Inertie et accélération angulaire

[ZoumZoumZoum]

Bonsoir,

Je précise tout de suite que je suis complétement novice en physique et que je ne comprend pas tout les termes que je vais utiliser. Voilà mon problème :

Je souhaite avoir une idée de l'inertie d'une touche de piano. D'après Wikipédia, le moment d'inertie "quantifie la résistance à une mise en rotation d'un solide (ou plus généralement à une accélération angulaire)" et il me semble donc que c'est de cette grandeur dont j'ai besoin.

J'ai donc acheté un capteur électronique disposant d'un gyromètre que je positionne sur la touche. En dérivant la vitesse j'obtiens l'accélération angulaire de la touche pour une force donnée (poids sur la touche).

Je souhaite maintenant déterminer ce moment d'inertie à partir de l'accélération angulaire et j'ai trouvé cette formule :
M = I . a où M : Moment; I : Moment d'Inertie et a : accélération angulaire

Et à partie de là je suis un peu perdu. Je ne comprend pas vraiment ce que sont le moment et le moment d'inertie ni quelles données il me faudrait déterminer ce moment afin d'en déduire le moment d'inertie.

Autre question : L'accélération angulaire seule ne permet-elle pas de conclure qu'une touche à plus ou moins d'inertie qu'une autre?

Merci d'avance pour vos éclairages.
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[Dynamix]

J'ai donc acheté un capteur électronique disposant d'un gyromètre que je positionne sur la touche. En dérivant la vitesse j'obtiens l'accélération angulaire de la touche pour une force donnée

En dérivant la vitesse par rapport au temps .
Il faut pour cela connaitre la vitesse en fonction du temps
Vu la faible amplitude du mouvement , je doute que tu obtienne quelque chose d' exploitable .
Le but etant d' obtenir une accéleration , il vaut mieu utiliser un accéléromètre .

[gts2]

Remarque : vous notez a une accélération angulaire ce qui perturbe la lecture de vos questions, a est usuellement l'accélération linéaire.

"L'accélération angulaire seule ne permet-elle pas de conclure qu'une touche à plus ou moins d'inertie qu'une autre?"
I=M/a dépend de deux grandeurs M et a, la connaissance de a ne permet donc pas de conclure sauf à s'assurer que M est constant.

Pour faire simple, M est le produit de la force par le bras de levier F d : en supposant que vous frappiez à angle droit de votre touche, d est la distance entre le point d'impact et l'axe de rotation.

Le moment d'inertie est la grandeur qui indique l'inertie de votre touche de piano en rotation, comme c'est ce que vous cherchez...

[ZoumZoumZoum]

Bonjour,

@ Dynamix

J'ai essayé l'accéléromètre mais il est trop sensible aux chocs, l'accélération est trop "soudaine" et les données qu'il me retourne sont fausses.

@ gts2

Bien noté pour l'accélération angulaire et merci pour l'explication. Comme j'applique toujours la même force et que la distance avec mon point de rotation est constante, mon moment sera constant. Mon moment d'inertie sera donc inversement proportionnel à mon accélération angulaire.

C'est tout ce que je voulais savoir, merci beaucoup.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ZoumZoumZoum]

Bonsoir,

Je me permet de ré-ouvrir ce sujet. Certains éléments ne sont pas très clairs dans ma tête.

- Je mesure une variation d'accélération angulaire dans le temps, mon moment d'inertie varie donc également dans le temps?

- Pour conclure qu'une touche a plus ou moins d'inertie, me suffit-il de calculer le moment d'inertie correspondant à l'accélération angulaire maximale?

- Lors du basculement, la force exercée, est-elle constante? Comme la touche s'enfonce, ne varie-t-elle pas (la force) également au cours du mouvement? Si c'est le cas je ne peux pas vraiment calculer mon moment d'inertie...

- le moment d'inertie "quantifie la résistance à une mise en rotation d'un solide". Est-ce à dire que pour un levier donné, il n' y a qu'un seul moment d'inertie (correspondant à l'instant où il se met en mouvement?)? Si oui cela ne dépend-t-il pas uniquement de la force exercée?

Je ne sais pas si mes questions ne sont claires, n'hésitez pas à me le faire savoir.

