Résolution équation diff 2nd ordre avec 2nd membre polynome

[Crashaan]

Bonjour,

J'étudie un circuit électronique dont la fonction de transfert est la suivante (avec notation laplace P = jw):

H(p)=(Vs(p))/(ve(p))= (1+dp)/(c+bp+ap²)

je désire trouver les solutions de l'équation différentielle :

Vs(p)×(c+bp+ap²) = Ve(p) ×(1+dp)

alors je repasse dans le domaine temporelle:

a d'Vs/dt + b dVs/dt+ c Vs(t)= d dVe/dt + Ve(t)

Pour résoudre je cherche le résultat de l'équation homogéne.

a d'Vs/dt + b dVs/dt + c Vs(t)= 0

j'exprime le discriminant puis les racines réelles doubles.

puis je détermine le résultat de la forme Ae(r1t) + Be(r2t)

mais ensuite je comprend pas comment continuer mon étude =/. Il y a beaucoup d'exemple sur le net mais avec des x² dans le secondaire mais pas de x' et sa me perturbe un peu.

puis-je être aiguiller SVP ?

Merci d'avance =)
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[gts2]

Bonjour,

Il faudrait peut-être éclaircir votre question : "Il y a beaucoup d'exemple avec des x² dans le secondaire mais pas de x' " que voulez vous dire par là ?

Sinon a p² Vs(p) en temporel donne , pas d' Vs/dt dont la signification n'est pas claire (c'est peut-être cela votre x' ?)

Sinon pour trouver la solution particulière, je ne connais pas de méthode pour trouver avec une fonction quelconque ve(t).

[stefjm]

Bonjour,
Si vous voulez les solutions, c'est clairement plus simple de remonter à l'original de la fonction de transfert pour obtenir la réponse impulsionnelle.

Formellement :
https://www.wolframalpha.com/input?i...%29%2Cp%2Ct%5D

Ensuite il suffit de convoluer cette réponse impulsionnelle avec ve(t).

Si vous avez ve(t), vous pouvez aussi passer en Laplace Ve(p), calculer Vs(p)=FT(p).Ve(p) et remonter à l'original.

[Crashaan]

Merci pour vos réponses,

j'ai pour habitude de noter mes dérivés secondes par d'vs(t)/dt que des fois je note même vs'(t) cela me permet de pas me perdre avec des 2 que je prend pour des carrée ou des coeff mal placé (j'ai une écriture sur papier des plus mauvaises).

donc au final j'ai comme équation différentielle :

a d2Vs/dt + b d1Vs/dt+ c Vs(t)= d d1Ve/dt + Ve(t)

les exemples que je trouve se font avec des X au carrés au secondaire et je n'arrive pas à adapté les exemple dans le cas ou j'ai une dérivé de Ve(t) au secondaire.

l'outils wolframalpha est puissant, je ne connaissait pas merci =)

Ha et dans mon cas, c'est une analyse à un échelon de tension, donc Ve(t) est un échelon et donnerai E/p en Laplace.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Vous voulez vraiment vous emmerder avec une équation différentielle?

https://www.wolframalpha.com/input?i...%29%2Cp%2Ct%5D

Avec application numérique tout coeff =1, système stable, réponse en exp*sin

https://www.wolframalpha.com/input?i...%29%2Cp%2Ct%5D

Et pour la séparation en éléments simples : https://www.wolframalpha.com/input?i...%2Bc%29%2Cp%5D

[Black Jack 2]

Bonjour,

a d²Vs/dt² + b dVs/dt+ c Vs = d dVe/dt + Ve

On est censé connaître la fonction d'entrée (par exemple extrêmement simple Ve(t) = 5*sin(2t))

On calcule alors : d dVe/dt + Ve = ... (d * 10 * cos(2t) + 5.sin(2t) dans mon exemple simplissime)

Et l'équation devient (dans mon exemple) : a d²Vs/dt² + b dVs/dt+ c Vs = d * 10 * cos(2t) + 5.sin(2t) qu'il faut résoudre.

Et on termine en cherchant les valeurs des constantes d'intégration à l'aide des conditions initiales.
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Essayer de trouver des solutions sans connaître l'expression (ou au moins la "forme") de Ve(t) me semble voué à l'échec.

[gts2]

Ve(t) est un échelon.

C'est tout de suite plus simple !
Pour t>0 a V"s + b V's+ c Vs= 1 et là je suppose que vous pouvez la solution particulière.
Ensuite c'est une EDO d'ordre 2 donc deux conditions initiales et la deuxième CI est donnée par le théorème de l'état initial sur v's soit pVs