Unification de la relativité générale et la mécanique quantique.

[Anonyme007]

Bonjour,

Bien que ce fil est censé être placé dans la section : Mathématiques, je me permets de le mettre ici, parce qu'il porte sur une notion physique, mais que ses origines remontent à l’émergence de la théorie d'unification mathématique. En mathématique, deux théories sont identiques, si leurs topos (i.e : catégories) correspondants sont équivalents.

Je voudrais dans ce fil discuter de l'unification de la mécanique quantique, et la relativité générale. Qu'est-ce qu'on entend mathématiquement parlant, par unifier la mécanique quantique et la relativité générale ?
D'après quelques lectures que j'avais faites à plusieurs reprises dans le passé, la théorie de relativité générale est une théorie géométrique. Par contre, la mécanique quantique est une théorie algébrique. Donc, finalement, on cherche à unifier une théorie algébrique et une théorie géométrique. Qu'est-ce que cela voudrait-t-il dire ?.

Classiquement, j'ai vu comment on unifie une théorie algébrique et une théorie géométrique, via des foncteurs : la géométrie différentielle s'identifie en partie à la théorie de l'algèbre commutative, car, la catégorie des variétés différentielles réelles, s'identifient à une sous-catégorie des algèbres commutatives.
Est-ce que, unifier la théorie de relativité générale, et la théorie de mécanique quantique consiste à exhiber un foncteur à travers lequel, on identifie une catégorie d'objets géométriques relevant de la relativité générale, et une catégorie d'objets algébriques relevant de la mécanique quantique ?

Merci d’avance.
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[Deedee81]

Salut,

Il ne s'agit pas à proprement parler d'unification mathématique. En effet, ces deux théories (RG et MQ) peuvent déjà en soi se formuler de plusieurs manières (physiquement) équivalentes. Et on peut formuler la RG de manière purement algébrique (en travaillant uniquement en composantes pour les tenseurs).

De plus après unification il n'y a pas équivalence ni avec la MQ ni avec la RG. Ni physique, ni mathématique.

Le mot unification peut avoir plusieurs signification. Ici, dans ce cas d'espèce :
- La MQ est une théorie quantique.... forcément. Avec les postulats bien connus.
- La RG est une théorie classique.... pas une théorie quantique.
=> unification = donner une formulation quantique de la RG (il y a aussi une approche inverse que je ne vais pas développer)

On ne peut échapper au problème car :
- Ces deux théories peuvent donner des résultats non compatibles
- Dans l'équation d'Einstein, le membre de droite est un tenseur énergie-impulsion (de la matière) alors que la grandeur équivalente en mécanique quantique est un opérateur. Mais ce n'est pas en soi un problème mathématique, c'est surtout que la grandeur quantique à un spectre de valeurs possibles et non une seule
- La mécanique quantique nécessite une notion de mesure qui nécessite un observateur extérieur, du moins sous sa forme ancienne (Copenhague), et en RG ça ne peut exister pour tout l'espace-temps

A contrario, on sait déjà quantifier des théories classiques. Il y a deux approches
- La théorie quantique des champs, où on quantifie le champ transmettant l'interaction
- On utilise la quantification dite canonique

Mais ça ne marche pas avec la RG. La première donne une théorie non renormalisable (impossible de se débarrasser des quantités divergentes) et la deuxième donne l'équation "incompréhensible" de Wheeler-DeWitt.

Face à ça des méthodes ont été trouvées : les cordes, les boucles (pour respectivement les deux approches ci-dessus) et quelques autres. Et ça marche sauf que.... on ne sait pas si c'est bon car le véritable soucis actuemlement est de les vérifier par l'expérience et c'est encore hors de notre portée.

[Deedee81]

J'oubliais de préciser l'aspect mathématique, très présent dans la question.

Les deux approches classiques (théorie quantique des champs et quantification canonique) ont l'avantage d'avoir des approches mathématiques solides et abordables.

