Modes propres, determiner les pulsations naturelles

[ap13]

Bonjour le forum,

Besoin d'aide sur un exercice de mécanique vibratoire sur lequel je cherche les pulsations naturelles.

Ma matrice de type [K] – w²[M] :

100 -w².... -25..........-25
-25...........150-w².....-50
-25...........-50.........850/3- (10/3)w²


Je trouve le résultat :
-6.66w⁶ + 1732.16w⁴ + 5063.41w² + 3666618.75

Je pose ensuite w=w²
-6.66w³ + 1732.16w² + 5063.41w + 3666618.75

Je voudrais le mettre en forme pour sortir les pulsations naturelles
( a + bw) ( c + dw) ( e + fw)
Ou
(aw² + bw + c) (dw + e)

Je ne sais plus comment on fait, si c’est réalisable par le calcul ou s’il faut passer par un logiciel spécifique.

Merci d'avance,

Pascal
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[albanxiii]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

Vu l'aspect de votre expression, il vaut mieux tout donner à un logiciel pour qu'il fasse la résolution pour vous. Par exemple https://www.wolframalpha.com/input?i...66618.75+%3D+0

[Sethy]

J'étais arrivé au même résultat via Excel : une racine réelle vers 270,43 Hz (même si je donne trop de chiffre par rapport aux 6,66).

[ap13]

Merci à vous deux pour vos réponses, je ne connaissais pas les solveurs en ligne !
Sethy, si ton fichier Excel et disponible, je suis curieux de la mise en équation.
Je reviens sur le calcul, du coup j’ai du mal à retomber sur le résultat.
Il est donné sous la forme : (100-w²)(50-w²)(110-w²)=0
J’ai peut-être loupé quelque chose dans mon développement, je vous joins l’énoncé.
Merci Pascal

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sethy]

J'ai juste rentré la formule : =-6,66*B2^3+1732,16*B2^2+5063,41 *B2+3666618,75 dans la colonne C2.

Je ne suis pas très chaud de partager un Excel car il contient un lien vers le nom de l'entreprise.

[gts2]

Bonjour,

Il est donné sous la forme : (100-w²)(50-w²)(110-w²)=0
J’ai peut-être loupé quelque chose dans mon développement, je vous joins l’énoncé.

Le pb vient, à mon avis, d'une faute de recopie dans l'élément 22 de la matrice qui devrait être 150-2w^2
Et alors le déterminant et (100-w²)(50-w²)(110-w²) donne bien la même chose.

[ap13]

Oui en effet, j'ai fait une erreur de recopie sur le forum mais j'en ai bien tenu compte.

100 -w².... -25..........-25
-25...........150-2w².....-50
-25...........-50.........850/3- (10/3)w²

La je n'arrive pas à retomber dessus le (100-w²)(50-w²)(110-w²)
je suis parti avec les éléments 12, 21 et 31 pour le calcul

det = (100 -w²) [(150-2w²)(850/3-10/3w²)-2500]
+25[-25(850/3-10/3)w²-1250]
-25[1250+25(150-2w²)]

det = (100 -w²) [(150-2w²)(850/3-10/3w²)-2500]
-(850/3-10/3)w²-50
-50+(150-2w²)

det = (100 -w²) [(150-2w²)(850/3-10/3w²)-2500]
-(850/3-10/3)w²-100+(150-2w²)

Et la je bloque ...

Encore merci pour votre aide

[gts2]

Calcul fait avec Wolfram Alpha : déterminant de M :

https://www.wolframalpha
qui renvoie :
-(20 w^6)/3 + (5200 w^4)/3 - (430000 w^2)/3 + 11000000/3

Si on lui demande de résoudre déterminant =0 https://www.wolframalpha
il renvoie +-10 ; +-5 sqrt(2) ; +- sqrt(110) dont les carrés sont bien 100, 50 et 110

Vous voulez trouver à la main les racines ?

