Peut-on dériver des approximations ?

[NemhoS]

Bonjour,
Dans mon DM (niveau PCSI), je suis dans le cas d'un pendule simple, on repère théta, l'angle entre la verticale et fil du pendule.
Je projette pour avoir sa composante horizontale : Lx=L*sin(théta) (L: longueur du fil)
Conditions de Gauss: Lx=L*théta (cas des petites oscillations)
Je veux dériver, ai-je le droit ?

Ca me donnerais: Lx_dérivé1=L*théta_dérivé1 (désolé pour la mauvaise lisibilité)
On obtient la même chose que si on dérivais sans l'approximation ( Lx=L*sin(théta) )
Mais j'obtiens deux choses différentes pour la dérivée seconde (à cause du produit qui apparaît:Lx_dérivé1=-L*théta_dérivé1*sin(théta) )
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[jacknicklaus]

Bonjour,

faire l'approximation des petites oscillations, celà revient à prendre une approximation linéaire, ce qui est exactement le principe de la dérivée première. DOnc c'est normal de retrouver la même résultat.

Et en général, la dérivée seconde donnera un autre résultat. Pour retrouver le même résultat, il faut non pas faire une approximation linéaire (développement limité d'ordre 1) mais introduire en plus un terme en carré (développement limité d'ordre 2)

[gts2]

Pour la dérivée seconde la dérivée à partir de l'approximation conduit à et sans l'approximation , avec un angle petit le premier terme conduit bien à l'approximation, et le deuxième est d'ordre trois donc bien négligeable.
Comme on compare des choses non comparables (sic), il vaut mieux regarder de plus près, si on appelle T un temps caractéristique du mouvement, le premier terme est en et le deuxième en bien négligeable.
Les deux méthodes donnent le même résultat.

Ceci étant, en suivant votre titre, il faut quand même se méfier : la dérivée d'une fonction approximativement constante n'est pas nulle

[NemhoS]

Merci pour vos réponses.

Je n'avais pas remarqué que faire l'approximation des oscillations était linéaire. Pour la deuxième partie de la réponse, il faudra donc faire un DL (de cos ou sin) au deuxième ordre?


Ça me rassure que le deuxième partie de la dérivée soit négligeable, je ne savais comment le démontrer, mais je n'ai encore jamais vu ce type de démonstration qui consiste à remplacer la dérivée par une division par un temps caractéristiques.


Encore merci pour les réponse !

[A voir en vidéo sur Futura]