Comme elles ne sont pas utilisables, les autres approches soulèvent forcément des difficultés mathématiques parfois redoutables. A la base déjà on a :
- La formulation perturbative de la théorie quantique des champs marche très bien mais seulement si on peut travailler avec des champs présent dans un espace-temps d'arrière-plan. Typiquement l'espace-temps de Minkowski. Si c'est un espace-temps quelconque (mais toujours imposé) c'est déjà beaucoup plus compliqué car la définition du vide quantique devient ambigüe (et c'est indispensable pour cette formulation). Et si on aborde la relativité générale, l'espace-temps devient dynamique, il y a un effet de la matière sur l'espace-temps et là c'est carrément inextricable. Des approches comme le super-espace sont non abouties : parfois on prend un sous-espace (appelé mini super-espace) mais de manière arbitraire et douteuse (pas de règle valable pour sélectionner le sous-espace), et l'approche complète nécessiterait a minima un classement des variétés riemanniennes... classement qu'on n'a pas.
- pour donner une difficulté : la supersymétrie est une approche assez "classique" de théorie quantique des champs et la supergravité à 11 dimensions une version particulière. Et pourtant on ne sait pas si c'est renormalisable !!!! Certains disent que cela améliore la renormalisabilité (c'est vrai) mais qu'elle reste non renormalisable et d'autres disent que si (grâce à certaines annulations favorables des divergences). A ma connaissance le problème n'est pas tranché... et on n'est même pas dans les affres de la gravité quantique habituelle !!!!
- Les approches quantifiées comme les boucles ou les triangulations causales sont très compliquées car on a des outils puissant pour des espaces continus mais moins pour les discrets (ou plutôt ici poir des espaces de distributions).
- Le temps (et l'espace aussi d'ailleurs) étant une variable dynamique en RG, une fois quantifié, il disparait des équations (c'est une quantité inclue dans le vecteur d'état et les spectres, comme tout autre quantité dynamique) et cela complique tout (pas de notion de transition, pas d'équation d'évolution).

Je connais moins les difficultés avec les cordes mais déjà un lagrangien avec des variable de corde plutôt que ponctuelle, c'est forcément beaucoup plus compliqué. Et à cause des compactifications il y a de redoutables difficultés topologiques.

Bref : les difficultés physiques engendrent des difficultés mathématiques. Et là aussi des données expérimentales seraient précieuses comme guide et en particulier pour pouvoir concentrer nos efforts sur les aspects qui le méritent au lieu de chercher tout azimut.

[ornithology]

Il y a en plus des tentaives moins bien établies mathématiquement qui tentent de faire émerger l'espace temps a partir des outils de la mécanique quantique, Espace de Hilbert, intrication. Mais aussi a partir des outils de la thermodynamique, température, chaleur, entropie.

Un exemple avec ce lien : space from Hilbert space

[A voir en vidéo sur Futura]

[ornithology]

Allez pas en déduire que je donne le lien parce que j'y ai compris plein de trucs.....

[Deedee81]

Allez pas en déduire que je donne le lien parce que j'y ai compris plein de trucs.....

Idem pour moi pour le coup, je connais les approches "de nom" (gravité thermodynamique, E=EPR,...) mais je n'en sais que ça.

C'est le soucis que j'évoquais plus haut. En plus d'être fort difficile, on explore tout azimut en l'absence de données expérimentales. Et donc impossible de connaitre tout en détail. Ce que je connais le mieux est la gravité à boucles et déjà comme ça, c'est vachement hard.

[ornithology]

Il y a un scenario qui commence a me parler un peu c'est celui du principe holographique.
Je me suis d'abord dit qu'un écran a l'infini sur lequel serait tout codé c'était pousser un peu loin le bouchon.
Mais il y a des cas en relativité générale ou ca a un sens bien défini , c'est dans le cas d'un espace asympotiquement plat a l'infini.
Dans General gravity 1984 Wald décrit au chapitre 11 comment on peut étendre l'espace temps en lui ajoutant quelques points a l'infini. c'est le cas pour l'espace plat de Minkowsky.
Wald écrit celui ci est conformalement isométrique a une certaine région de ce nouvel espace (figure 11.1)

