Intégration de la vitesse

[invitedfdfd480]

Bonjour à tous,

Je rencontre un problème après plusieurs heures de recherche, je viens demander de l'aide.

Voici la donnée du problème : Un objet se déplace le long d'une ligne droite de facon que v(t) = (1,00m/s3)t^2 - (1,00 m/s2)t - 6,00 m/s. Déterminer la distance totale parcourue pendant l'intervalle de temps 1,00s ≤ t ≤ 4,00s. [rép : 10,2]


--> j'arrive à trouver la valeur algébrique du déplacement en intégrant d(t=4)-d(t=1) = ∫ 1t^2-1t-6 = -4,5m.

--> j'arrive pas plus loin
Il est suggéré dans la consigne d'utiliser le fait que l= ∫ , bornes de 1 à 2, |v(t)|dt ..... Je comprends que c'est une valeur absolue, mais je vois pas comment l'utiliser... Doit-on faire 2 intégration séparée ?

je suis vraiment perdue, merci d'avance pour votre aide
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[Resartus]

Bonjour,
La primitive que vous avez calculée donne la distance algébrique à l'origine, mais il vous faut la distance totale parcourue.
La première étape est de trouver quand l'objet va s'arrêter et repartir en arrière : la vitesse va s'annuler puis changer de signe. Et ensuite vous aurez en effet deux intégrales définies à calculer pour trouver la distance totale : distance du point de départ jusqu'à l'arrêt, et distance de l'arrêt jusqu'au point d'arrivée

[Kiraxel]

Bonsoir,

La fonction v(t) = t²-t-6. On obtient v'(t) =2t-1.
On étudie les variations de v grâce à la dérivée.
On voit qu'elle part de v(0) = -6, qu'elle diminue jusqu'à attendre un minimum local en t=0,5, pour lequel v(0,5)= -6,25.
Puis ensuite, v(t) est croissante sur [0,5 ; + infini] car la dérivée est positive sur cet intervalle.

Donc il y a bien une valeur pour laquelle v(t) vaut 0. Quelle est cette valeur ?

On peut écrire t²-t-6=0. On résout une équation du second degré.
On trouve t1 = -2 ou bien t2 = 3. La première solution n'étant pas pertinente, on prend t2= 3.

La fonction s'annule donc en t=3.
L'objet va donc se déplacer dans une certaine direction en t=1 et t=3, puis changer de direction entre t=3 et t=4.

On intègre la fonction entre 1 et 3 : ∫t²-t-6 dt = [t³/3-t²/2-6t] prit entre 1 et 3. Après calcul, on obtient -22/3 m. Comme on cherche une distance parcourue, cette valeur doit physiquement être positive, donc ça fait 22/3 m.
Puis on intègre entre 3 et 4 : ∫t²-t-6 dt = [t³/3-t²/2-6t] prit entre 3 et 4. Après calcul, on obtient 17/6 m.

Enfin on additionne les deux distances parcourues sur les deux tronçons : 22/3+17/6 = 44/6 + 17/6 = 61/6 ce qui est à peu près égal à 10,2 mètres.

[invitedfdfd480]

Ah c'est vraiment super, ça s'est éclaircit !
Est-ce une intégration par partie ?

Merci milles fois

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

A l'attention de Kiraxel.

Relire cette phrase de la charte:

Bonjour,

nous suggérons à ceux qui savent résoudre les exercices de ne pas en poster des corrections complètes, mais de privilègier des indications, rappels de méthode, etc. Ceci permet évidemment de tirer profit au maximum des possibilités du forum : l'accompagnement est en général bien plus profitable à l'auteur du fil qu'un corrigé tout fait.

C'est bien entendu déjà la politique pratiquée sur ce forum, ce message s'adressant en particulier aux nouveaux.

Merci pour votre participation !