[Dynamix]

Je mesure une variation d'accélération angulaire dans le temps, mon moment d'inertie varie donc également dans le temps?

Non .
Je pencherais pour une erreur dans la mesure ou son interprétation .

[ZoumZoumZoum]

comment ça?

- je mesure la vitesse angulaire d'un levier en mouvement sur une période donnée
- je dérive cette vitesse par rapport au temps pour obtenir mon accélération angulaire
- mon accélération angulaire varie donc dans le temps puisque ma vitesse n'est pas constante
- mon moment d'inertie est fonction l'accélération angulaire, il varie donc en fonction du temps également

[gts2]

mon accélération angulaire varie donc dans le temps puisque ma vitesse n'est pas constante

Si v=a*t non constante, dv/dt=a=constante ; donc à préciser

mon moment d'inertie est fonction l'accélération angulaire, il varie donc en fonction du temps également

S'il s'agit bien de la touche seule, c'est un solide avec un axe de rotation fixe, donc le moment d'inertie est constant.
Par contre, la touche est peut-être reliée au mécanisme de commande du marteau qui lui (le mécanisme) est déformable, donc le moment d'inertie ramené sur la touche est variable.

D'autre part, autant on peut supposer que le point d'appui est fixe, autant il est difficile de s'assurer que la force est constante. C'est que vous dites vous même :
"Lors du basculement, la force exercée, est-elle constante? Comme la touche s'enfonce, ne varie-t-elle pas (la force) également au cours du mouvement? Si c'est le cas je ne peux pas vraiment calculer mon moment d'inertie."

"Le moment d'inertie "quantifie la résistance à une mise en rotation d'un solide". Est-ce à dire que pour un levier donné, il n' y a qu'un seul moment d'inertie (correspondant à l'instant où il se met en mouvement?)? Si oui cela ne dépend-t-il pas uniquement de la force exercée?"

Pour un solide, il y a un seul moment d'inertie qui dépend uniquement de la distribution des masses ; pas de moment initial, pas de dépendance / force.

[Resartus]

EDIT je vois que gts2 avait déjà répondu
Bonjour,

[QUOTE=ZoumZoumZoum;6448392]
- mon accélération angulaire varie donc dans le temps puisque ma vitesse n'est pas constante
/QUOTE]
Non, si la vitesse augmente linéairement, sa dérivée (qui est l'accélération) sera constante


Mais pour revenir à votre problème, que voulez-vous mesurer exactement : le comportement de la touche seule, ou celui de l'ensemble du mécanisme?

Si c'est le mécanisme complet, votre calcul de "moment d'inertie" basé seulement sur l'accélération sous l'effet de la force exercée n'est pas pertinent, car
la force résistante n'est pas seulement celle due à l'inertie de la touche :
- d'une part à cause du marteau, qui introduit sa propre inertie, mais seulement jusqu'au moment où le système d'échappement(voire de double échappement) supprime sa liaison avec la touche
- et aussi parce qu'il existe des ressorts de rappel de la touche, qui rajoutent une force résistante variant avec sa position

[Dynamix]

- mon moment d'inertie est fonction l'accélération angulaire

Non , c' est l' inverse .

[ZoumZoumZoum]

Bonjour,

Je me rend compte que je n'ai pas été très clair en présentant le sujet. La touche est en effet liée au mécanisme. Lorsque j'effectue les mesures, c'est tout ce mécanisme qui est en mouvement.

Voilà le genre de données que je récupère :
Vitesse angulaire (°/s)


Accélération angulaire (°/s²)


Mon but est de trouver un indicateur qui puisse me donner une idée de l'inertie d'une touche donnée, et de pouvoir le comparer avec les autres touches (ce qui me permettrait de "diagnostiquer" un problème, si jamais j'obtiens une valeur aberrante), ou avec d'autres claviers (ce qui permettrait de comprendre pourquoi certains claviers sont plus lourd que d'autres).

On peut ramener le mécanisme à un levier "simple", avec l'enfoncement de la touche d'un côté et la montée du marteau de l'autre, et les principaux responsables de l'inertie sont le poids du marteau et le plombage de la touche. Les pièces "intermédiaires" sont identiques.

[gts2]

Il me semble voir au début une vitesse linéaire/temps vers le bas donc une accélération constante négative au début.
Ensuite il y a une variation brutale, donc un choc, puis cela repart dans l'autre sens.

