Caractère algébrique de l'opérateur divergence

[Matt1627]

Bonjour, quand est-ce que la divergence d'un vecteur est-elle positive ou négative et pourquoi ? Parce que je n'arrive pas à vraiment bien comprendre cela.

Merci d'avance à toute personne m'accordant un peu de son temps.
-----

[Biname]

Salut,

On parle souvent de vecteur alors qu'il s'agit d'un champ vectoriel.
Ici, il s'agit de la divergence d'un champ vectoriel, la divergence d'un seul vecteur n'a pas de sens.

Biname

[coussin]

Il y a quelques illustrations du signe de la divergence d'un champ sur la page wikipedia : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Divergence
En particulier, le signe dit si le champ contient une source ou un puits.

[Matt1627]

D'accord, je vais regarder ça, merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Le théorème de la divergence de Gauss donne la réponse à la question. On peut envisager un volume autour d'un point où on a calculé la divergence d'un champ de vecteurs différentiable, divergence que je suppose non nulle. Prenons ce volume comme une sphère centrée sur ce point et suffisamment petite pour que le signe de la divergence ne varie pas sur l'étendue du volume (c'est possible puisque le champ de vecteur est différentiable, donc continu). Le théorème de Gauss nous dit que l'intégrale de la divergence sur tout le volume de la sphère est égale au flux du champ de vecteur à travers la frontière de la sphère. Ce flux sera positif si le vecteur "sort" de la sphère et négatif s'il y "rentre". Donc de même pour la divergence.

[Matt1627]

D'accord, je vous remercie, c'est très claire comme explication.