Lien entre formalisme hamiltonien et groupes de cohomologies d'algèbres de Lie

[Anonyme007]

Bonsoir,

Si @ornithology puisse me permettre de participer à cette discussion par juste une petite question que j’adresse à @0577,

Paragraphe plus technique : Dans le formalisme hamiltonien, l'énergie est une fonction H sur l'espace des phases qui "engendre" l'évolution dans le temps, c'est-à-dire telle que l'évolution temporelle est définie par le champ de vecteurs {H,-}, où {-,-} est le crochet de Poisson. Puisque {H+c,-}={H,-} si c est une constante, cette définition ne prescrit H qu'à une constante près. Mais en général, on a d'autres transformations géométriques de l'espace des phases (induites par exemple par les translations spatiales, les rotations spatiales,...), chacune de ces transformations est aussi engendrée par une fonction sur l'espace des phases, et il est naturel de demander que le crochet de Poisson de ces fonctions soit compatible avec le commutateur dans le groupe des transformations. Pour le groupe de Galilée, cette condition de compatibilité fixe uniquement l'impulsion et le moment angulaire, mais ne fixe pas la possibilité d'ajouter une constante pour l'énergie. Au contraire, pour le groupe de Poincaré, cette condition de compatibilité fixe uniquement l'énergie (d'une manière à obtenir un quadrivecteur après combinaison avec l'impulsion). A un niveau purement mathématique, cette différence provient du fait que les algèbres de Lie des groupes de Galilée et de Poincaré ont des groupes de cohomologie différents.

Est ce que s'il te plaît, suite à ce paragraphe ci-dessus, tu peux me détailler ce lien qui existe entre ce bagage relevant de la physique théorique : Formalisme hamiltonien, conservation de l’énergie, Crochet de Poisson, action par les transformations, ... etc, et les groupes de cohomologies d'algèbres de Lie, et leur façon de fonctionner face à cette physique théorique ?
Tu peux m'indiquer aussi un cours abordant en détail ce sujet. Ce sera peut être plus facile qu'un long discours.

Merci d'avance.
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[albanxiii]

Comme c'est carrément hors sujet et impoli de détourner un fil, je crée un nouveau fil.

Chentouf/Anonyme007/Pablo, merci de m'indiquer un nouveau titre par MP si celui-ci ne vous convient pas.

[Morrslieb]

Bonjour,

La deuxième cohomologie de l'algèbre de Poincaré avec coefficients dans est zéro, , contrairament à l'algébre de Galilée, . Comme cette deuxième cohomologie classifie plus ou moins les extensions centrales, cela signifie que l'algébre de Poincaré n'a que d'extensions centrales triviales, contrairement à l'algèbre de Galilée.

Je n'ai pas de référence pour le lien avec l'énergie pour les algèbres de Galilée/Poincaré, mais pour les algèbres de Witt/Virasoro utilisées en théorie des cordes, c'est décrit dans la section 2.2. du livre "Superstring Theory", Volume 1, par Michael B. Green, John H. Schwarz et Edward Witten.

En résumé super-simplifié: Si vous développez le tenseur de l'énergie-impulsion des cordes en modes de fourier, vous obtenez les générateurs de l'algèbre de Witt, qui est de dimension infinie donc. Le générateur est lié à l'Hamiltonien, donc à l'énergie. Les opérateurs sont représentés en fonction d'un produit de coefficients d'annihilation et de création, parfois appelé "oscillator algebra" (une sorte d'extension de l'algèbre de Heisenberg). L'ordre des facteurs des coefficients d'annihilation et de création dans le produit n'est pas important dans le cas classique. Si on passe au niveau quantique néanmoins, les générateurs deviennent des opérateurs, et les coefficients d'annihilation et de création deviennent aussi des opérateurs. Pour des raisons de consistance, les opérateurs d'annihilation et de création dans le produit doivent respecter un ordre précis, appelé "normal-ordering", et il faut donc réarranger les opérateurs d'annihilation et de création dans le produit, donnant des opérateurs (= + normal ordering). Le normal-ordering donne un terme constant supplémentaire dans la représentation de l'opérateur (les autres ne sont pas affectés), qui est en fait infini. Cette constante infinie peut être régularisée via la fonction zeta afin de donneur une constante finie, d'où cette constante supplémentaire pour l'énergie du vide. Les opérateurs sont les générateurs d'une nouvelle algèbre de Lie, à savoir l'algébre de Virasoro. Le nouveau crochet de Lie (avec les normal-ordered générateurs) peut être exprimé en fonction du crochet de l'algèbre de Witt plus un terme supplémentaire, qui correspond à un deux-cocycle de . On a donc que l'algèbre de Virasoro obtenue est une extension centrale non triviale de l'algèbre de Witt.
En gros: lors du passage du classique vers le quantique on passe d'une algébre à l'extension centrale de l'algèbre en question.

