Libération de gaz sous pression et poussée.

[Newtonien]

Bonsoir, voici un problème de mécanique auquel je suis confronté:

Soit une bouteille métallique de masse quelconque, m, dans laquelle se trouve de l'air comprimé...
La bouteille est initialement posée sur le sol à la verticale et l'ouverture est orientée vers le bas ("à la façon "jetpack")
Quelle doit-être la pression p de l'air dans la bouteille pour qu'après libération du gaz, la bouteille soit propulsée à 15m de hauteur ?

Si vous avez des relations physiques utiles, ou meme la réponse à la question merci d'avance !
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[choom]

Bonsoir.
Je comprends que le souhait est de trouver une formule exprimant la pression nécessaire en fonction des 2 seuls paramètres donnés, soit h=15 et la masse=m ( supposée la masse de la bouteille SANS son contenu ? )
Mais je ne peux ôter de mon esprit l’idée que la surface de l’ouverture par laquelle, face au sol, le gaz est brutalement libéré devrait avoir aussi une influence, à défaut de quoi il faudrait connaître directement le temps - court sans doute - que met la pression à revenir à l’équilibre = la durée de la fuite et donc de l’impulsion.
Je n’ai pas la formule. Je voulais juste suggérer que le problème n’est sans doute pas posé avec tous les paramètres...

Bien cordialement.
Choom

[Newtonien]

Bonsoir, effectivement j'avais d'ailleurs écris une première version de mon problème stipulant que la bouteille était finalement à une hauteur du sol permettant de le négliger (chose qui simplifie grandement le problème) et que la sortie d'air (influent sur le débit) était quelconque, d.
J'aurais apparemment du les faire figurer dans le précédant message, merci.

[Gilgamesh]

Y'a peut être plus simple mais je ferais comme ça.

Le truc est une fusée à air comprimé. On va donc partir de l'équation des fusée ou éq. de Tsiolkovski dans un champs de pesanteur.

Δv = u ln(m₀/m) - gt

avec
Δv l'incrément de vitesse acquis par la fusée le long de la trajectoire (l'incrément intrinsèque, auquel on enlèvera ensuite l'action de la pesanteur qui aboutira à une vitesse effective nulle en haut de la trajectoire)
u la vitesse d'éjection du gaz
m₀ la masse initiale (réservoir plein)
m la masse finale (réservoirs vide)
g l'accélération de la pesanteur =9,81 m/s²
t la durée de la trajectoire (jusqu'à épuisement du carburant)

Limite de la formule (et de tout le raisonnement qui suit...) on suppose que la vitesse d'éjection est constante ce qui n'est certainement pas le cas. On négligera également la résistance de l'air.

Le développement complet est ici :
https://web.mit.edu/16.unified/www/S...s/node103.html

Note la différence de notation
Δv -> u
u-> u_e

Le terme Isp vient pour "impulsion spécifique" qui est un concept typique de l'astronautique et qui donne simplement la vitesse d'éjection du gaz à la constante g près (la constante de pesanteur).
Par définition : u = Isp * g
avec g = 9,81 m/s
L'Isp se mesure donc en seconde. C'est la durée pendant laquelle 1 kg de carburant fournira 1 kg-force de poussée.

Le soucis ici c'est qu'en astronautique, l'Isp (donc u) est donné, c'est une caractéristique du moteur, alors que c'est l'inconnue ici.

Heureusement il existe des formule pour ça. Dans la page wiki tu a une formule qui va te permettre d'exprimer la vitesse d'éjection en fonction de p
https://en.wikipedia.org/wiki/Rocket_engine_nozzle

Note : ici u est noté v_e
Pour p_e on pendra simplement la pression atmosphérique 0,1 MPa
L'indice adiabatique gamma pour l'air (gaz diatomique) c'est 7/5 = 1,4

Le raisonnement t'amène jusqu'à la hauteur h_b : c'est la hauteur atteinte au moment où le gaz est épuisé (cad où la pression dans la bouteille est la pression atmosphérique, p = p0).
Ensuite la masse utile m (le réservoir vide) va suivre une trajectoire balistique. Pour calculer Δh , le surcroît de hauteur acquise après épuisement des gaz on dira simplement que le gain d'énergie de pesanteur égale l'énergie cinétique dont dispose la fusée est fin de trajectoire

Δh = Δv²/(2g)

et la hauteur finale h = h_b +Δh

Pour prendre en compte le fait que u varie, je pense que le plus simple est de calculer sa valeur max à la pression initial et de diviser par 2
puis de faire varier p jusqu'à ce que h donne 15 m

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rachilou]

Quelle doit-être la pression p de l'air dans la bouteille pour qu'après libération du gaz, la bouteille soit propulsée à 15m de hauteur ?

