Signification de la Somme d'une position, vitesse et accélération

[stefjm]

Bonjour,
Je n'arrive pas à mettre en cohérence physique et dimensionnelle ce que je pratique régulièrement en commande de procédé.

J'ai donc besoin d'un peu d'aide, conseils ou miroir pour me dépatouiller du truc.

Je prend l'exemple d'un asservissement de vitesse avec un PID sur l'erreur de vitesse.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Asserv...correcteur.JPG
https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A...h%C3%A9matique

On commande donc par exemple une force avec la somme de grandeur adimensionnée pour obtenir le résultat esconté.
P : proportionnel : vitesse
I : Intégral : position
D : Dérivé : accélération.

On fait la somme de ce petit monde et cela marche du tonnerre.

N'empêche qu'on additionne une position, une vitesse et une accélération, ce qui est bien connu, n'a pas de sens en physique.
Certes, on adimentionne (correcteur numérique) ou on convertit tout en tension (correcteur analogique) pour faire la somme, mais quand même :
Cela me pose question.

Qu'en pensez-vous?

Cordialement
-----

[gts2]

Bonjour,

Si vous prenez le diagramme du paragraphe "domaine de Laplace", c'est parfaitement homogène :

Branche du haut : on multiplie par G sans dimension donc [G ε]=[ε]
Branche du milieu : on intègre et on multiplie par 1/T donc [1/T ε T]=[ε]
Branche du bas : on dérive et on multiplie par T donc [T ε/T]=[ε]

On additionne donc des choses de même dimension.

[stefjm]

Oui, la dimension est respectée par les Kp, Ki, Kd qui assurent qu'on somme par exemple des tensions ou des grandeurs sans dimension. Du coup, pas de soucis majeur.
Ce qui me "gène", est la signification de cette somme avec des grandeurs signifiantes très différentes, même si elles sont correctement multipliées par des coefficients dimensionnés.

commande =0-( kp.v(t)+x(t)/Ti+Td.a(t) )

J'avoue que cette gène de ma part est un peu diffuse.

[ThM55]

C'est partout comme ça en physique. Par exemple un oscillateur amorti a une équation de Newton qui additionne une accélération (multipliée par une masse), une distance (multipliée par la constante de raideur) et une vitesse (multipliée par un coefficient de frottement). Pas de quoi s'inquiéter, les coefficients sont là pour n'additionner que des forces.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Archi3]

ou l'énergie mécanique est la somme d'une énergie cinétique qui dépend de la vitesse et d'une énergie potentielle qui dépend de la position, évidemment multipliées par des constantes.

[stefjm]

C'est partout comme ça en physique. Par exemple un oscillateur amorti a une équation de Newton qui additionne une accélération (multipliée par une masse), une distance (multipliée par la constante de raideur) et une vitesse (multipliée par un coefficient de frottement). Pas de quoi s'inquiéter, les coefficients sont là pour n'additionner que des forces.

Bonjour,
Tout à fait.
Ce qui montre de façon générale qu'on peut modéliser le phénomène par une contre réaction : F-m.a=0
ou une loi de maille sur les forces (tension) : F-m.a=0
ou une loi de nœud sur les vitesse (flux) F/(coefficient de frottement)-m.a/(coefficient de frottement)=0.
(Bondgraph ou graphe de liaison)

C'est effectivement dimentionnellement correct (sinon, on ne le ferait pas), et ce que je trouve curieux sont ces additions entre grandeurs, certes de même nature physique, mais qu'on pourrait aussi adimensionner.
Comparaison à un 0 sans dimension : F/F0-m.a/F0 = 0 ou un zéro avec dimension F-m.a=0
ou comparaison à un 1 sans dimension F/(m.a) = 1
C'est d'ailleurs ce que l'on fait sans le dire pour faire des intégrations/dérivations mathématiques correctes.

Autant les produits me paraissent tout à fait naturel, compatibles avec l'analyse dimensionnelle, autant les sommes me font plus réfléchir.

Merci à vous.
Cordialement

[stefjm]

ou l'énergie mécanique est la somme d'une énergie cinétique qui dépend de la vitesse et d'une énergie potentielle qui dépend de la position, évidemment multipliées par des constantes.

Effectivement.
Avec la difficulté supplémentaire de l'aspect quadratique de l'énergie par rapport aux grandeurs de base.
Je vais regarder coté lagrangien pour voir si cela dissipe ma "gêne" sur les sommes.

[Archi3]

tu te prends le chou pour rien je pense. Quand tu écris une relation linéaire y=ax + b ou plus généralement un développement limité de n'importe quelle fonction f(x) = f(x0) + f'(x0) (x-x0)+f"(x0)(x-x0)²/2+.... tu "ajoutes " des termes de degré différent mais évidemment les coefficients sont dimensionnés à des dérivées successives donc la dimension finale est bien la même.

