Identité remarquable Laplacien

[malakasolo]

Bonsoir,
j'ai un petit exercice à faire actuellement et je bloque complètement. Je suis des cours de propa-electro et je dois démontrer une identité remarquable(voir photo). J'ai pour l'instant fait : [notation : tri pour le laplacien] , tri(fg) = div(grad(fg)) = div(fgrad(g)+ggrad(f)) = fdiv(grad(g)) + gdiv(grad(f)) = f tri(g) + g tri(f). Il me manque la partie 2grad(f) grad(g) mais je ne sais pas comment faire. Pourriez vous m'aider svp ?

voici la demonstration à réaliser :
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[gts2]

Bonjour,

Les règles concernant les dérivées d'un produit reposent sur les mêmes bases que pour les dérivées ordinaires (uv)'=uv'+u'v.
Ce que vous avez bien fait pour la première dérivée.
Il faut donc faire de même au deuxième niveau pour div(fgrad(g)), vous avez bien dérivé g mais pas f.
Une astuce, utilisez le vecteur nabla pour trouver le morceau qui vous manque.

[malakasolo]

Merci pour ta réponse. J'ai donc fait comme en mathématique classique avec le vecteur nabla :
On sait que div(u) = nabla scalaire u ==> div(fgradg) = nabla scalaire fgrad(g) = nabla f nabla g
j'ai donc au total : nabla scalaire f tri g + g tri f.

Je sens qu'il y a une erreur mais je ne vois pas comment faire. Je n'ai pas bien compris le "Les règles concernant les dérivées d'un produit reposent sur les mêmes bases que pour les dérivées ordinaires (uv)'=uv'+u'v.
Ce que vous avez bien fait pour la première dérivée.
Il faut donc faire de même au deuxième niveau pour div(fgrad(g))"

[gts2]

div(fgradg) = nabla scalaire fgrad(g) = nabla ( f nabla g)

on dérive d'abord f en considérant constant, puis en considérant f constant.
On voit bien apparaitre grad(f) grad(g) et f laplacien g

Sinon vous connaissez peut-être

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

nabla scalaire fgrad(g) = nabla f nabla g

non, appliquez les règles de dérivation : ne perdez pas de vue que le "vecteur" est un vecteur formé de dérivées partielles

[malakasolo]

après avoir appliqué la seconde formule (plus simple) , j'ai obtenu :
div(grad(fg)) = div(fgrad(g) + ggrad(f))
= fdiv(grad(g)) grad(f) grad(g) + gdiv(grad(f))
= > j'applique la formule
= f tri g + grad(f) grand(g) + g tri f

Je pense que j'y suis presque mais je ne vois pas bien comment on applique les règles de dérivations sur ces expressions.
f joue le roule de x ? et div/grad celui de la fonction? Complètement perdu..

[gts2]

Vous l'avez fait correctement la première fois :
grad(fg)=f grad(g) + g grad(f) comme (uv)'=u'v+uv'.

Il suffit de recommencer : dans div ( f grad(g) ) ; f est la première fonction à dériver et grad(g) la deuxième ; soit div ( f grad(g) )=f div (grad(g) )+ grad(g) grad(f)

On reconnait div (grad(g) )

On recommence avec la deuxième partie on regroupe ...

div et grad sont les opérateurs de dérivation : le ' de (uv)' ; f et g sont les fonctions : les u et v de (uv)'.