Le principe d'alembert

[B045]

Salut

Je n'arrive pas à comprendre pleinement l'utilité du principe d'alembert,...
Je sais de base que c'est n'est qu'une réécriture de la seconde loi de newton...
Et qu'elle facilite de ce fait certains calculs ...
Mais j'ai aussi constaté que par la suite, dans le développement de cette théorie, des concepts comme le déplacement virtuelle étaient introduits... que les équations de lagranges avait aussi un lien avec cette théorie...

Tout ce que je veux c'est comprendre de manière intuitif l'aspect générale de ce principe et de ses différentes applications.
Merci
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[B045]

J'ai peut-être pas été assez clair en posant ma question…
j'aimerai avoir une explication assez simple mais complète de ce qu'est le principe d'Alembert
Quand on l'aborde comme une réécriture de la deuxième loi de newton(pour, je pense, faciliter certains calculs) je n'arrive pas a voir sa réelle utilisée (c'est surement dû au fait que je n'ai jamais vu un problème qui illustre un cas o sont application s'avère être utile). Et quand on fait appelle aux notions de déplacement virtuel et de force d'inertie je perçois un manque de cohérence: Je sais qu'un déplacement virtuel n'est qu'un déplacement infinitésimal, et que les forces d'inertie sont constatées lors de la considération de référentiels non galiléens pour la description de mouvement… tous se mélange un peu dans ma tête… Une contrainte correspond elle à une force interne? cette force d'inertie a t elle équivalente à celle que newton introduit?

[ThM55]

Cette question me ramène 45 ans en arrière. Je dois dire que je n'ai pas beaucoup vu ce principe être utilisé ou commenté à part dans l'un ou l'autre cours de mécanique analytique.

Ma connaissance du sujet vient de mes anciens cours à l'université mais aussi plus récemment du traité de Vladimir Arnold (principes mathématiques de la mécanique classique), au §21. Je trouve que c'est de très loin la plus claire explication du sujet, Arnold rend tout cela très clair. Au fait, à mon avis c'est un bouquin à lire par tout physicien ou mathématicien qui s'intéresse à la physique.

Je ne vais pas reproduire ici le texte d'Arnold, seulement le résumer en quelques lignes. Il considère d'abord l'exemple simple d'un point matériel dans l'espace à 3 dimensions contraint de se mouvoir sur une surface différentiable M. Il montre que cela implique une force de liaison qui va modifier l'équation de Newton en ajoutant un terme . Les "déplacements virtuels" sont le vecteurs tangents à la surface M. La force de liaison est orthogonale à ces déplacements virtuels et il en tire ceci: où U est un potentiel et un déplacement virtuel.

En fait d'Alembert disait que le travail des déplacements virtuels est nul. Il raisonnait avec des infinitésimaux, Arnold le fait avec des vecteurs tangents.

Ensuite Arnold généralise cela à n particules, la somme des travaux virtuels s'annule.

Il démontre ensuite un théorème très important, qui éclaire complètement le principe de d'Alembert en expliquant son origine: on considère un principe variationnel pour l'action avec des trajectoires contraintes à rester sur une sous-variété M de l'espace de configuration, y compris pendant la variation; une condition nécessaire et suffisante pour qu'une courbe soit l'extrémale liée par cette contrainte est qu'elle vérifie le principe de d'Alembert. On voit donc que la méthode de d'Alembert est équivalente à celle de Lagrange avec des contraintes. Je me trompe peut-être mais il me semble que le principe de d'Alembert a surtout un intérêt historique.

Pour comprendre l'importance historique, il faut se resituer à l'époque de d'Alembert. La méthode des travaux virtuels etait connue pour résoudre des problèmes d'équilibres statiques. En fait d'Alembert a généralisé cette méthode à la dynamique en incluant dans les forces les forces d'inertie (d'abord le terme de Newton et les forces fictives en repère non inertiel). Cela lui a permis de résoudre certains problèmes de mécanique céleste et de donner une sorte de déduction de la loi de la dynamique. A notre époque, on déduit tout directement du principe variationnel.