[stefjm]

Pour les DL, je serais plus en mode j'adimensionne et ensuite je fais des maths avec des nombres purs, même si en vrai, c'est inutile de le faire explicitement car on sait que cela marche.

D'ailleurs, quand les fonctions ne sont plus polynomiales ou d'exposants fractionnaires, on adimentsonne bien l'argument, par exemple
et

Le logarithme est d'ailleurs un peu particulier de ce point de vu, homogène que du coté gauche de l'expression ci-dessous et bizarre du coté droit.

[FC05]

Oui, bizarre car interdit : on ne peut rigoureusement prendre le log, ln, exp que si la grandeur est sans unité.

Même si on ne se gène pas pour écrire : pH = - log C avec C la concentration en mol/L ... (en fait c'est une formule simplifiée, voire fausse mais néanmoins enseignée).

[Archi3]

Pour les DL, je serais plus en mode j'adimensionne et ensuite je fais des maths avec des nombres purs, même si en vrai, c'est inutile de le faire explicitement car on sait que cela marche.

tu peux réécrire toute la physique en quantités adimensionnées en divisant toutes les grandeurs par celles de Planck

en plus c'est pratique, la plupart des constantes dimensionnées deviennent égales à 1 ou à des nombres simple (genre 2π) : c=1, h= 2π, G=1, epsilon0= mu0=1 (ou 4π et 1/4π) , etc ....

[stefjm]

tu peux réécrire toute la physique en quantités adimensionnées en divisant toutes les grandeurs par celles de Planck

en plus c'est pratique, la plupart des constantes dimensionnées deviennent égales à 1 ou à des nombres simple (genre 2π) : c=1, h= 2π, G=1, epsilon0= mu0=1 (ou 4π et 1/4π) , etc ....

C'est vrai mais il apparait aussi des 137.036, des 1836.15 et des 10^39 pas facile à gérer...

Oui, bizarre car interdit : on ne peut rigoureusement prendre le log, ln, exp que si la grandeur est sans unité.

Même si on ne se gène pas pour écrire : pH = - log C avec C la concentration en mol/L ... (en fait c'est une formule simplifiée, voire fausse mais néanmoins enseignée).

Oui, bizarre car dans une même relation, c'est ok à gauche et interdit à droite.
La différence de deux logarithmes dimensionnés n'est plus dimensionnée.

Cela permet de définir les unités dB, en prenant le logarithme d'un rapport et où le zéro de cette nouvelle échelle est l'unité de l'ancienne.

En plein dans la physique une maxime de Amanuensis

Exponentielle et log intervertissent la notion d'origine et d'unité.

Et cela crée des unités "de deuxième niveau", comme les radians ou les dB (0 radian <=> rotation identité, 0 dB <=> unité).

https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post5053714

[Archi3]

C'est vrai mais il apparait aussi des 137.036, des 1836.15 et des 10^39 pas facile à gérer...

c'est pour ça que j'ai parlé de constantes dimensionnées . Celles que tu cites sont des constantes sans dimension; et donc par définition elles ne dépendent pas du système d'unités choisies. Elles "n'apparaissent" pas dans tel ou tel systèmes, elles existent dans tous les systèmes. Contrairement à l'opinion commune, ce sont elles les vraies "constantes" de la physique, les "constantes" c,h, G etc ... étant des simples facteurs de conversions du au choix d'unités indépendantes et non naturellement reliées, exactement comme la "constante de la nature" K = 4,18 J/cal, qui n'a de valeur que parce qu'on a définit indépendamment le joule et la calorie.

Dans un système naturel, le nombre d'ondes correspondant à l'ionisation de l'hydrogène (la constante de Rydberg) vaut par exemple où est la masse de l'électron en unité naturelle de Planck. C'est un peu plus simple que

[Sethy]

Pour les DL, je serais plus en mode j'adimensionne et ensuite je fais des maths avec des nombres purs, même si en vrai, c'est inutile de le faire explicitement car on sait que cela marche.

D'ailleurs, quand les fonctions ne sont plus polynomiales ou d'exposants fractionnaires, on adimentsonne bien l'argument, par exemple
et

Le logarithme est d'ailleurs un peu particulier de ce point de vu, homogène que du coté gauche de l'expression ci-dessous et bizarre du coté droit.

Le vrai problème est qu'on perd le sens physique. A ma connaissance, aucune théorie qui amène à une formule n'est introduite au départ du calcul dimensionnel. D'ailleurs, je me souviens bien de notre prof de 1ère qui répétait presque à chaque fin de démonstration qu'à l'examen, il attendait qu'on ne s'arrête pas à cette étape, mais qu'on replace le résultat obtenu dans le contexte physique.

Et pour le log, la solution existe :



C'est implicite.