Ce bord a l'infiny a donc un statut bien défini. on peut admettre qu'il correspond a des points de redshift nul codés par des bits a 0 ou 1
La ou ca devient plus hard c'est quand les tenants de la gravité émergente disent quand on fait du coarse graining sur cet écran,
(c'est une pratique utilisée pour les renormalisations avec des blocs de spin par exemple) on obtient un nouveai codage de l'écran qu'on peut voir comme étant a l'intérieur du premier. et que qu'il devient porteur d'entropie et de température.
voir par exemple sur l'origine de la gravité de Verlinde
https://arxiv.org/abs/1001.0785
Dans le processus de de coarse graining progressif il appelle espace temps émérgé ce qui est "entre l écran initial et le dernier écran obtenu" et appelle non émergé en référence au coarse graining a venir.

[Anonyme007]

Bonjour,
Merci à vous deux @Deedee81 et @ornithology pour toutes ces précisions. Néanmoins, l'idée de concevoir ce qu'est la notion d'unification de la RG et de la MQ m'est toujours très difficile à appréhender de façon plus tangible.
Si on décide de donner une définition ''physico-mathématique '' rigoureuse de la notion d'unification de la RG et de la MQ, quelle serait cette définition ?
Merci d'avance.

[Pio2001]

A défaut d'une définition rigoureuse, un définition simple serait : une théorie qui prédit le comportement de la matière dans des conditions où l'intensité de la force de gravité est du même ordre de grandeur que celle de l'une au moins des trois autres forces fondamentales.

[Sethy]

Si on décide de donner une définition ''physico-mathématique '' rigoureuse de la notion d'unification de la RG et de la MQ, quelle serait cette définition ?

Si je prends l'exemple de la gravitation vue par Newton d'une part et par Einstein de l'autre, quelle est la définition mathématique rigoureuse du passage d'une théorie à l'autre ?

[Anonyme007]

Bonjour,
Merci à vous deux pour vos réponses.
@Sethy,
Je ne suis pas physicien de formation, mais, mathématicien. Donc, je ne sais pas quoi répondre pour ta question qui m'a laissé un peu perplexe.
Peux tu répondre à ma place ?. ça m'aidera à bien comprendre.
Merci.

[Sethy]

La théorie des Newton assimile la gravitation à une force dont la forme est : F = -G.m1.m2/r^2 dans un espace à 3 dimensions + le temps.

L'équivalent dans la Relativité Générale est l'équation des géodésiques qui est introduite ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A...-)riemannienne

(Je suppose que tu connais les Symboles de Christoffel, ainsi que les règles de sommations d'Einstein. A notre que les indices (alpha, ...) peuvent prendre les valeurs 0 à 3. Conventionnellement x0 est le temps et x1, x2, x3, les 3 coordonnées d'espace ce qui donne donc un système de 4 équations couplées).

A partir de cela, quelle est la définition mathématique rigoureuse du passage d'une théorie à l'autre ?

[0577]

Bonjour,

- pour donner une difficulté : la supersymétrie est une approche assez "classique" de théorie quantique des champs et la supergravité à 11 dimensions une version particulière. Et pourtant on ne sait pas si c'est renormalisable !!!! Certains disent que cela améliore la renormalisabilité (c'est vrai) mais qu'elle reste non renormalisable et d'autres disent que si (grâce à certaines annulations favorables des divergences). A ma connaissance le problème n'est pas tranché... et on n'est même pas dans les affres de la gravité quantique habituelle !!!!

une remarque technique: il est connu que la supergravité en dimension 11 n'est pas renormalisable (divergences pour les graphes à deux boucles). La question ouverte concerne la supergravité maximale (N=8) en dimension 4: on sait que cette théorie est renormalisable jusqu'à 5 boucles et on s'attend à ce que la théorie ne soit plus renormalisable à partir de 8 boucles, mais cela n'est pas encore tranché.

