Conditions initiales équadiff avec amplificateur

[Matt1627]

Bonjour, j'ai un exercice où j'ai le circuit suivant. J'ai commencé à résoudre l'équadiff sur u₁ mais je bloque un peu aux conditions initiales. On nous dit que les condensateurs sont initialement déchargés donc pour moi par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur, u₁(t=0)=0 et donc sa dérivée aussi est nulle mais ça implique que mes 2 constantes dans la solution de l'équadiff sont nulles ce qui n'est pas possible (je trouve que c'est un régime pseudo-périodique). Où est-ce que j'aurais pu me tromper ?

Merci d'avance à toute personne m'accordant un peu de son temps.
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[gts2]

Bonjour,

par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur, u₁(t=0)=0 et donc sa dérivée aussi est nulle.

Le fait que la tension soit continue n'implique pas que la dérivée soit nulle.
Sinon vous avez deux condensateurs donc deux conditions, ou alors utilisez le théorème de la condition initiale.

[gts2]

Bonjour,

Deux rectifications
- le théorème de l'état initial est utile avec un second membre, donc une fonction de transfert, or ici vous avez un oscillateur.
- u(t=0) du deuxième condensateur conduit bien à du₁/dt=0

Ce genre d'oscillateur démarre sur le bruit.

[Matt1627]

Du coup, vous me conseilleriez de faire quoi pour trouver les valeurs de mes constantes ?

@gts2

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Il faudrait l'énoncé exact, sinon dans l'idéal la solution est en effet u1(t)=0 quelque soit t.

[Antoane]

Bonjour,
> Ce genre d'oscillateur démarre sur le bruit.
De plus, il utilise un gain variable, (circuit à control atomatic de gain / AGC) pour :
* amplifier les oscillations pour les amener jusqu'à leur niveau "nominal" à partir de du niveau de bruit, proche de zéro (gain de l'ampli > 3),
* puis maintenir les oscillations à amplitude constante (gain = 3 -- nonobstant les pertes dans le filtre)

[Matt1627]

D'accord, je vous remercie, ma prof m'a suggéré de faire une loi des mailles pour trouver du1/dt à t=0 sachant que u1(t=0)=0

[gts2]

Et vous trouvez quoi comme valeur ?

[Matt1627]

Je trouve du1/dt= Vsat/RC en considérant que u2=Vsat=R*i donc i=Vsat/R=C*du1/dt

[gts2]

C'est pour cela que je demandais un texte précis : vous aurez bien u2=Vsat si le circuit à t<0 est dans un état conduisant à Vsat.

[Matt1627]

Voici l'énoncé

[gts2]

Avec si peu de précision, on ne peut conclure, en particulier cela peut-être en effet Vsat (mais cela peut-être aussi 0).

[Matt1627]

D'accord, merci beaucoup pour votre aide.

[Black Jack 2]

Bonjour,

u2 = u1 * (R1 + R2)/R1

Et comme en t = 0, u1 = 0 (puisque les C sont déchargés initialement d'après l'énoncé), on a u2(0) = 0

Si tout était parfait ... l'oscillation ne démarrerait pas, tout resterait à 0 V. (u1(0) = 0, u2(0) = 0, du1/dt(0) = 0 , d²u1/dt²(0) = 0)

Comme précisé, ce genre d'oscillateur démarre sur le bruit.

[stefjm]

Une possibilité de résolution que je trouve élégante pour montrer le démarrage.
On suppose la linéarité du circuit.
CIs=0
La fonction de transfert en Laplace possède au moins un pôle à partie réelle positive, donc système instable.
Pour le prouver, on peut calculer la réponse impultionnelle, qui diverge.

L'hypothèse de départ est donc fausse : il y a saturation donc non linéarité en sortie d'amplificateur.

[Black Jack 2]

Une possibilité de résolution que je trouve élégante pour montrer le démarrage.
On suppose la linéarité du circuit.
CIs=0
La fonction de transfert en Laplace possède au moins un pôle à partie réelle positive, donc système instable.
Pour le prouver, on peut calculer la réponse impultionnelle, qui diverge.

L'hypothèse de départ est donc fausse : il y a saturation donc non linéarité en sortie d'amplificateur.

Bonjour,

Pas du tout, on peut imposer la condition de départ comme on veut.
Par exemple, entre plusieurs autres possibilités, on pourrait, si on le voulait, court-circuiter les 2 condensateurs et enlever ces courts circuits en t = 0+

... Et on aurait effectivement u1(0) = u2(0) = 0

L'oscillateur démarre sur le bruit.

[stefjm]

Je ne vois pas l'intérêt de dire "pas du tout" et de dire la même chose que moi...

Le dirac donne la réponse impulsionnelle du circuit et permet d'étudier le démarrage mieux qu'en disant "idéalement il ne se passe rien et cela démarre sur le bruit"

Le coeff d'amortissement étant négatif le système est instable et part en saturation.

[gts2]

Je pense que ce que dit @Black Jack 2 concerne "L'hypothèse de départ est donc fausse : il y a saturation donc non linéarité en sortie d'amplificateur" d'ailleurs mis en rouge.

Dans la phase de démarrage il n'y a pas saturation et l'ampli fonctionne en régime linéaire, que cela sature à la fin est autre chose.

[stefjm]

Nous sommes donc tous d'accord.