[stefjm]

Et pour le log, la solution existe :



C'est implicite.

C'est un peu reculer pour mieux sauter, puisque la séparation des ln(a/b) en ln(a)-ln(b) refait apparaitre le soucis.

[Archi3]

mais comme ln(A) ne dépend de l'unité choisie que par un terme additif, la quantité ln(A)-ln(A0) ne dépend pas de l'unité choisie : c'est assez similaire au fait que ∆U ne dépend pas de l'origine des potentiels.

La variation logarithmique ∆(ln A) est par ailleurs une généralisation intéressante de "l'accroissement relatif" ∆A/Ao = (A-Ao)/Ao (qui ne dépend évidemment pas de l'unité de A choisie non plus, elle peut s'exprimer en pourcentage) . ∆ln(A) s'assimile à ∆A/A pour les petites variations, mais en diffère pour les grande (par exemple un accroissement de 100 % correspond à un ∆lnA de ln(2) = 0,693 et non 1). Il a des avantages sur le taux relatif, par exemple d'être additif par des accroissements successifs, ce qui n'est pas vrai pour le taux d'accroissement, cf les problèmes liés aux intérêts composés. De même il est intéressant de calculer un taux de croissance par d ln(A) /dt, qui contrairement au taux de croissance "linéaire" ne dépend pas de l'intervalle de temps choisi pour une croissance exponentielle à taux constant.

Bref tout ça pour dire que c'est normal que ∆(lnA) ne dépende pas de l'unité de A, car c'est en fait un accroissement relatif.

[Sethy]

C'est un peu reculer pour mieux sauter, puisque la séparation des ln(a/b) en ln(a)-ln(b) refait apparaitre le soucis.

C'est faux. Point. C'est exactement tout l'enjeu du débat. La physique, ce ne sont pas des maths auxquelles on a ajouté des dimensions.

[stefjm]

C'est faux. Point. C'est exactement tout l'enjeu du débat. La physique, ce ne sont pas des maths auxquelles on a ajouté des dimensions.

Bizarre comme conclusion. Tu n'es pas convaincu par l'explication d'Archi3?

Il y une autre bizarrerie dimentionnelle liée aux primitives des fonctions polynomiale et rationnelle en qui sont en
pour n différent de -1, et qui conservent bien la dimension physique;
et en
pour n=-1 avec petit soucis de dimension physique.

La série de Laurent de en n=-1 de
est assez naturellement en



Et c'est pour n=-1 qu'il se passe des bizarreries dimensionnelles.

Cordialement.

[stefjm]

Pour les DL, je serais plus en mode j'adimensionne et ensuite je fais des maths avec des nombres purs, même si en vrai, c'est inutile de le faire explicitement car on sait que cela marche.

D'ailleurs, quand les fonctions ne sont plus polynomiales ou d'exposants fractionnaires, on adimentsonne bien l'argument, par exemple
et

Le logarithme est d'ailleurs un peu particulier de ce point de vu, homogène que du coté gauche de l'expression ci-dessous et bizarre du coté droit.

Bonjour,
J'ai cherché le critère du pourquoi cela marche ou pas et je crois bien l'avoir trouvé.

Il faut considérer le degré généralisé aux fonctions avec les relations

avec la dérivée logarithmique
ou bien
pour extraire le degré avec les propriétés du logarithme.

Cela permet d'obtenir un degré entier positif pour les polynôme x^n, un degré entier négatif pour x^(-n), avec le début de soucis pour 1/x de degré -1, car lors de l'intégration qui élève le degré de +1, on se retrouve avec le degré nul du logarithme.
Pas de soucis particulier pour le degré des racines x^{p/q} de degré p/q.
Le degré de l'exponentielle est infini.

Visiblement, avoir un degré nul ou infini est problématique pour l'analyse dimensionnelle, ce qui oblige à adimensionner.
Dans le cas d'un degré non nul, la notion de degré s'identifie à la notion de dimension physique pour une grandeur, ce qui évite l'adimensionnement.

Merci de me signaler les coquilles de calculs ou de raisonnement.

Cordialement

[Sethy]

Bizarre comme conclusion. Tu n'es pas convaincu par l'explication d'Archi3?

Pour le premier paragraphe, on peut s'en sortir très proprement en réécrivant l'équation comme ceci :



Evidemment le "1" du dessus, devient le 1 du dessous de l'expression en U0 alors que le 1 du dessous est celle de l'expression en U.

Ensuite si on pose unitéU = alpha.unité'U, il est possible de sortir les lns de 1/alpha et de les simplifier. Ici évidemment, alpha étant un scalaire, seule unité'U à les unités de U.



