Définition d'une Dirac

[iPhysics]

Bien le bonjour à toutes et à tous !

Dans mes souvenirs, on avait défini dans un de mes précédents cours l'impulsion de Dirac comme une "fonction" (je sais qu'il ne s'agit pas réellement d'une fonction à proprement parler) prenant une valeur infinie en un point (typiquement, en 0) et prenant une valeur nulle partout ailleurs. Ainsi, on a pu concevoir la propriété : , en effet si on faisait "tendre une fonction vers une dirac" en prenant une valeur uniforme de n sur un intervalle de longueur 1/n on obtenait toujours une aire unitaire, même en faisant tendre le n vers l'infini.

Avec cette définition, on comprend aisément que la dirac est une fonctionnelle qui est l'élément neutre de la convolution. On admet facilement d'ailleurs que la Dirac est, au sens des distributions, la dérivée de la fonction de Heaviside.

Cependant, en relisant l'introduction d'un de mes cours actuels (j'ai visiblement bien fait !!), la Dirac est définie comme égale à 1 en 0 et égale à 0 partout ailleurs. Avec cette définition, j'ai beau réfléchir, je ne vois pas comment l'intégrale de cette distribution peut être unitaire (ce qui est pourtant bel et bien rappelé dans les propriétés de ladite Dirac), et mes raisonnements me conduisent à une Dirac aussi neutre pour la convolution que le 0 ne l'est pour la multiplication...

Il pourrait s'agir d'une erreur mais venant de ce syllabus, cela m'étonnerait très franchement. Je vous remercie d'ores et déjà pour vos réponses à mon problème !
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[albanxiii]

Bonjour,

On admet facilement d'ailleurs que la Dirac est, au sens des distributions, la dérivée de la fonction de Heaviside.

On fait même mieux, on le démontre rigoureusement à partir de la définition de la dérivée d'une distribution.

Pour votre question, je pense qu'il y a confusion entre la distribution de Dirac qu'on utilise en analyse et la masse ou mesure de Dirac de la théorie de la mesure : https://fr.wikipedia.org/wiki/Mesure_de_Dirac

[iPhysics]

J'ai en effet étudié la distribution de Dirac en analyse. Il s'agit ici là d'un cours sur le traitement de signaux. Nous n'avons eu l'occasion d'étudier la théorie de la mesure que très brièvement dans notre cursus, mais je trouve alors cela étrange car il est indiqué mot pour mot dans mon syllabus que l'impulsion de dirac est définie comme unitaire lorsque n=0 et nulle lorsque n est différent de 0. Mieux que ça, pour illustrer certaines propriétés telles que , on utilise des graphiques avec notamment la prétendue impulsion de Dirac avec un pic de hauteur 1 lorsque l'abscisse est nulle.

[gts2]

Est-ce que vous ne travaillerez avec des signaux échantillonnés, donc discrets ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[iPhysics]

Le cours traite bien sûr le cas de signaux échantillonnés. L'hypothèse que l'impulsion de Dirac soit utilisée dans le cas d'échantionnages n'est pas clairement énoncée mais c'est une possibilité oui

[gts2]

Si vous êtes dans le domaine numérique, discret, est l'impulsion unité qui vaut en effet 1 lorsque n (entier) vaut zéro, et 0 sinon.

avec n entier est l'analogue de avec x réel, mais ce n'est pas une distribution.

u(n) est de même l'échelon unitaire et delta est la dérivée (au sens numérique) de l'échelon :

[iPhysics]

Je pense que cela résout pas mal de mes problèmes ... Merci beaucoup !