Equation des télégraphistes en courant continu

[misalaterre]

Bonjour,

Je me retrouve confronté à résoudre l'équation des télégraphistes (mais en courant continu, donc avec un circuit composé de résistances uniquement, et alimenté par un générateur de courant I0). En pratique, j'ai une ligne résistive homogène (r au km, r est connue et constante) couplée avec le sol par des résistances hétérogènes g1 à gN, ces résistances étant inconnues et variant géographiquement le long de la ligne. Je joins un petit schéma pour illustrer.

Ma question est de savoir si on peut résoudre cette pseudo équation des télégraphistes, sachant que par mesures électriques, je peux connaître la tension de la ligne en chaque point (V0 à VN), mais pas les courants les courants I1, I2 etc. Or, je souhaite déterminer ces courants. Je me demandais si l'équation des télégraphistes se résolvait lorsque les résistances de couplage étaient variables, et dans la négative, si je pouvais retrouver les courants avec un système de N équations.

Je vous remercie.

Pièce jointe supprimée
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[JPL]

Les illustrations doivent être postées dans un format image (gif, png, jpg). Merci.

[gts2]

Il faut écrire l'équation pour chaque tronçon : Un=... Un+1=... In=... vous avez alors trois équations et trois inconnues gN, A et B les coeff. des deux exponentielles, vous pouvez en déduire In+1
Vous voyez qu'il faut connaitre In, il faut donc partir de 0 pour lequel vous connaissez I0 et U0 et remonter.

[misalaterre]

Bonsoir,

A JPL, vote site indique que le format .odt est valide, et j'ai donc mis ma pièce jointe sous ce format.

A GTS2, merci pour vos pistes, mais je je rends compte que je me suis mal exprimé : en fait, je connais certains Vi mais pas tous. Par exemple, je connais V0, V3, V8 et V10 (avec N=10) mais pas les tensions intermédiaires. Pensez-vous que ce soit jouable ?
J'essaie d'envoyer un schéma demain.

[A voir en vidéo sur Futura]

[JPL]

Le format odt est valide mais c’est un format très lourd à consulter pour une illustration. Il y a un message important épinglé en tête de ce forum : https://forums.futura-sciences.com/p...de-poster.html qui précise :

Cliquez sur le trombone pour ouvrir la fenêtre "gérer les pièces jointes"
Voir les formats qui vous sont proposés, Les tailles maximales s'affichent dans la fenêtre
Le mode ".JPG" ou ".JPEG" pour les images est le plus approprié.
Pour les schémas (moins de 256 couleurs) le ".GIF" est beaucoup mieux adapté que le ".JPG".
Evitez les ".bmp" trop gourmands en espace mémoire (Paint® transforme un ".bmp" en ".JPG ou .JPEG" ou bien ".GIF" simplement par la fonction "enregistrer sous)

Note: Un schéma sous Word®/Excel® ou OpenOffice peut se transformer aisément en ".JPG" ou ".GIF". Pour cela, copier l'objet dessin ou schéma, le coller sous Paint® ou GIMP puis "enregistrer sous" avec l'extension ".JPEG -.JPG" ou ".GIF"

[gts2]

Bonjour,

S'il vous manque des données, là on n'y peut rien.

[misalaterre]

Bonjour

A JPL, c'est bien noté, j'ai omis ce message (concernant la lourdeur) et je m'en excuse.

A gts2, c'est bien ce qui me semblait mais je vous remercie quand même. J'essaie une autre piste : transformer les cellules rg (r longitudinale et g transverse) qui sont en série sur une portion de ligne en une seule cellule équivalente r'g' (r' et g' dépendent de r et g) de façon à garder la même impédance en sortie.Il me semble que ça se résous avec la méthode des quadripôles. Qu'en pensez-vous ?

[gts2]

Bonjour,

Si vous avez la tension aux bornes de chaque diviseur de tension, OK, mais ce n'est pas le cas à ce que j'ai compris.
Ou alors vous définissez les quadripôles entre les tensions connues et votre g est un g moyen des sections.

[misalaterre]

Bonjour,

C'est parfaitement ça : entre deux capteurs de tension connue, je cherche à modéliser ma section avec des g constants par un quadripôle type RC. Pensez-vous que la méthode des matrices de transfert de quadripôles en cascade soit la bonne méthode ?

