Relativité Restreinte & Énergie cinétique

[Elendilh]

Bonjour à toutes et tous,

Dernièrement, je cherchais une solution analytique et relativiste au théorème de l’énergie cinétique,


En partant de l’équation de la Relativité Restreinte,


Et de l’équation de la conservation de l’énergie,


Il est possible de montrer que,


Avec le terme cinétique valant lorsque est nulle, et tendant vers lorsque tend vers ,

Naturellement, on peut tester la validité de cette écriture en l’égalisant avec celle d’Albert EINSTEIN,


Qui permet de retrouver la définition du facteur de Lorentz,


De plus, cette solution converge aux faibles vitesses devant vers la solution Classique au théorème de l’énergie cinétique,


(1) Pouvez-vous confirmer la validité de cette formule ?
(2) Savez-vous si cette formulation existe déjà dans la littérature ?
(3) Quel est l’éventuel intérêt qu’elle pourrait présenter, sachant notamment que la solution Classique reste utilisée dans certaines équations célèbres de la physique actuelle ?

Merci d’avance pour vos retours,
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[mach3]

(1) Pouvez-vous confirmer la validité de cette formule ?

oui, c'est correct (j'ai eu du mal au début car je n'avais pas fait attention à l'utilisation de la masse relativiste m et de la masse au repos m0, ce qui est plutôt désuet)

(2) Savez-vous si cette formulation existe déjà dans la littérature ?

jamais vue personellement

(3) Quel est l’éventuel intérêt qu’elle pourrait présenter, sachant notamment que la solution Classique reste utilisée dans certaines équations célèbres de la physique actuelle ?

le seul intérêt que j'y vois est un lien légèrement plus rapide et évident avec l'énergie cinétique classique, car la formulation usuelle (en ) oblige à un développement limité moins évident pour retomber sur , sinon ce n'est qu'un jeu sur des formules.

m@ch3

[azizovsky]

Il y'a un ....https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...ette%20vitesse

[azizovsky]

ps: même remarque avec la masse au repos: oui juste, il y'a une semaine que je l'ai appris .

[A voir en vidéo sur Futura]

[Elendilh]

Bonjour,

Cet article de Wikipédia, c'est moi qui l'ai modifié pour intégrer cette formule,
S'il y a un , c'est parce que la masse en question est la masse propre,

Ici, la masse est la masse relativiste, avec la masse propre,

[Elendilh]

Merci beaucoup pour cette réponse,

Je continue de m'interroger sur l'éventuel intérêt que cette formule pourrait présenter, notamment dans le cadre de plusieurs équations de la physique actuelle qui utilisent encore la formulation Classique pour l'énergie cinétique, à savoir :

(a) L'équation de Schrödinger

À partir de l'équation de conservation de l'énergie,


Avec,


D'où,


(b) L'équation de Schwarzschild

Considérant une particule de masse et de vitesse fuyant l'attraction d'un astre de masse distant d'une longueur , de telle sorte que l'énergie cinétique soit égale au potentiel gravitationnel donné par Newton alors,


Avec,


Il vient que,


Avec le terme cinétique valant lorsque est nulle et tendant vers lorsque tend vers ,

Et d'où,


Ici encore, pouvez-vous confirmer la validité de ces formules ?

Merci d'avance,

[azizovsky]

Elle m'a servie..., merci.

[Elendilh]

Elle m'a servie..., merci.

Dans quel contexte ?

[azizovsky]

Déjà l'équation de Schrödinger est non relativiste (gamma~1), pour le reste, je laisse les spécialistes de la RG.
Ici : https://forums.futura-sciences.com/p...elativite.html

[Elendilh]

Déjà l'équation de Schrödinger est non relativiste (gamma~1), pour le reste, je laisse les spécialistes de la RG.
Ici : https://forums.futura-sciences.com/p...elativite.html

Oui, c'est bien pour cette raison que l'utilisation de cette formule pourrait la rendre relativiste

[azizovsky]

on a deux définition de l'énergie : classique et relativiste, deux cadre de pensée différents....
Par définition = c'est coulé une idée physique (concept) dans le moule mathématique (usine de fabrication des idées selon Alain Connes).

[Elendilh]

on a deux définition de l'énergie : classique et relativiste, deux cadre de pensée différents....

L'équation de Schrödinger actuelle est non-relativiste uniquement parce qu'elle emprunte la définition Classique de l'énergie cinétique,

Utiliser une définition relativiste de l'énergie cinétique revient à rendre l'équation de Schrödinger relativiste.