Donc propulsé à 15m de hauteur signifie immobile à 15m de hauteur avant de retomber.
Donc l'énergie potentielle de la bouteille : E(p) = m.g.h
Si on ne prend pas en compte les frottement de l'air.


La pression de l'air dans la bouteille n'est qu'un paramètre relatif dans le calcul de la poussée.
C 'est la poussée (l'air éjectè par une tuyère) qu'il faut prendre en compte...
Et une poussée, par la vidange gazeuse d'un réservoir (quelque soit son débit de vidange), n'est ni plus ni moins qu'une décompression d'un gaz.
Il faut savoir que tu peux vider ta bouteille de tout son air (et quelque soit sa pression initiale) sans la faire monter 1mm. si Poids = Poussée

Pour ma part je ferai un calcul plus simple intellectuellement.

Une fusée a une masse m;
Dont son réservoir à un volume donné, une pression donnée, une T° donnée.
L'énergie nécessaire pour la remplir est égale au travail de la force de pression d'un piston d'un compresseur.

Alors qu'elle énergie faut-t-il pour comprimer un gaz donné en partant de l'air à pression normal ( 1 bar en pression relative)?
Quelle est l'énergie potentielle détient ta bouteille métallique à 15m de hauteur.

E(p) = Énergie absorbée par le gaz lors de sa compression = Énergie transférée lors de décompression

On ne tient pas compte de la variation de la masse du gaz lors de sa vidange


Sous réserve de validation par les foristes.. si je dis des bêtises.

[Rachilou]

AAHH ! j'ai oublié l'énergie cinétique de la bouteille....

[Rachilou]

AAHH ! j'ai oublié l'énergie cinétique de la bouteille....

Finalement, cela n 'a aucune conséquence en vertu du théorème de l'énergie cinétique en relation avec l'énergie potentielle.

Sinon, là ou je voulais en venir pour :

E(p) = Énergie absorbée par le gaz lors de sa compression = Énergie transférée lors de décompression


l'énergie interne d'un gaz parfait diatomique U = 5/2 PV (donné pour l'air)

Donc pour un gaz parfait : E(p) = 1/2m.v² = U = 5/2 PV


Si on connait le volume de la bouteille ainsi que sa masse, on peut calculer la pression nécessaire d'un gaz donné ( bon dans une limite quand même) nécessaire pour obtenir :
E(cinétique) ,
E(Potentielle) .

[gts2]

Énergie absorbée par le gaz lors de sa compression = Énergie transférée lors de décompression

Oui, mais l'énergie n'est pas intégralement transférée à la fusée mais elle est transférée aussi au gaz qui est expulsé et au début le rendement est déplorable (tout part dans le gaz et rien dans la fusée)

[Rachilou]

Bahh OUI , effectivement ce calcul est valable uniquement si l'impulsion de la bouteille était instantanée.

Comme je l' ai dit:
Il faut savoir qu'on peut vider la bouteille de tout son air (et quelque soit sa pression initiale) sans la faire monter d'1mm. si Poids = Poussée

Donc, il faut prendre en compte la puissance développée par la poussée du gaz , éventuellement pour une poussée la plus courte possible dans le temps.
Une partie de la puissance s'annule avec le poids et l'autre accélère la bouteille jusqu'à une hauteur donnée pour qu'elle puisse finir de monter librement avec le reste de l'énergie cinétique "thésaurisée" à 15m.
Bon ça doit être calculable...non ?

[Rachilou]

Énergie absorbée par le gaz lors de sa compression = Énergie transférée lors de décompression

Oui, mais l'énergie n'est pas intégralement transférée à la fusée mais elle est transférée aussi au gaz qui est expulsé et au début le rendement est déplorable (tout part dans le gaz et rien dans la fusée)

Tout à fait...même avec une accélération instantanée. Dans ce cas précis, il faut admettre 2 fois plus d'énergie (accélération instantanée) : 2U = 5/2 PV (donné pour l'air)