[ornithology]

Pour répondre a la question d'origine sur ce qu'est mathématiquement une unification, on pourrait prendre des exemples physique
ou une unification a été trouvée. il s'agit tout d'abord de l'unification des champs electrique et des champs magnétiques dans la théorie de l'électromagnétisme. de deux champs a 3 composantes on est passé a un tenseur 3*3 avec 3 symétries laissant donc 6 degrés de liberté.
un autre exemple réussi a été la théorie de l'électrofaible on avait l'interaction electromagnétique médiée par les photons de masse nulle et les interactions faibles médiées par les 3 bosons massifs W+ W- et Z0
pout arriver a cette unification on est parti d'un Lagragien ou les 4 médiateurs était de masse nulle puis inventéun mécanisme de rupture de symétrie (mécanisme de Higgs) . par un jeu d'écriture on a pu nommer photon une combinaison de médiateurs qui restait sans masse et 3 qui avait acquis un terme qu'on a appelé masse.
ca fait deux unifications qui s'enchainent et on voit qu'elles ne sont pas identiques du poin de vue mathématique.

pour l'unification de la RG et de la mécanique quantique, je pense qu'elle viendra mais que ce sera la RG qui sera la plus touchée. son outil c'est un espace temps + une métrique et la mécanique quantique un espace de Hilbert avec des opérateurs.
si je ne me trompe la MQ n'a jamais été prise en défaut.
Quand a la RG elle souffre de multiples défaut.
on n'y peut définir une notion de densité d'énergie donnant par intégration une énergie totale bien définie.
elle échoue a décrire la rotation des galaxies . il lui faut de la matiere noire et de l'énergie noire.
l'espace temps est un espace d'événements qui ont lieu ou pas contrairement a des objets a plusieurs composantes pour l'équels des observateurs différents mesurent des valeurs différentes ou pas. en MQ on distingue interaction en un point et mesure en un point. il y a mesure s'il y a fuire macroscopique dans l'environnement. un interaction pourra etre gommée éventuellement apres. pas en RG.

[Sethy]

Pour répondre a la question d'origine sur ce qu'est mathématiquement une unification, on pourrait prendre des exemples physique
ou une unification a été trouvée. il s'agit tout d'abord de l'unification des champs electrique et des champs magnétiques dans la théorie de l'électromagnétisme. de deux champs a 3 composantes on est passé a un tenseur 3*3 avec 3 symétries laissant donc 6 degrés de liberté.
un autre exemple réussi a été la théorie de l'électrofaible on avait l'interaction electromagnétique médiée par les photons de masse nulle et les interactions faibles médiées par les 3 bosons massifs W+ W- et Z0
pout arriver a cette unification on est parti d'un Lagragien ou les 4 médiateurs était de masse nulle puis inventéun mécanisme de rupture de symétrie (mécanisme de Higgs) . par un jeu d'écriture on a pu nommer photon une combinaison de médiateurs qui restait sans masse et 3 qui avait acquis un terme qu'on a appelé masse.
ca fait deux unifications qui s'enchainent et on voit qu'elles ne sont pas identiques du poin de vue mathématique.

C'est ce que j'essayais d'illustrer (peut-être maladroitement) avec mon exemple de gravitation.

Plus que de chercher une théorie qui en "unit" deux autres, il s'agit plutôt de rebrousser chemin afin de sortir de la voie sans issue dans laquelle on est bloqué, et d'en prendre une autre voie plus prolifique.

[albanxiii]

Bonjour,

A mon avis le post initial prend le problème à l'envers. Ce ne sont pas les outils qui doivent dire ce qu'est une théorie unifiant la RG et la TQC, tout comme ça n'est pas le pinceau qui dit ce que sera le tableau.
On part de la physique, avec l'intuition du physicien et c'est aux outils de s'adapter pour aller dans le sens désiré. On ne pourra répondre à la question initiale que lorsqu'on aura la solution.

Si jamais elle est mise au point la théorie unificatrice utilisera peut-être des mathématiques qui n'ont rien à voir avec celles de la RG ou de la TQC (cf "c'est pas en perfectionnant la bougie qu'on a inventé la lampe électrique").

[Deedee81]

Salut,

Si on décide de donner une définition ''physico-mathématique '' rigoureuse de la notion d'unification de la RG et de la MQ, quelle serait cette définition ?