[ap13]

Bravo, j’ai bien fait de vous demander de l’aide, non on va éviter à la main !
Encore merci à vous deux pour vos réponses.

Si je vais jusqu’au bout, je dois sortir aussi les vecteurs de formes correspondant qui sont :
……….4
X1….5
……….3

1…….0
X2….1
……….-1

……….-20
X3……5
……….3

Pouvez-vous m'orienter ?

Merci ,
Pascal

[Sethy]

Ah oui je comprends. Entre le 1er post et le 7ème, le signe du coefficient en w^2 a changé.

-6.66w6 + 1732.16w4 + 5063.41w2 + 3666618.75

-(20 w^6)/3 + (5200 w^4)/3 - (430000 w^2)/3 + 11000000/3

[ap13]

oui en effet, j'avais posé w=w² pensant pouvoir simplifier....

-6.66w6 + 1732.16w4 + 5063.41w2 + 3666618.75

Je pose ensuite w=w²
-6.66w3 + 1732.16w2 + 5063.41w + 3666618.75

Mais à travers vos réponses, ça m'a permis de découvrir les solveurs en ligne qui simplifie le calcul

[ap13]

Bonjour le Forum,

Sur la recherche des vecteurs de formes
100 -w².... -25..........-25………………………..X1
-25...........150-2w².....-50……………………..X2
-25...........-50.........850/3- (10/3)w²……X3
Pour le premier vecteur de forme on remplace les w²=100 :

(100-100)X1 -25X2 -25X3=0
-25X1 + (150-200)X2 -50X3=0
-25X1 – 50X2 +1/3(850-1000)X3 =0

Ce qui donne :

-25X2 -25X3=0
-25X1 - 50X2 -50X3=0
-25X1 – 50X2 -50X3 =0

Je simplifie par en divisant par 25

-X2-X3=0
-X1-2X2-2X3=0
-X1-2X2-2X3=0

mais comment arriver à :

………4
X1….5
………3

Encore merci pour votre aide,
Pascal

[gts2]

On résoud :
-X2-X3=0 donne X3=-X2
-X1-2X2-2X3=0 donne donc X1=0
donc vecteur propre (0,1,-1) cohérent avec le corrigé

Confusion d'indice w^2=100 correspond à w₂

(4,5,3) correspond à w₁ avec w^2=50

[ap13]

Merci pour ta réponse,je vais voir le reste avec les autres données.

Encore un grand merci à vous deux gts2 et Sethy pour vos réponses

Je dois m'inpirer de cet exercice pour amener une réponse à une approche personnelle sur un autre cas , mais le manque de pratique ....

Cordialement,

Pascal

[ap13]

Bonsoir le Forum,

Je reviens sur les modes propres et pulsations, sur un exercice similaire j’ai :

W1=11.56Hz et F=18.15Hz
W2=38.94Hz et F=61.17Hz

Je souhaiterais mettre cela sous forme d’un courbe via Excel avec en ordonné la Fréquence et en faisant ressortir les pics w1 et w2.
Je vous joins un fichier Excel en exemple ou j’obtiens mes deux courbes mais pas la bonne.
Cela est-il réalisable ?

Cordialement,

Pascal

[gts2]

Vous avez tracé correctement y1(t) et y2(t).
Je suppose que vous voulez tracer la fonction de transfert Y/E :
Vous réécrivez votre équation en complexe : y''+w0^2/40 +w0^2 y=e devient Y(-w^2+jw w0^2/40 + w0^2)=E et vous tracez abs(Y/E).

Attention à la distinction fréquence pulsation.

[ap13]

Bonjour gts2,

je suis un peu perdu , là c'est un peu loin tout ça...

y''+w0^2/40 +w0^2 y=e devient
Y(-w^2+jw w0^2/40 + w0^2)=E et vous tracez abs(Y/E).