Est-ce que la phase utile qui vous intéresse ne serait pas ce morceau de droite initial ?

[ZoumZoumZoum]

Bonjour,

La première partie correspond à la descente de la touche jusqu'à ce qu'elle soit arrêtée (enfoncement complet, le "choc"). La seconde partie correspond à la remontée de la touche.

En effet c'est cette première partie qui m'intéresse, puisque intuitivement je me dis que plus le levier (le mécanisme) a une masse globale importante, plus il sera difficile à mettre en mouvement (inertie plus importante). Je cherche la valeur qui pourrait me servir d'indicateur.

[gts2]

Si c'est bien cela, c'est la pente de la droite qui sera proportionnelle à votre inertie, tout le reste étant maintenu constant.

[ZoumZoumZoum]

Bonjour,

Cette pente correspond à mon accélération angulaire maximale, est-ce alors correct de calculer un moment d'inertie à partir de cette valeur et de la force exercée sur ma touche?

I = M / a
avec
M= f.d = 2*0.23 = 0.46Nm (poids de 200g, distance à l'axe de 23cm)
et
a= 8000 * (180/pi) rad/s²
(valeurs approximatives juste pour l'exemple)

[gts2]

L'idée de base est bien la bonne, mais la partie utile ne correspond pas à l'accélération maximale qui doit correspondre à un choc, mais à celle qui est juste avant : la droite décroissante partant de 0.
En faisant votre calcul on trouve I=4 10^-6 alors que l'on s'attend à qqch de l'ordre de 1,7 10^-3 kg m^2 (The physics of musical instruments, Fletcher-Rossing).

[ZoumZoumZoum]

Bonsoir,

Tout d'abord merci de prendre le temps de m'aider.

En effet j'avais mal interprété ce "pic" pour l'accélération angulaire qui correspond non pas à la descente de la touche mais comme vous l'indiquez au "choc" lorsque celle-ci rencontre sa "butée".

Comme vous l'indiquez également, la vitesse de descente est plutôt linéaire mais ce n'est pas flagrant sur la courbe de l'accélération qui devrait donc être à peu près horizontale sur ce laps de temps et me donner la valeur que je souhaite.

Je suis un peu à court d'idées pour l'instant, je vais réfléchir à tout ça.

[ZoumZoumZoum]

Bonjour,

J'ai pensé à 2 pistes :
- Utiliser une courbe de tendance linéaire de la vitesse angulaire sur la zone qui m'intéresse (la pente) : j'obtiens y = - 0,3574x + 0,1834 mais je ne sais pas comment l'exploiter : la dérivée donne - 0,3574 mais je ne vois pas à quoi cela correspond.

- Faire la moyenne de l'accélération angulaire sur la même zone : j'obtiens -145,91°/s² mais avec un coefficient de variation de 46% (moyenne pas très représentative), ce qui donne I = 0,092 kg.m² (poids de 100g, distance 23,5cm)

[Resartus]

Bonjour,
Il n'est pas facile d'exercer une force constante et avec une très faible inertie. Par exemple, si on utilise un poids, l'inertie de la masse utilisée va s'ajouter à celle de la touche. Et votre gyromètre aussi, s'il est collé à la touche.
Avez-vous pris cela en compte?
Une manière de retrouver les bonnes valeurs serait de faire une mesure à blanc (= avec une touche ultra-légère et le même inclinomètre) et de déduire cela des accélérations mesuréees.
Par ailleurs, au vu des très faibles valeurs de vitesse mesurées (moins de 30°/seconde en fin de parcours), votre poids est sûrement trop faible, ou bien votre gyromètre pas assez sensible...

[gts2]

Dans le premier graphe vous avez la vitesse en fonction du temps, donc la pente est l'accélération.
Il faut bien sûr prendre la pente moyenne, ce que vous avez fait et cela est plus précis qu'une dérivation qui va apporter du bruit.
Le fait que vous trouviez une accélération différente (bruitée comme vous l'avez remarqué), signifie simplement que votre x n'est pas le temps.
Quelle est la signification de votre x ?

