Jauge électromagnétisme

[Alex1504]

Bonjour,
Durant le cours d'aujourd'hui, notre prof nous a "balancé" la jauge de Lorenz sans explication autre que "c'est vrai" et j'aimerais bien en savoir un peu plus. Je connais les invariances de Jauge classiques mais je ne vois pas en quoi elles donnent le droit de choisir div(A) comme on le désire (A étant le potentiel vecteur) ... Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi on peut choisir div(A) = "ce que l'on veut" svp? (j'ai vu les autres posts sur ce forum à ce sujet mais ils ne répondent pas à ma question et sont assez anciens)
A bientôt
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[Deedee81]

Salut,

Regarde ici :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Potent...iance_de_jauge

Quand on regarde comment les champs électriques et magnétiques dérivent des potentiels (scalaire et vecteur) on constate une certaine liberté. On peut modifier le potentiel vecteur (et le scalaire en parallèle) sans modifier les champs électriques et magnétiques et donc les grandeurs physiques. En particulier on peut ajouter la divergence d'un champ scalaire quelconque au potentiel vecteur. Comme, par exemple, le rotationnel d'une divergence est nul, cela ne modifie pas le champ magnétique (pour l'électrique il faut ajouter un changement approprié du potentiel scalaire).

On doit donc ajouter une règle quelconque pour "fixer" la jauge. Plusieurs choix sont possibles, souvent pour des raisons pratiques : jauge de Coulomb (avec des charges statiques ça simplifie considérablement les équations), jauge axiale, etc... et surtout la jauge de Lorentz (qui a la gentillesse d'être relativiste).

[Alex1504]

Merci, je comprends ce que vous dites (juste vous dites divergence au lieu de gradient). Cependant, je ne vois pas comment en partant d’un couple (A,V) tel que
div(A)+1/c^2(d/dt(V))=«*n’importe quoi*»
On peut, juste en effectuant les transformations de jauge sur (A,V) (avec un champ phi bien choisi) passer à la jauge de Lorenz...

[Deedee81]

Ah oui, désolé. Mélangé gradient et divergence.

je ne vois pas comment en partant d’un couple (A,V) tel que
div(A)+1/c^2(d/dt(V))=«*n’importe quoi*»
On peut, juste en effectuant les transformations de jauge sur (A,V) (avec un champ phi bien choisi) passer à la jauge de Lorenz...

Là je ne comprend pas trop la question. On ne "passe" pas par calcul à la jauge de Lorentz (EDIT mais voir ci-dessous, je crois que j'ai compris ta question), c'est juste un choix imposé aux potentiels pour fixer l'arbitraire dans les potentiels. La seule question qui peut se poser c'est "comment sait-on que cette jauge fonctionne". D'où :

Ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Jauge_de_Lorenz
On donne en détail comment on fait pour choisir cette jauge. Les calculs ne sont pas triviaux.

Je pense que ça répond à ta question car oui passer d'une jauge quelconque à la jauge de Lorentz en choisissant le phi approprié n'est pas trivial.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Alex1504]

Désolé je n’ai pas été très clair. Effectivement, je vois que la jauge de Lorenz «*marche*» au sens où elle donne de «*belles équations*» sur A et V. Mais ma question est plus liée à ma méconnaissance de rot et div.
Si je comprends bien, choisir une jauge revient à choisir div(A). Or, rot(A) étant déjà fixé égal à B, je ne savais pas que l’on pouvait à rot(A) fixé choisir ce que l’on souhaite pour div(A). Cela signifie que le rotationnel d’un champ ne présume rien de sa divergence. Est-ce bien le cas? Si oui, existe-t-il une explication à cela? (Si l’explication fait 20 pages je veux bien admettre mais s’il existe une preuve pas trop dure ça m’interesse)

[Deedee81]

Il y a forcément un lien entre le rotationnel et la divergence mais ils n'ont aucune raison d'être identiques et le lien entre les deux n'est pas trivial. En tout cas pas de lien direct, la divergence n'étant pas bijective (on ne peut inverser l'opérateur) et le rotationnel non plus. Et oui il reste pas mal de liberté même en fixant l'un des deux.

Quelque lien entre rotationnel et divergence si nécessaire :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Rotationnel

[Alex1504]

Mais s’il y a un lien entre rot et div, alors on ne peut pas choisir n’importe comment div(A)... Pourquoi peut-on quand même poser div(A)=0 (Coulomb) ou div(A)+1/c^2(dV/dt)=0 (Lorenz)?
Ne risque-t-on pas d’entrer en contradiction avec rot(A)=B? L’invariant de jauge permet-il de justifier qu’on a bien le droit de choisir A ainsi?

[Deedee81]

L’invariant de jauge permet-il de justifier qu’on a bien le droit de choisir A ainsi?

