérivée directionnelle, et n'attend qu'une chose, qu'on lui donne un vecteur. est une dérivée dans une direction non spécifiée.

Attention par contre, toutes les dérivées extérieures de champ scalaire sont des 1-formes, mais toutes les 1-formes ne sont pas dérivées d'un champ scalaire, c'est justement la spécificité d'une différentielle totale ou exacte d'avoir sa 1-forme correspondante dérivant d'un champ scalaire.

m@ch3

[Keisersoze]

Merci beaucoup à tous les deux pour vos réponses, je vais effectivement devoir creuser l'aspect mathématique de la chose qui est plus compliqué que ce que j'imaginais.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Quelques conseils de lecture :
-le chapitre 2 de "gravitation" de Misner Thorne et Wheeler (ce n'est pas du tout le sujet du livre, mais les 1-formes sont approchées d'une façon que je trouve très pédagogique)
-l'article one-form du Wikipedia anglais n'est pas trop mauvais.
-quelques pages du site de John Denker sont aussi plutôt bien faites ( https://www.av8n.com/physics/partial-derivative.htm , https://www.av8n.com/physics/differential-forms.htm )

m@ch3