Le paragraphe précédent serait sans doute plus lisible avec des formules, mais je n'ai pas le temps de tout taper, désolé. J'espère que c'est quand-même compréhensible.

[Anonyme007]

Merci beaucoup Morrslib. C'est claire ce que vous m'expliquez là. Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Morsslieb,

J'essaye d'appréhender cette manière d'identifier des générateurs d'une algèbre de Lie ( Ici une algèbre de Witt ou de Virasoro ), et certains observables ( Ici, : l’hamiltonien, ou : Opérateurs de création et de annihilation ), comme tu le fais dans ton poste. Est ce que cette dualité : Générateurs d'un groupe Lie / Observables en mécanique quantique, est une règle générale qui a un sens en physique, et en théorie des groupes de Lie en mathématiques ?

Je récapitule :

Tu affirmes que, où, est l'objet qui regroupe les - extensions de la forme : . N'est ce pas ? Ce qui achève le dévissage ( i.e : scindage ) du groupe : .
Pour le groupe, , tu affirmes que, , d'où, le dévissage ( i.e : scindage ) du groupe : n'est pas encore achevé, d'où encore, il faut pousser le calcul des groupes de cohomologie , ... etc, jusqu'à trouver, pour un certain . Ainsi, on dit que le dévissage du groupe s’arrête au groupe de cohomologie : . Mais, particulièrement sur ce point de dévissage de groupes et algèbres de Lie, pourquoi cherche-t-on à dévisser un groupe ou un algèbre de Lie en physique théorique ? ( Bon, je sais que ça simplifie beaucoup notre vie : Au lieu de s'attaquer à un problème qui met en jeu un groupe gros en taille, donc, difficile à aborder : on le découpe en morceaux, puis on résout le problème par rapport à chaque morceau séparément, puis on recolle les morceaux ... c'est plus abordable comme ça ... ) Et, au niveau de chaque morceau, son lien avec le formalisme hamiltonien expliqué par 0577 se résume au niveau de cette dualité : Générateurs d'un groupe Lie / Observables.

Bref, je commence à comprendre un petit peu ...

Merci Morrslieb.

[Anonyme007]

Morsslieb,

Je dois te remercier encore une fois de m’avoir expliquer les choses ainsi, en incorporant les algèbres de Virasoro.
Pour t'expliquer pourquoi, j'étais un certain temps assez curieux de découvrir les jolies trucs faites en mathématiques par Myriam Mirzakhani, la récipiendaire de la médaille Fields très récemment pour avoir trouvé une deuxième méthode de résolution de la conjecture de Witten.
Une conjecture plus générale que la conjecture de Witten s'appelle conjecture de Virasoro qui n'est pas encore résolu aujourd’hui.
La conjecture de Virasoro utilise exactement le meme bagage théorique que celui que tu décris dans ton poste précédent.
Grace alors à ton poste, je commence à saisir le cadre où s'inscrit cette conjecture. Je pense que tu entends parler de cette conjecture, mais, moi, je n'ai aucun prérequis en théorie des cordes. Je comprends un peu le bagage mathématiques qui permet son description mathématiques, mais je n'ai aucune idée de son importance en physique.

Cordialement.

[Morrslieb]

Bonjour,

Petite correction au préalable: les ne sont pas les opérateurs d'annihilation ou de création, mais ils peuvent être exprimés en fonction de ceux-ci. Voir la formule (3.32) p. 29 de ce cours: https://www.nikhef.nl/~t58/StringLectures2016.pdf . Les coefficients d'annihilation et de création sont les (il n'y a pas encore de normal ordering dans cette formule). Dans la formule (3.40) p.30 vous voyez l'expression avec le normal ordering de , et la constante. L'auteur ici ne donne pas l'expression explicite de la constante, qui est infinie dans un premier temps. Dans le livre de Schwarz, c'est plus explicite.