Il y a deux types "d'unification" :

- La quantification. Là il y a une définition rigoureuse. On formule la théorie classique sous forme hamiltonienne. On remplace les variables dynamiques par des opérateur hermitiens, et les variables canoniquement conjuguées ont des commutateurs non nuls (en fait le crocher de Poisson vaut 1, on remplace par le commutateur et le 1 par ih). Pour la mécanique ça marche impeccable et pour l'électromagnétisme aussi (avec quelques complications techniques dues à la relativité et la masse nulle du photon) de même pour l'électron (quantification du champ de Dirac, avec là aussi de petites complications, moins difficiles, due au caractère fermionique).
- L'unification des interactions fondamentales : on fait dériver toutes les interactions d'une seule symétrie de jauge (formulation des interactions en théorie quantique des champs avec invariance locale de la symétrie de jauge) et on retrouve les interactions "normales" par exemple par symétrie brisée spontanément. Les particules sont classées selon les représentations du groupe de symétrie. Ca marche super bien pour l'interaction électro-faible, moins bien avec l'interaction forte sans qu'on sache trop pourquoi d'ailleurs.

Tout ça est rigoureusement défini.

Mais :
- Il y a les difficultés que j'ai cité plus haut et donc on ne peut pas (ici) appliquer ça de manière abrupte. Donc on utilise des techniques diverses et variées s'éloignant peu ou prou de l'approche "simple"
- Certains cherchent la voie de la quantification comme ci-dessus (les boucles), d'autres une unification des interactions (les cordes)
- Il faut avant tout avoir une théorie physique, donc qui décrit le monde. Et le guide est donc le monde réel et non des définitions mathématiques rigoureuses. Initialement les théories ne le sont pas toujours (rigoureuses). Toutes les théories sont nées plutôt mal formulées, de manière grossière ou inutilement compliquée et d'autres se sont penchés de dessus plus tard pour leur donner meilleure allure (ce qu'on appelle la physique mathématique). L'électromagnétisme fut remanié par Heaviside (la version de Maxwell était une horreur), la RG fut remaniée (en grande partie) par Cartan, la relativité restreinte (en partie) par Minkowski, les renormalisation en théorie quantique des champs (Wilson) par (entre autre) Bogoliubov, les intégrales de chemin par je ne sais pas qui (la formulation de Feynman n'était pas très justifiée mathématiquement, en fait c'était surtout la mesure d'intégration qui n'était pas claire),....

Tout ça fait que malgré l'union intime entre physique et mathématique, dans les faits, l'élaboration d'une théorie physique est extrêmement différente de l'élaboration d'une théorie mathématique. Et donc il est parfois vain de chercher des règles mathématiques rigoureuses qui seraient suivies par les chercheurs théoriciens. On cherche, on trouve et après on a la rigueur

[ornithology]

Et qui sait peut etre que l'outil adapté a déja été publié il y a dix ou vingt ans. mais qu'il ne parlait pas de cordes, de boucles ou d'émergence. ou meme qu'il était mal foutu et donait des prévisions fausses. Que nos esprits soient trop attachés a des outils qu'on maitrise bien et qu'on a mis des années a lire la notice d'emploi. Ca me fait penser aux économistes des pays de l'est qui savaient que ca marchait mal mais qui avaient lu des bibliotheques entieres et qui ont du se recycler, avec ou sans regret.
Le probleme se pose d'ailleurs pour les chercheurs actuels en physique, dans quel domaine se lancer?

[Deedee81]

Et qui sait peut etre que l'outil adapté a déja été publié il y a dix ou vingt ans. mais qu'il ne parlait pas de cordes, de boucles ou d'émergence. ou meme qu'il était mal foutu et donait des prévisions fausses. Que nos esprits soient trop attachés a des outils qu'on maitrise bien et qu'on a mis des années a lire la notice d'emploi. Ca me fait penser aux économistes des pays de l'est qui savaient que ca marchait mal mais qui avaient lu des bibliotheques entieres et qui ont du se recycler, avec ou sans regret.
Le probleme se pose d'ailleurs pour les chercheurs actuels en physique, dans quel domaine se lancer?

