Fonction de partition et magnétisme (thermodynamique)

[74ab]

Bonjour à tous!

Dans le cadre d'une application censée être simple mais avec laquelle j'ai des difficultés je dois répondre à cette problématique:

Le champ magnétique H est appliqué à des petits aimants (atomes) disposés en chaîne. Il y a N nombre d'aimants dans la chaîne. Chaque aimant (atome) a le moment magnétique de µ. Disons que nous donnons moins d'énergie si l'aimant est orienté vers le bas. Calculez la fonction de partition de ce système.

L'astuce qui m'a été donné est la suivante: Tout d'abord, trouvez comment exprimer l'énergie de ce système. Ensuite, déterminez combien de configurations de n haut et m bas qui ont l'énergie que vous avez exprimée.)

Voilà le problème, il peut paraître facile pour certains d'entre vous mais je coince pour ma part......

Merci beaucoup pour votre lecture!
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[Antonium]

Salut,

sur quoi est-ce que tu coinces ?
Chaque terme dans la fonction de partition ne dépend que de l'énergie du système (à température constante). Il faut donc calculer pour chaque configuration quelle est l'énergie du système puis faire un peu de combinatoire pour trouver le nombre de configurations possibles qui donnent la même énergie.

[74ab]

Salut,

sur quoi est-ce que tu coinces ?
Chaque terme dans la fonction de partition ne dépend que de l'énergie du système (à température constante). Il faut donc calculer pour chaque configuration quelle est l'énergie du système puis faire un peu de combinatoire pour trouver le nombre de configurations possibles qui donnent la même énergie.

Merci pour ta reponse!
Alors je sais que ma fonction de partition m'indique les états thermiquement accessibles.C'est donc la somme des états accessibles.Ici je n'ai que deux possibilités soit +- 1/2, c'est à dire soit que je suis orienté dans le même sens que le champ ou opposé à celui ci (état moins stable).

q= etat +1/2 + etat-1/2

Voilà ma première intuition, je me rends bien compte que je suis très loin de la réponse.

[Antonium]

Alors tu as beaucoup plus que deux états accessibles.
Chaque dipôle peut être dans deux états, mais alors l’ensemble des dipôles possède un plus grand nombre d’états.
Par exemple pour deux dipôles on a les états possibles (haut, haut), (bas,bas), (haut,bas), (bas haut).

Maintenant il faut compter combien chaque de ces états compte pour l’énergie. (haut,haut) possède deux contributions positives et donc apporte une contribution 2E, où E est l’énergie associée à un dipôle dans le sens du champ.
De même (bas,bas) va compter -2E.
Ensuite les deux autres états vont compter 0 car ils se compensent, mais il y a alors deux états associé à la contribution 0.

J’espère que ce raisonnement pour ce cas simpliste pourra te débloquer, il faut le généraliser à un cas à N dipôles !

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

Une idée :https://fr.wikipedia.org/wiki/Mod%C3%A8le_d%27Ising
https://fr.wikipedia.org/wiki/Hamiltonien_de_Heisenberg

[albanxiii]

Dommage que le message #5 tue le message #4...
C'est un problème classique en effet, mais c'est bien de le chercher par soi même.

Dans la même idée que #4 et en donnant une piste pour la généralisation, sur les N moments magnétiques / spins, on peut considérer qu'il y en a p "up" et (N-p) "down". Cela permet de calculer l'énergie d'une configuration. Il faut ensuite se demander combien il y a de configurations possibles des N spins parmi lesquels p sont "up" et (N-p) "down", etc.

[74ab]

Alors tu as beaucoup plus que deux états accessibles.
Chaque dipôle peut être dans deux états, mais alors l’ensemble des dipôles possède un plus grand nombre d’états.
Par exemple pour deux dipôles on a les états possibles (haut, haut), (bas,bas), (haut,bas), (bas haut).

Maintenant il faut compter combien chaque de ces états compte pour l’énergie. (haut,haut) possède deux contributions positives et donc apporte une contribution 2E, où E est l’énergie associée à un dipôle dans le sens du champ.
De même (bas,bas) va compter -2E.
Ensuite les deux autres états vont compter 0 car ils se compensent, mais il y a alors deux états associé à la contribution 0.

J’espère que ce raisonnement pour ce cas simpliste pourra te débloquer, il faut le généraliser à un cas à N dipôles !

j'ai vraiment du mal avec les maths...alors j'ai travaillé dessus et je suis un peu plus avancé dans mon raisonnement.J'ai N atomes ou moment u dont l'energie E=-u*H et en faisant la projection de u le long de z axe ce u peut etre +/-1.Si je considère que mes moments u sont independants et distinguables Q=q^N, avec q= e^BHu*1 + e^BHu*(-1), avec B=K*T et H le champs magnetique.
Donc Q=q^N=(2cosh (BHu))^N

[74ab]

Merci à tous pour votre temps et votre aide mais le chemin est long pour que je trouve la reponse ....

[Antonium]

Donc Q=q^N=(2cosh (BHu))^N

Sauf erreur de ma part c'est la bonne réponse.
Mais vu l'allure de la donnée de l'exercice j'avais pensé à un autre chemin pour y parvenir, en suivant plutôt la piste de albanxiii. Il faudrait écrire l'énergie d'une configuration avec n spin "up" et (N-n) "down" multipliée par le nombre de configurations possible avec n spins "up". Ensuite en faisant la somme de tous ces termes on voit apparaître le binôme de Newton pour se ramener au résultat.