Concernant l'extension, je ne sais pas exactement ce que vous entendez par "2-extension", mais la séquence que vous donnez n'est pas la bonne, il me semble. La séquence exacte en question n'a que trois termes, , voir l'article "Lie algebra cohomology" sur Wikipedia. Je ne connais pas cette méthode pour "dévisser" le groupe/algèbre. Je connais uniquement des moyens pour calculer la cohomologie en morceaux (par exemple algebraic discrete Morse theory).
Le fait que les physiciens préfèrent utiliser l'extension de l'algèbre en quantique est lié au fait que les états qui décrivent un système physique quantique sont définis à un facteur de phase près, ce qui mène au fait qu'on doit à priori travailler avec des représentations projectives, si on utilise l'alèbre de départ. Il est alors plus commode d'utilser l'extension centrale de l'algèbre de départ, ce qui permet de travailler avec une représentation linéaire plus agréable. Mais même en physique classique, cette situation peut arriver, si on a des degrés de liberté redondants. Par exemple, pour décrire le spin d'une particule, on a une redondance dans le signe. Physiquement, cela se manifeste dans le fait que si on fait une fois le tour de la particule, le spin change de signe, et il en faut faire le tour deux fois pour revenir dans l'état initial, ou quelque chose comme ça (voir analogie avec le Möbius band). Par conséquent, pour décrire le spin, on utilise au lieu de , qui est l'extension centrale de par , .

Je ne suis pas sûr si la "dualité" Générateurs/Observables marche toujours. Probablement oui, à priori, aucun contre-exemple ne me vient à l'esprit, mais on ne sait jamais en physique .

Malheureusement, je crains que les travaux de Myriam Mirzakhani sont hors de ma portée, de loin, donc je ne les ai jamais regardé .

[ornithology]

on a deux sortes d'observables a mettre en rapport aux lagrangiens. L(q,q')
les observables comme les q (n'intervenant pas par une dérivée. et leurs impulsions généralisées
définies comme les dérivées de L par rapport aux fitesses généralisées.
d'un coté les positions, les angles dans l'autre les impulsions , les moments cinétiques
si on parle de dualité entre générateurs et observables on parle surtout des impulsions généralisées.

[ornithology]

on peut aussi remarquer que les opérateurs de création et d'annihilation sont les sommes et différences
entre une observable du premier type et de son conjugué dans l'autre typ par exemple x + d/dx.

[Anonyme007]

Bonsoir,

Concernant l'extension, je ne sais pas exactement ce que vous entendez par "2-extension", mais la séquence que vous donnez n'est pas la bonne, il me semble. La séquence exacte en question n'a que trois termes, , voir l'article "Lie algebra cohomology" sur Wikipedia.

Ici, https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_algebra_cohomology , par définition de cohomologie des algèbres de Lie, est le groupe des n - extensions. En particulier, est le groupe des 2 - extensions.
La définition de n - extensions se trouve ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Ext_functor .
Tu n'es pas d'accord avec cette définition Morrslieb ?

Je ne connais pas cette méthode pour "dévisser" le groupe/algèbre. Je connais uniquement des moyens pour calculer la cohomologie en morceaux (par exemple algebraic discrete Morse theory).

On dit qu'un groupe se dévisse en deux sous groupes et , et on le note , lorsque , c'est à dire, lorsque est nul dans
De meme, un groupe se dévisse en sous groupes et et ... et , où, est un sous groupe simple pour tout et on le note , lorsque , c'est à dire, lorsque est nul dans . Pourquoi ... ? Tout simplement parce que, s'identifie, à une série de décomposition , où, est une extension de par un sous groupe simple . Parfois, pour simplifier, c'est mieux de noter, au lieu de , où, est simple pour tout , pour être un peu plus proche de théorie de Galois, où apparaît cette suite décomposition tout naturellement, et son utilité aussi. Dans ce cas là, s’identifie comme on a dit, à : , c’est à dire, à, , où, est un sous groupe simple pour tout . D'où, le dévissage attendu.

