Nombres complexes : a.r + b.i ?

[Sethy]

Bonjour à tous,

Même si à la base, c'est plutôt une question de math, je la pose ici car je connais mieux la "communauté" du forum de physique.

On écrit habituelle les nombres complexes sous forme a+bi (j'omets rho.e^(i.theta)), on peut même écrire ce nombre sous forme matricielle.

Mais est-ce que pour la compréhension, il ne serait pas plus logique d'ajouter une sorte d'unité pour la partie réelle. Bien sûr, sous forme matricielle il s'agirait simplement de la matrice unité de rang 2.

Est-faux ? Est-ce vrai ? Ne le fait-on pas simplement par souci de simplification ?

D'avance merci.

Sethy
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[stefjm]

Bonjour,
Je ne comprends pas bien la question.

a+b.i s'écrit bien a.1+b.i avec 1 l'unité réelle et i l'unité imaginaire.

a et b ne sont pas forcément de même dimension, mais il faut que leur carré le soit pour que le module au carré ait un sens : a^2+b^2.

[Black Jack 2]

Bonjour,
Je ne comprends pas bien la question.

a+b.i s'écrit bien a.1+b.i avec 1 l'unité réelle et i l'unité imaginaire.

a et b ne sont pas forcément de même dimension, mais il faut que leur carré le soit pour que le module au carré ait un sens : a^2+b^2.

Bonjour,

Un exemple ?

[stefjm]

Je ne tiens pas à faire dérailler le fil de Sethy. Il y a du radian derrière, radian qui "disparait" quand on l'élève au carré.
Exemple d'un pôle :

1/s et rad/s

https://www.wolframalpha.com/input?i...2Bw%5E2%29%2Cp
https://www.wolframalpha.com/input?i...9%2C+p%2C+t%5D

Et quitte à mettre une unité sur la partie réelle, autant en mettre une aussi sur la partie imaginaire.
Je n'arrive pas trop à deviner l'idée de Sethy, mais cela m'intéresse, évidement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Black Jack 2]

Je ne tiens pas à faire dérailler le fil de Sethy. Il y a du radian derrière, radian qui "disparait" quand on l'élève au carré.
Exemple d'un pôle :

1/s et rad/s

https://www.wolframalpha.com/input?i...2Bw%5E2%29%2Cp
https://www.wolframalpha.com/input?i...9%2C+p%2C+t%5D

Et quitte à mettre une unité sur la partie réelle, autant en mettre une aussi sur la partie imaginaire.
Je n'arrive pas trop à deviner l'idée de Sethy, mais cela m'intéresse, évidement.

Discussion éternelle.

Le radian est une unité sans dimension.

[stefjm]

Le radian est une unité sans dimension.

Ou pas. C'est un choix.
Et quand on fait de la modélisation de procédé sérieusement, on en tient compte car sinon, les inhomogénéités sautent au yeux!
En particulier sur le terme en des fonctions de transfert.

Le est obtenu à partir de grandeur qui soit disant ne font pas intervenir de radian et au final, il en faudrait pour faire des (rad/s)^2. Complètement illogique et incompréhensible que de réintroduire du rad, là où il en faut sans justification autre que : Je mets le radian quand il faut et pas là où il ne faut pas...

[coussin]

Lien avec le sujet ?
Comme d'hab, détournement sans vergogne pour parler de ses sujets de prédilection.

[stefjm]

Le thème est d'ajouter une unité à la partie réelle d'un complexe. Non?
Tu vois du hs?

[albanxiii]

Lien avec le sujet ?
Comme d'hab, détournement sans vergogne pour parler de ses sujets de prédilection.

Rien de plus à ajouter, merci de cesser ce détournement de fil stefjm, vous en avez assez d'ouverts sur ce sujet pour vous y exprimer si vous le souhaitez.

[Sethy]

Si je ne dis pas de bêtise, un nombre (a+b.i) peut s'écrire sous la forme d'une matrice 2x2 :


Pour ce faire on a multiplié b par i et multiplié a par la matrice unité :


D'où ma question, ne serait-il pas plus logique de garder une trace de cette astuce dans le formalisme.

Alors bien sûr, les règles de multiplications sont triviales ;
r.r -> r
r.i = i.r -> i
i.i -> -1

N'est-ce pas plus "logique" que d'écrire z=a+b.i qui donne l'impression d'une différence radicale entre les deux termes de l'addition ?

[stefjm]

Pourquoi pas mais pour faire quoi?

