Équation de la chaleur

[azerty109]

Bonsoir,
Ma question est la suivante :
Lors de l’établissement de l’équation de la chaleur en géométrie cartésienne unidimensionnelle (pour se fixer les idées, considérons la propagation le long d’un cylindre reliant deux milieux à la température T1 et T2), on écrit que la variation d’énergie interne dU est égale à
mc dT puis que dT = T(x, t+dt) - T(x, t).

Je ne comprends pas du tout pourquoi la variation de température dans le milieu consideré se met sous cette forme : en effet, le milieu est compris entre x et x+dx donc pour moi on devrait intégrer cette variation de température sur tout le milieu !!

Merci beaucoup.
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[gts2]

Bonjour,

Si vous considérez la propagation, vous avez alors deux variables x et t et donc votre dU est un infiniment petit d'ordre 2 (1 à cause de dT +1 à cause de dx)
Donc d²U=dm c dT (et non mc dT), la masse dm étant la masse d'une tranche d'épaisseur dx, donc votre "intégration" est entre x et x+dx, autrement dit on l'oublie.
Je peux vous mettre cela plus en forme si nécessaire.

[azerty109]

Merci pour votre réponse.
J’ai constaté que en réalité ce qui m’échappe est le fait que l’on considère que la variation d’energie interne pendant dt de la tranche que l’on considère entre x et x+dx est :
U(x, t+dt) - U(x, t).
Cela correspond pour moi à l’énergie interne des entités présentes dans la surface en x, et non dans le volume compris entre x et x+dx, d’où l’intégration.

Je veux bien que vous me montriez quel cadre mathématique donne une légitimité à cette considération.

[gts2]

Voir l'extrait ci dessous :

calculinfinitesimal.pdf

[A voir en vidéo sur Futura]