Hé, qui sait

Dans un domaine habituel en physique, ce serait étonnant vu le nombre de chercheurs (suffit de voir le nombre de papiers publiés sur ce sujet, plusieurs dizaines.... par jour !) et leur maîtrise. Mais ce n'est pas totalement exclut. Et ça pourraitvenir d'un outil en topologie algébrique par exemple (qu'on rencontre fort peu en physique (*)). D'autant qu'il y a eut quelques progrès en topologie quantique (je les connais assez mal) assez récemment. Mais évidemment je n'ai pas de boule de cristal.
(*) EDIT sauf en géométrie non commutative, c'est en partie pour ça que j'ai "décroché" en potassant ce domaine, c'est TRES compliqué

Mais de toute façon, vu le nombre d'approches pour MQ+RG qui existent, j'ai plutôt l'impression que les véritables progrès viendront de l'expérience. Ajouter une idée à une centaine d'idées, ben ça fait juste cent une idées. Va bien falloir trier. Et il y a de plus pas mal d'expériences "approchant de la limite" (expérience pour vérifier s'il y a réduction physique macroscopique, avec des systèmes tel que des vibrateurs en titane subissant peu la décohérence, expériences de chutes libres d'objets en états superposés pour voir si la gravité mutuelle "transmet" et comment l'intrication quantique, mesures de plus en plus fines des gamma ray burst ou de la bouffée très courte d'ondes gravitationnelles pile poil quand les TN se touchent, chute libre de l'anti-matière, analyse plus fine des anomalies de taille du proton ou de la durée de vie du neutron, campagnes sur l'énergie noire, etc...).

Je suis persuadé que d'ici au maximum quelques années on aura des résultats. Bon, ne nous attendons pas à des miracles, c'est pas avec ça qu'on triera/réfutera les différents modèles des cordes ou les boucles par exemple. Mais rien que le fait d'avoir quelque chose sera un gigantesque progrès.

[ornithology]

Y a t il un début de preuve expérimentale a propos de la quantité d'information qui serait limitée par une surface et non un volume?

[Deedee81]

Y a t il un début de preuve expérimentale a propos de la quantité d'information qui serait limitée par une surface et non un volume?

Non, aucune preuve expérimentale (on ne sait même pas mesurer le rayonnement de Hawking, trop faible, et les analogies avec des "TN soniques ou hydrauliques" ça montre juste que des équations semblables donnent des résultats semblables).

Il n'y a même pas de preuve théorique, les résultats sur l'existence de grandeurs minimales ou d'information par unité de surface, c'est basé soit sur des raisonnements heuristiques soit sur l'une ou l'autre approche de gravité quantique. Même si cela semble fort plausible.

Et là, contrairement aux expériences en cours que je citais, on est très loin de pouvoir y arriver. J'avais lu il y a quelques années des chercheurs qui faisaient des expériences d'interférométries afin de détecter la "granularité" de l'espace-temps. Leur principal problème était d'éliminer ou de tenir compte du bruit thermique et des "fluctuations quantiques habituelles". Oui, mais, je suis resté TRES dubitatif, car quand on voit la précision extrême (et l'élimination de ces fluctuations) avec Ligo, et que la granularité en question edit : n'est pas atteinte..... Et j'imagine mal un petit labo faire mieux que ça !!!!

[Avatar10]

Bonjour,

A mon avis le post initial prend le problème à l'envers. Ce ne sont pas les outils qui doivent dire ce qu'est une théorie unifiant la RG et la TQC, tout comme ça n'est pas le pinceau qui dit ce que sera le tableau.
On part de la physique, avec l'intuition du physicien et c'est aux outils de s'adapter pour aller dans le sens désiré. On ne pourra répondre à la question initiale que lorsqu'on aura la solution.

Si jamais elle est mise au point la théorie unificatrice utilisera peut-être des mathématiques qui n'ont rien à voir avec celles de la RG ou de la TQC (cf "c'est pas en perfectionnant la bougie qu'on a inventé la lampe électrique").

+1, cela répond très bien à la question tout en évitant le blabla. Sauf si Anonyme007 avait autre chose en tête...