Oui car le lien n'est pas fort à ce point. Tu peux avoir un rotationnel donné et une divergence quelconque. Ceci dit tu es plus pointilleux que moi car je ne m'étais jamais posé la question ! Reste donc à le vérifier (avec les formules de rot et div). Ou a attendre si quelqu'un a la réponse ici (je serai aussi curieux que toi de voir la réponse, enfin, bon, je pourrais chercher moi-même aussi mais comme je suis au boulot j'aurais un peu de mal à trouver le temps).

[Alex1504]

Merci d’avoir pris le temps de me répondre. Si quelqu’un a la réponse, qu’il n’hésite pas!

[Deedee81]

Ah oui mais si mais non, la réponse est toute bête (je l'avais donnée plus haut en fait). A un petit bémol près juste à la fin, faut y réfléchir.

Supposons que tu as une fonction F quelconque (un champ évidemment). Alors
rot div F = 0

Et donc si tu as un champ A tel que rot A = B
Tu peux lui ajouter n'importe quelle divergence : A' = A + div F
Et de là rot A' = rot A + rot div F = rot A = B

Et ajouter une divergence quelconque revient à fixer la divergence car div A' = div A + une divergence arbitraire
(hum div div F n'est pas entièrement arbitraire, à creuser)

Bon réunion dans 5 minutes, A+

[Deedee81]

Beaucoup de bavardages ce qui m'a permit de réfléchir en background

Et il faut le temps que tout me revienne mais :
le div div (en fait c'est div grad évidemment) c'est le Laplacien.
Et de mémoire on peut fixer la divergence comme on veut mais à condition que le laplacien de F soit nul. A creuser.
Pffff y a trop longtemps que j'ai fait tout ça moi.

EDIT je ne devrais pas réfléchir pendant une réunion, ci-dessus c'est la co....ie du siècle.
Bon je vais laisser murir, je trouverai peut-être avant que quelqu'un d'autre explique

[Alex1504]

Merci d’avoir continué à y réfléchir, au moins je pimente la réunion

[Deedee81]

J'y réfléchit encore et la soirée portant conseil et demain je serai reposé..... A demain
(je suis presque parti là.... je précise que chez moi.... je n'ai pas internet.... ni télé, ni téléphone, oui, oui, je suis un loup blanc ou un vieil ours dans sa caverne, au choix )

[Deedee81]

Salut,

Ok, je n'étais pas loin, fallait juste que ça me revienne. Ca a fait tilt pendant que je rentrais en voiture, j'ai pensé "et poisson gros bêta" (pourtant j'ai pas mangé du poisson mais de la soupe au cerfeuil )

On a donc un changement de jauge :

Et donc si tu as un champ A tel que rot A = B
Tu peux lui ajouter n'importe quelle divergence : A' = A + grad F

Puisque rot grad = 0.

Maintenant on veut pouvoir fixer la divergence de manière arbitraire. Ce qui revient à choisir div A' = div A + div grad F.
C'est-à-dire à pouvoir trouver F tel que
laplacien F = un champ arbitraire.

Or c'est toujours possible. C'est :
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Poisson

Il suffit de fixer les conditions aux limites sur le champ (par exemple périodique ou s'annulant à l'infini) pour garantir la solution et même son unicité.
(c'est une https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...s_hyperbolique , c'est les plus gentille ).

C'est là que je coinçais hier, je pensais que c'était plus simple/direct. Ma mémoire me trompait.

Et donc on peut toujours fixer la divergence avec la condition de jauge. Evidemment en pratique on ne s'amuse pas à chercher le F qu'il faut. Savoir qu'il existe est suffisant. Et ce qu'on va faire est par exemple imposer div A = 0 pour Coulomb ou la relation div(A)+1/c^2(dV/dt)=0 pour Lorentz et vogue la galère.

[Alex1504]

Merci! Effectivement, ça marche pour Coulomb. Mais V est également modifié par l’ajout de grad(f) à À: V’=V-d/dt(f)
Et donc il me semble qu’il faudrait en tenir compte, non? (On ne peut pas imposer div(A’)+1/c^2dV/dt=0
Mais on cherche plutôt
div(A’)+1/c^2dV’/dt=0)
Il faudrait donc montrer que
laplacien(f)-1/c^2((d^2/dt^2)f)= ce que l’on veut.
Mais je pense que la démo s’approche de celle de Poisson

[Deedee81]

Tu as raison on a des équations couplées et la solution n'est pas garantie a priori mais :

Mais je pense que la démo s’approche de celle de Poisson

C'est exactement ce qu'on trouve dans le lien sur la jauge de Lorentz plus haut. Mais c'est vrai que c'est un peu plus compliqué. Et ça ne marche que grâce à la forme relativiste des équations de Maxwell.

[Alex1504]

Merci pour votre aide, mon problème est résolu