[ZoumZoumZoum]

@ Resartus
L'inertie de la masse n'est-elle pas déjà inclut dans mon calcul (moment de force)? Quant au gyromètre j'ai choisi le plus léger possible (2g), je pense que c'est négligeable.
Je ne vois pas ce que vous entendez pas "mesure à blanc", comme procéder?

@gts2
J'ai bien compris que l'inclinaison de la pente correspond à l'accélération mais je ne vois pas comment obtenir la valeur qui me servira pour le calcul de l'inertie : j'ai l'équation de cette pente (y = - 0,3574x + 0,1834) mais comment obtenir l'accélération? lorsque je la dérive, j'obtiens -0.3574. A quoi correspond cette valeur? quelle est son unité?

[gts2]

La dérivée d'une vitesse est une accélération, mais c'est une dérivée par rapport à t.
Donc je répète la question : c'est quoi votre x ? quel rapport a-t-il avec le temps ?
Dit autrement vos données ont quelle tête ? Il y a quoi dans une ligne et à quoi correspond chacune des colonnes ?
Ou encore autrement, comment avez-vous tracé votre graphe qui a un axe horizontal non renseigné ?

[gts2]

Une remarque au passage est à appliquer avec des unités cohérentes et donc l'accélération angulaire en rad/s^2.

[ZoumZoumZoum]

mon x correspond au temps. Mon gyromètre me retourne une mesure toutes les 4ms.

Et oui j'avais bien converti mes degrés en radians pour les calculs

[gts2]

Si x est bien le temps et le calcul en radian l'accélération est 0,3574 rad/s^2 mais non cohérent avec 145,91*pi/180=2,5 rad/s²

Comment a été calculé le 145,91 ?

[Resartus]

Bonjour,

@ Resartus
L'inertie de la masse n'est-elle pas déjà inclut dans mon calcul (moment de force)? Quant au gyromètre j'ai choisi le plus léger possible (2g), je pense que c'est négligeable.
Je ne vois pas ce que vous entendez pas "mesure à blanc", comme procéder?

Donc vous confirmez que c'est bien une masse qui sert à donner la force d'appui?
Dans ce cas, le calcul est le suivant :
Si c'est une masse m qui agit à la distance r de l'axe de rotation, et que le "moment d'inertie" de la touche vaille I, l'accélération
de la masse au point de contact vaudra gm/(m+I/r²) et l'accélération angulaire de la touche vaudra mg/(I+mr²)
Et le gyromètre a un moment d'inertie Ig, il s'ajoute aussi, et donc avec votre calcul accélération/force, vous trouverez la somme I+Ig+mr²

Faire une mesure du "blanc", c'est la faire sans l'objet à mesurer (ici la touche et son mécanisme), pour mesurer seulement les deux termes Ig+mr².
Il faut le faire avec une "touche" ultralégère et sans mécanisme, sur laquelle on colle le gyromètre à la même position et on applique la masse exactement à la même distance de l'axe. Ensuite vous déduirez ces chiffres de votre mesure avec touche.

[Resartus]

Re,
Je viens de voir que vous avez donné la valeur de la masse et sa distance à l'axe.
Comme, dans la formule que j'ai indiquée, elle rajoute une inertie qui varie avec le carré de la distance, il vaudrait mieux, pour améliorer la précision (= diminuer la valeur du "blanc" à déduire), réduire la distance et augmenter la masse

[ZoumZoumZoum]

Voilà ce que j'ai fait :
Vitesse angulaire lors de la descente (°/s)


Accélération angulaire sur la même période (°/s²)


Je me suis effectivement trompé en calculant la moyenne, elle est de 88,98°/s² soit 1,55rad/s²

[gts2]

Sur le graphe de la vitesse je lis variation de vitesse 15 intervalle de temps 9633-9454=179 ms soit une accélération de 15/179*1000*pi/180=1,46 rad:s^2 cohérent avec vos 1,55.

[gts2]

Je me réponds à moi même 1,46 est proche de 1,55 mais 1,46/4=0,36 n'est pas loin de vos 0,3574. Donc toutes les données sont "cohérentes" en prenant en compte les 4 ms de pas.
Il s'agit de savoir maintenant s'il faut retenir 0,36 ou 1,46 ; là c'est vous qui savez où ce 4ms a été pris en compte et là où il ne l'a pas été.