[gts2]

Cela doit pouvoir marcher, mais il me semble que l'équivalent d'une ligne est plutôt un quadripôle de type T (ou Pi), il faudra donc "découper" votre r' en 2, un à l'entrée l'autre à la sortie.
"(r' et g' dépendent de r et g)" et de L et pas sous la forme r'=r L.

[misalaterre]

Bonsoir,

J'ai essayé la modélisation avec une cellule en T et j'ai pu exprimer chaque résistance de cette cellule équivalente en fonction de mes résistances de ligne r (connues) et de mes résistances transverses g( inconnues). Malheureusement, je tombe sur une référence circulaire...

[gts2]

Cela donne quoi, et qu'est précisément votre référence circulaire ?

[misalaterre]

En fait, je voudrais bien vous le montrer avec une pièce jointe mais je n'arrive pas à masser mon diagramme sur Paint pour le passer en format image (gif). Je crois que l'origine de ma référence circulaire tient dans le fait que lorsque je produis un quadripole (en T) équivalent à ceux en cascade de ma section de ligne, ma résistance longitudinale devient fonction de la résistance transverse (que je ne connais pas) et je me retrouve donc avec une inconnue supplémentaire, que je n'avais pas avant. C'est vraiment dommage que je ne puisse pas vous montrer le diagramme (je travaille sur dia). En attendant, j'ai essayé avec une impédance "approximative" (je néglige les fuites sur ma ligne et j'introduis un coefficient correcteur ensuite), mais c'est loin d'être satisfaisant.
Je reviendrai vers vous avec un pièce jointe quand je pourrai.
Merci pour votre aide en tous cas, j'apprécie !
Bon dimanche

[misalaterre]

Voilà, j'ai réussi tant bien que mal à faire un petit schéma, que vous trouverez en pièce jointe. J'ai transformé les différentes sections de ma ligne télégraphique (toujours en continu, donc avec des résistances uniquement) en quadripôles en T. En fait, ma ligne comporte une dizaine de sections différentes mais si on arrive à résoudre le système pour 3 sections comme je l'ai représenté, on devrait le faire pour N. A noter que la section finale, à droite sur le dessin, est la fin de ligne, donc on se retrouve avec un circuit ouvert et le courant entrant dans cette section fuit intégralement dans G3.

[gts2]

Bonjour,

Vous aviez dit au départ : "r au km, r est connue et constante", cela donne une équation, l'équation de transfert du quadripôle donne deux équations, soit trois équations) qui doivent permettre de déterminer vos trois inconnues, disons R1, G1, I1.

Le problème je suppose réside dans l'équation avec r ?

[gts2]

Tout calcul fait (je peux vous les fournir pour vérification) :

et

pas très sympathique, je le reconnais.

[gts2]

On peut fortement alléger les calculs si la ligne est courte.
De quel ordre de grandeur sont les variations des Vi ?

[misalaterre]

Bonsoir,

Il est vrai qu'au départ, les r étaient connus. Mais si je détermine un quadripôle équivalent à chaque section, le R devient fonction de g également (en plus de r qui n'est au départ que la résistance longitudinale de la ligne en fonction de la longueur), ce qui le rend inconnu puisque g est inconnu. Vos équations ne me font pas si peur que ça, mais est-on en mesure de trouver les courants (à la rigueur, je ne cherche même pas g) à l'aide des tensions ?
La ligne va de 10 à 100km, je ne sais pas si cette donnée peut vous aider. Les sections étant une subdivision de la ligne, on parlera alors de 10km max par section (ordre d'idée). Les variations de V vont de 60V (tension maximale de sécurité en courant continu dans mon domaine) à 1V à l'extrémité de la ligne. Nous sommes donc dans l'ordre du Volt (ou de la dizaine de Volts).
Je peux essayer de vous redessiner ma ligne sans quadripôle équivalent. Peut-être que vous aurez une autre façon d'approcher le problème. si ça se trouve, c'est moi qui complique avec mes quadripôles...

[gts2]

Bonjour,

Déjà au vu de vos valeurs de tension (passage de 60 à 1 donc ligne longue), on ne peut pas alléger, c'est dommage, mais cela n'a pas l'air de vous gêner donc pas de problème.

Le problème est, en effet, que pour une ligne longue les r et les g se mélange.