Ce qui, comme je l'écrivais, répond au premier paragraphe du post d'Archi 3 :

mais comme ln(A) ne dépend de l'unité choisie que par un terme additif, la quantité ln(A)-ln(A0) ne dépend pas de l'unité choisie : c'est assez similaire au fait que ∆U ne dépend pas de l'origine des potentiels.

Pour la suite, je "sens" qu'il y a une approche canonique, mais je ne la vois pas.

Simplement si on intègre "classiquement" les fonctions en dgrandeur/grandeur, le problème n'est qu'apparent.



Mais dans une situation physique, l'intégrale est toujours définie :



Et le "problème" apparent disparait. Mais je ne vois pas comment montrer l'équivalent avec la notation en Delta.

[stefjm]

Pour le premier paragraphe, on peut s'en sortir très proprement en réécrivant l'équation comme ceci :



Evidemment le "1" du dessus, devient le 1 du dessous de l'expression en U0 alors que le 1 du dessous est celle de l'expression en U.

Ensuite si on pose unitéU = alpha.unité'U, il est possible de sortir les lns de 1/alpha et de les simplifier. Ici évidemment, alpha étant un scalaire, seule unité'U à les unités de U.



Ce qui, comme je l'écrivais, répond au premier paragraphe du post d'Archi 3 :

D'accord, et c'est pour cela qu'il n'est pas faux d'écrire la différence des logarithmes.
Tu réécris en introduisant le 1_unité, ce que j'avais écris avec U0 comme unité.

Pour la suite, je "sens" qu'il y a une approche canonique, mais je ne la vois pas.

Simplement si on intègre "classiquement" les fonctions en dgrandeur/grandeur, le problème n'est qu'apparent.

+ la constante d'intégration au minimum ln(1)=0 (l'unité 1_unité de tes messages par exemple)

Mais dans une situation physique, l'intégrale est toujours définie :



Et le "problème" apparent disparait. Mais je ne vois pas comment montrer l'équivalent avec la notation en Delta.

Sans doute en calculant la dérivée logarithmique? https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A..._logarithmique



Cela rejoint le degré 0 de la fonction logarithme et c'est finalement très cohérent avec cette notion de degré.



Il y a des gens qui utilisent ceci? Je demande en maths?

Cordialement

[Sethy]

D'accord, et c'est pour cela qu'il n'est pas faux d'écrire la différence des logarithmes.
Tu réécris en introduisant le 1_unité, ce que j'avais écris avec U0 comme unité.

Oui et non car l'énorme différence, c'est tous les logarithmes présents dans mes formules sont des scalaires.

+ la constante d'intégration au minimum ln(1)=0 (l'unité 1_unité de tes messages par exemple)

J'ai hésité à éditer et j'aurais du, mais cette question de constante d'intégration s'évapore dès qu'il est question d'intégrale définie.

Et donc cette écriture est correcte, complète et cohérente en terme de prise de logarithme :

Sans doute en calculant la dérivée logarithmique? https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A..._logarithmique

Je me demande s'il ne faut pas reprendre l'approche "chimique". C'est à dire que par abus de langage, on parle du pH (opérateur p = -log[]) comme le égal à -log(concentration) mais en fait la vraie grandeur, c'est l'activité, qui elle est sans dimensions.

Sauf que, comme à faible concentration, la valeur numérique de l'activité est proche de la valeur numérique de la concentration, on se simplifie la vie et on utilise l'un pour l'autre.

Et ici, je me demande si ce n'est pas exactement pareil. Oui, numériquement mais en toute rigueur physique, il y a un problème d'unité et donc cette expression est fausse (mais numériquement juste).

[stefjm]

Et ici, je me demande si ce n'est pas exactement pareil. Oui, numériquement mais en toute rigueur physique, il y a un problème d'unité et donc cette expression est fausse (mais numériquement juste).

Le degré d'un logarithme vaut 0 à comparer au sans dimension de , de degré 0 également.
La "rigueur" physique est sauvée.

[gts2]

Bonjour,


cf. le problème de la multiplicité des dB qui peut poser des problèmes si, justement, on ne précise pas de quel dB on parle.

[stefjm]

Oui. Le choix de l'origine du 0 dB_v correspond au choix de l'unité 1 de la grandeur V.
C'est tout le problème d'un degré 0 (pas de dimension) d'un rapport .

A noter qu'on note souvent 1 l'absence de dimension en analyse dimensionnelle multiplicative, 1 qui correspond à la base^0, le zéro étant le degré coté addition.

Selon les métiers, la base varie aussi. 2 en électronique analogique de grand papa (dB/octave), en électronique numérique et informatique (bit), et en musique (octave). 10 en électronique moderne, e en mathématique, 3 en musique (3/2=quinte).

J'ai l'impression que la dimension physique [V] peut jouer le rôle d'une base, mais je ne sais pas encore le formaliser mieux que cela.

Toute aide est bienvenue.
Cordialement