[Anonyme007]

Morrslieb,
L'expression, a une signification très profonde que partagent toutes les théories de structures algébriques, et non pas simplement en théorie des groupes. Je t'envoie pour cela à tout cours sur la notion de suite spectrale d'un complexe filtré.
C'est un paradigme qu'on trouve à peu près dans toute théorie mathématique à structure filtrée.

[ornithology]

Pourquoi tout ceci dans la section physique?
A moins que tu arrives a illustrer ton discours de théoricien mathématique par des exemples en physique.

[Morrslieb]

Bonjour,

Anonyme 007, la définition que vous donnez n'est pas celle qui figure sur la page Wikipedia. Regardez la section "Cohomology in small dimensions", toute à la fin, il est marqué: "Similarly, any element of the cohomology group gives an equivalence class of ways to extend the Lie algebra to a "Lie n-algebra" with in grade zero and M in grade n. A Lie n-algebra is a homotopy Lie algebra with nonzero terms only in degrees 0 through n. " Je suppose qu'une "extension à une Lie n-algèbre " pourrait correspondre à une n-extension. Mais vous voyez bien qu'il y a un shift dans la dimension cohomologique.

Pour une preuve pour et les extensions centrales, je vous invite à regarder le livre de Charles A. Weibel, "An introduction to homological algebra", p. 235, le "Classification Theorem 7.6.3", dont l'énoncé est: "Let be a -module. The set of equivalence classes of extensions of by is in 1-1 correspondance with ." Voir aussi l'exercice 7.7.5 p.241.

Merci pour l'exposé sur le "dévissement" d'un groupe, je comprends maintenant comment ça marche. En fait, je connais les séquences spectrales, surtout la séquence spectrale de Hochschild-Serre évidemment, mais je l'avais toujours utilisée pour calculer la cohomologie, pas les groupes. J'aurais dû me douter qu'on peut appliquer un outil aussi puissant aussi à d'autres structures algébriques. Merci pour l'info!

Ornithology, la cohomolgie de dimension réduite à bien son importance en physique. Le 2-cocycle de Virasoro apparaissait bien dans la littérature des physiciens pour la première fois, voir par exemple http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/...0203/Roger.pdf .

[ornithology]

J'ai l'impression d'etre dans les montagnes russes avec Anonymous007
un coup on est avec Virasoro
dans les hauteurs de la supersymétrie et de la théorie des cordes et un autre coup il trouve la notion de Hamiltonien étrance et
Coussin envoie sa question dans les mathématiques du lycée.
il y a quelque chose qui me gene beaucoup dans cette démarche , quelque chose de l'ordre de la manipulation.

[coussin]

Il me semble que Alabanxiii a dit clairement que Anonymous007 est en fait un multi-compte récidiviste... J'imagine que les mods savent à quoi s'attendre avec lui.
Pour ma part, je passe à autre chose...

En ce qui concerne ce sujet en particulier, il est clair qu'il a plutôt sa place en section Maths.

[Anonyme007]

il y a quelque chose qui me gene beaucoup dans cette démarche , quelque chose de l'ordre de la manipulation.

Est ce que tu peux être un peu plus concis et me décrire avec beaucoup plus de finesse comment se sent-t-elle de l'ordre de la manipulation chez vous ce que je fais pour que je saisis bien où est le problème ?

[ornithology]

tu confonds concis et précis et ce lapsus ne m'étonne pas.
je répondrai pour finir dans le style anonymous007:
Merci beaucoup pour votre réponse, j'ai énormément appris en vous lisant.

[Morrslieb]

Re-bonjour,

Petit complément à mon message précédent: Dans ce document: https://www.math.ru.nl/~landsman/Nesta.pdf , il y a aussi une preuve de la correspondance entre la deuxième cohomologie et les extensions centrales que j'avais indiqué dans mon message précédent. Il y a aussi les résultats sur les algèbres/groupes de Galilée et Poincaré que j'avais donné dans mon premier message. Ceci dit, j'avais déjà donné cette référence sur ce forum, peut-être même en réponse à une question de Anonyme007, je ne me souviens plus. Dans ce cas, je m'excuse pour la redondance.

[Anonyme007]

Merci Morrslieb pour le document.