A la question "mais est-on en mesure de trouver les courants (à la rigueur, je ne cherche même pas g) à l'aide des tensions ?", la réponse n'a pas varié : si on connait toutes les tensions au saut de comportement de g, oui, sinon ce n'est pas possible, à moins de considérer qu'une section (g1,l1) suivie de (g2,l2) soit modélisable par (g,l1+l2) avec un g à définir.
On peut toujours le faire surtout si vous ne cherchez pas g, mais avec une erreur que je n'ai pas calculé.

Dans ce cas, le passage par le quadripole en T rajoute une couche de calcul qui a l'avantage d'être connue.
Ceci étant on peut écrire, au problème près du g variable,

[misalaterre]

Bonsoir,

Au vu de vos calculs, il me semble qu'on avance sérieusement puisqu'on est capable d'exprimer des tensions (connues) en fonction de courants inconnus (mais on dispose du premier, venant de notre générateur, donc par récurrence, on devrait pouvoir faire quelque chose). je vais regarder de plus près.
Juste pour être sûr que l'on parle de la même chose dans les grandeurs utilisées :
- r et g sont les résistances par unité de longueur (donc r en Ohm.km et g en ohm.km) ?
- r et g sont relatifs à la section à laquelle ils appartiennent ? On aura donc r1 et g1 sur la section 1 par exemple ?
- r et g sont les valeurs d'une cellule élémentaire en T de la ligne télégraphique (et pas les paramètres du quadripôle équivalent) ?

[gts2]

r et g sont bine linéique : par km

g est variable d'une section à l'autre

On parle bien de la ligne

[misalaterre]

Merci pour ces confirmations rassurantes. Il me reste à mettre tout cela en équations maintenant, en espérant que j'arriverai à isoler les courants sans être dépendants des g (que je ne connais pas). Je mouline de mon côté et reviens vers vous.

[misalaterre]

Bonjour,

Les équations matricielles que vous m'avez écrites sont-elles valables pour tout quadripôle de la ligne, ou seulement entre V1 et V2 tels que représentés sur mon circuit en pièce jointe ? autrement dit puis-je appliquer vos équations avec V0 et V1 également ? Si c'est le cas, dans la mesure où je connais V0 et I0, je pourrais avoir g et I1 (seules inconnues) grâce aux deux équations venant de la matrice (restera à extraire g, ce qui ne sera pas une mince affaire car il est "enfermé" dans des fonctions hyperpboliques)

Merci et bon WE

[gts2]

Les équations sont exactes pour tout bout de ligne de longueur l, la seule contrainte est r=Cte et g=Cte.

[misalaterre]

On est d'accord. Et I1 entre dans le bout de ligne tandis que I2 en ressort ?

[gts2]

Oui I est toujours dans le même sens selon x, donc pas la convention usuelle des quadripôles (qui s'empresse d'ailleurs mettre un -I dans le vecteur de sortie)

[misalaterre]

Super. Je tiens à vous remercier pour votre accompagnement sur ce sujet, j'apprécie beaucoup !

[misalaterre]

Bonsoir,

Je rouvre ce sujet suite à de petites investigations qui me conduisent à penser que les équations matricielles décrites plus haut ne sont plus valable lorsque la ligne électrique voit sa résistance de fuite varier avant ou après la section où les équations sont appliquées. En effet, pour certains cas de tension, je me retrouve avec des courants sortants (de la section) négatifs, ce qui est contraire aux lois de la physique. Je fais l'hypothèse que que ces équations restent valables lorsque la ligne entière (et pas seulement la section) est homogène.
Supposons que la ligne soit découpée en plusieurs sections de conductance de fuite (g dans notre exemple) différente, chacune des sections restant homogène. Existe-t-il un système d'équations pouvant nous permettre de trouver les g ainsi que les courants entrant et sortant lorsqu'on connait les tensions encadrant ces sections ?
Merci.

[gts2]

Bonjour,

- Ce sont des investigations numériques ? Si oui, pouvez vous m'envoyer les données (par un lien en message privée par ex.).
- Vous n'avez pas vérifié mes calculs ? Si oui, je peux les vérifier pour voir s'il n'y a pas une erreur, type erreur de signe, en particulier pour ce qui est des conventions d'orientation.

Tout ceci pour dire qu'au niveau principe je ne vois pas où est le problème, mais je vais chercher aussi de ce côté là.

[gts2]

Auriez-vous une idée de l'ordre de grandeur de r (résistance linéique) ?