En dérivant :

w0^2 y => w0^2
w0^2/40 y’ =>de la forme (uv)’=u’v+uv’ => u= w0^2 et v=1/40 ?
pourquoi -w^2+jw w0^2/40 ?

Je souhaite faire ressortir les deux fréquences des wi dans une zone comprise entre 0 et 200Hz, voir pièce jointe

Merci pour votre aide,

Pascal

[gts2]

Il n'y a pas de dérivation mais un passage en complexe : on remplace la dérivée temporelle par la multiplication par jw (avec j²=-1 et ) et donc la dérivée seconde par une multiplication par -w²

C'est ce que vous déjà fait précédemment : vous avez remplacé M.A par -w^2 M.X avec A vecteur des accélérations et X vecteur des positions.

Je n'ai pas fait le tracé car je ne sais trop ce qu'est w1 w2, d'après la notation on dirait des pulsations, d'après l'unité des fréquences.

[ap13]

Gts2 encore merci,

En pièce jointe l’exo sur lequel je m’appui, donnant le fichier Excel que j’ai posté.
Je veux faire une approche vibratoire en considérant ce modèle.
Il représente un support de transport doté d’une suspension. Le tout est posé sur une remorque d’un transport routier.
Je pars dans l’idée que je peux avoir un choc (dos d’âne,...) ou un fréquence vibratoire constante. j’ai trouvé des valeurs sur 0-200Hz sur le net pour le transport routier.
Sur cet exercice on donne le test de Dirac, j’aimerais faire ressortir ces pulsations sur cette fréquence 0-200Hz
En faisant le graphe précèdent, je trouve ça parlant, je me suis axé dessus. Peut-être as-tu une autre approche à me proposer ?
Oui si tu arrives à faire un tracé, c’est volontiers.

Encore merci,

Pascal

[gts2]

Correction des données: W1=11.56Hz etW F=18.15Hz

Il faut lire, je suppose, W1=11.56 rad/s et F1=W1/(2.pi)=1,84 Hz et non W1/2.pi (avec oubli des parenthèses)

Il faut récupérer le facteur d'amortissement, je suppose que c'est \eta=\delta=m avec m1=0,14 et m2=0,49
Puis les amplitudes d'excitation des coordonnées modales correspondantes à un couple unitaire, soit a1=0,049 et a2=0,045 (dans votre matrice P)

Il faut donc tracer abs[ai/(-w²+2.j.w.wi.mi+wi^2)) en fonction de la fréquence f=w/(2 pi)

[ap13]

Gts2,

Je te remercie pour tes réponses et bien vu pour ta correction.
Tu m’as noté : abs[ai/(-w2+2.j.w.wi.mi+wi^2)) en fonction de la fréquence f=w/(2 pi)
Du coup pour le wi lui ok , mais le w, je le fais varier de 0 à 2pi ?

Encore merci pour ton temps accordé,

Pascal

[gts2]

Si "f=w/(2 pi)" varie de 0 à 200 Hz w varie de ... à ...

[ap13]

Bonjour Gts2,

Si "f=w/(2 pi)" varie de 0 à 200 Hz w varie de 0 à 200*2 pi ?
Mais je ne sais pas si c'est parlant....

Cordialement,

Pascal

[ap13]

Bonsoir à tous,

Je reviens vous concernant un des dévellopements vue précédement.
sur un des calculs matriciel en 3x3, je dois calculer [P]=[Q][u]^-1/2
Je trouve ma matrice [u] :

2000,00.......2000,00.......2000,00
-3908,03.......-5208,99.......-16699,07
2625,48.......3154,81.......5408,81

La je bloque pour la suite, pour le passage en [u]^1/2 puis en [u]^-1/2
je vous joins mon fichier sur lequel j'ai travaillé.calcul matrice puissance -0.5.xlsx


Merci d'avance pour vos réponses,


Pascal

[ap13]

Jai peut être trouvé en passant sur un de vos liens précedent:

https://www.wolframalpha.com/input?i...%5B1%2C2%5D%5D