[azizovsky]

Il y'a l'équation de Dirac qui sort directement de E²=m²+p² par linéarisation E=am+bp , or le couple (a,b) des matrice 4x4....
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Dirac

[azizovsky]

Un développement un peu historique ici:http://www.sciences.ch/htmlfr/physat...quantrel01.php

au fait nos prédécesseurs ont aussi fait de nombreux essais avant de poser cela...

il parle de la relation (43.100)

[Elendilh]

Il y'a l'équation de Dirac qui sort directement de E²=m²+p² par linéarisation E=am+bp , or le couple (a,b) des matrice 4x4....
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quation_de_Dirac

Oui, c'est vrai, l'équation de Dirac est relativiste,

Le problème vient de la difficulté à déterminer le couple de linéarisation (a,b), qui n'est, en pratique, jamais évident à trouver.

[Elendilh]

Déjà l'équation de Schrödinger est non relativiste (gamma~1), pour le reste, je laisse les spécialistes de la RG.
Ici : https://forums.futura-sciences.com/p...elativite.html

Et que pensez-vous du calcul sur l'équation du rayon de Schwarzschild ?

[azizovsky]

Bonsoir, le rayon de Schwartzschild :https://fr.wikipedia.org/wiki/Rayon_de_Schwarzschild
C'est deux fois ce que tu as trouvé .
La relation classique (mv²/r=GmM/r²) donne pour v=c ta relation .

[Elendilh]

Bonsoir, le rayon de Schwartzschild :https://fr.wikipedia.org/wiki/Rayon_de_Schwarzschild
C'est deux fois ce que tu as trouvé .
La relation classique (mv²/r=GmM/r²) donne pour v=c ta relation .

Bonsoir,

Comment expliquer ces deux résultats différents et apparemment contradictoires ?

Le résultat présenté dans l'article Wikipédia en question, vient de l'utilisation de la formule Classique de l'énergie cinétique,


Lorsqu'on l'égalise avec le potentiel gravitationnel donné par Newton, on obtient,


D'où il vient que,


Ensuite, lorsqu'on fait tendre vers , on a,


Cependant, n'est-il pas contre-intuitif d'utiliser une formule Classique, qu'on sait pertinemment n'être plus valable pour des vitesses relativistes et d'ensuite faire tendre la vitesse vers ?

[Mailou75]

Salut,

Cependant, n'est-il pas contre-intuitif d'utiliser une formule Classique, qu'on sait pertinemment n'être plus valable pour des vitesses relativistes et d'ensuite faire tendre la vitesse vers ?

C'est la première définition du trou noir, par Laplace/Mitchell (si je ne me trompe pas) les formules classiques restent valides pour une trajectoire radiale quelque soit l'altitude de départ. En coordonnées de Schwarzshild (relativistes), pour ceux qui sont partis depuis l'infini c'est le repère de Painlevé : temps propre Tau et coordonnée r sont "classiques" mais l'espace synchronisé de l'observateur à l'infini prend une claque. J'imagine que tu prends ça pour du chinois mais c'est la bonne réponse, moi aussi je trouve ça bizarre... il parait qu'en radial, en partant de l'équation "générale" d'Einstein, il y a plein de trucs qui s'annulent et qu'on retrouve Newton (cf pros si tu veux creuser).

[mach3]

Cependant, n'est-il pas contre-intuitif d'utiliser une formule Classique, qu'on sait pertinemment n'être plus valable pour des vitesses relativistes et d'ensuite faire tendre la vitesse vers ?

Il se trouve que l'évolution de la coordonnée radiale de Schwarzschild r et du temps propre d'un chuteur libre sont décrit par exactement les mêmes équations que l'évolution du rayon et du temps absolu de la chute libre radiale newtonnienne :

Par exemple, pour ce qui est du cas avec culmination, on a chez Newton :

, avec un paramètre qui évolue de à et valant 0 à la culmination
Alors que dans la géométrie de Schwarzschild, on a :


(note, on a considéré c=G=1, ce qui fait que le rayon de Schwarzschild vaut 2M)
On a les mêmes similitudes pour le cas où la chute est à la vitesse de libération (la culmination est à l'infini), ou le cas de chute à une vitesse supérieure à la vitesse de libération.

La raison est dans l'arbitraire de la construction des coordonnées de Schwarzschild (surtout la coordonnée radiale r), d'autres choix de coordonnées radiales (par exemple celle des coordonnées dites isotropiques) donnent quelque chose de différent pour r petit (par exemple en isotropique, le rayon de Schwarzschild est 4 fois plus petit...). A posteriori, on pourrait presque dire que Schwarzschild a choisi son "r" de façon à ce que la chute libre radiale soit décrite avec les mêmes équations que chez Newton.
Attention, le "r" n'est pas physiquement la même chose pour Newton et pour Schwarzschild. En physique classique, r est la distance au centre, alors qu'en géométrie de Schwarzschild, r est ce qu'on appelle le rayon aréal (tous les points de même r forment une sphère de surface sans pour autant qu'ils soient à la distance r d'un centre, centre qui n'existe pas forcément...), les deux se ressemblent quand ils sont grands, mais n'ont quasiment rien à voir quand on approche du rayon de Schwarzschild.

m@ch3

(croisement avec mailou)