Pour faire une différentiation entre les réels a et b et l'identité r qui correspond à une rotation d'angle 0?



Je n'arrive pas à comprendre ce que tu as derrière la tête pour trouver cela intéressant.

Je vois assez vite ce qu'on cache en notant r : L'identification des parties réelle et imaginaire d'un complexe avec un réel, ce qui est quand même pratique (et la base des complexes). b=0, a quelconque redonne les réels.

[Sethy]

Peut-être qu'un dessin sera plus clair :



Je trouve que présenté comme cela, les choses sont plus claires.

[Sethy]

Parfois, pensez à la généralisation peut aider.

Quid du cas des quaternions ?

J'ai été consulter la page et je ne trouve pas inintéressant l'approche de ce paragraphe et surtout du suivant, où ils explicitent la matrice 1.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Quater...res_r%C3%A9els

[oualos]

Hamilton a inventé les quaternions comme généralisation des nombres complexes à plusieurs dimensions et qui forment une algèbre non-commutative.
Mais plus on augmente les dimensions, plus on perd des propriétés: ainsi les octunions ne sont eux plus associatifs.

[albanxiii]

Peut-être qu'un dessin sera plus clair :

Ce que vous appelez r est ce qu'on appelle habituellement 1.
Je ne comprends pas quel est le problème finalement ? Juste une affaire de notation pour faire comme si on était dans un espace de dimension 2 et qu'on voulait expliciter la base systématiquement ?

[Sethy]

Ce que vous appelez r est ce qu'on appelle habituellement 1.
Je ne comprends pas quel est le problème finalement ? Juste une affaire de notation pour faire comme si on était dans un espace de dimension 2 et qu'on voulait expliciter la base systématiquement ?

Dans la question initiale, je parlais de compréhension. Ici, il s'agit presque plus d'une question de pédagogie.

Peut-on partir de ce point de vue là, en faisant effectivement "comme si" on était dans un espace de dimension 2 ? Ou au contraire perd-on quelque chose ? Ou pire, est-ce faux ?

[ArchoZaure]

Bonjour.

Pour moi (et pour vous également j'imagine) un nombre complexe est composé une partie réelle et d'une partie imaginaire.
Donc lorsque vous proposez de noter ce nombre "ar +bi" au lieu de "a + bi" c'est inutile.
Quand il n'y a pas de i c'est un réel par défaut et quand il y a un i c'est un imaginaire.
On ajoute juste le i pour distinguer la partie réelle de la partie imaginaire.

Sinon pour rester cohérent il faudrait ajouter un r à chaque fois qu'on utilise un nombre réel quel que soit le contexte ????
Non, faut rester fainéant.

Maintenant je conçoit un autre aspect de votre questionnement.
Vous vous dites peut-être : Comment ça se fait qu'on utilise un réel auquel on ajoute un i pour dire que c'est un imaginaire...c'est absurde en effet puisque ça implique que sans préciser r ou i le nombre indiqué n'a pas de type... et pourtant on l'utilise sans le r, donc non typé et pourtant on suppose alors que c'est un réel (ou un entier...)

Donc en fait on devrait écrire "ar + bri" ?

[coussin]

Le "i" n'est là que pour conserver les règles usuelles de multiplication auxquelles on a l'habitude avec juste la règle que i²=-1.
En général, ce "i" n'est pas nécessaire pour définir un nombre complexe. D'ailleurs, on peut très bien définir un nombre complexe par une paire ordonnée de réels (a,b). Mais il faut alors dire comment se multiplient 2 nombres complexes (a,b) et (c,d). Une fois cette règle donnée, pas besoin de "i". Ici, les parties réels et imaginaires s'identifient avec le premier et le deuxième élément de la paire.
Dans votre autre exemple de représentation des nombres complexes par des matrices 2x2, pareil : pas besoin de "i". De plus la multiplication coïncide avec la multiplication de 2 matrices. Pratique. Ici, les parties réels et imaginaires s'identifient aux élément diagonaux et non-diagonaux.

[stefjm]

Peut-être qu'un dessin sera plus clair :

Je trouve que présenté comme cela, les choses sont plus claires.

En gros tu préfères des composantes (des vecteurs) plutôt des coordonnées.


Je vois un risque de plus :

- Ne pas identifier a.r+0.i à un réel du même type que a.
- Merder le module en élevant i au carré (un grand classique chez les étudiants distraits...).

[stefjm]

Le "i" n'est là que pour conserver les règles usuelles de multiplication auxquelles on a l'habitude avec juste la règle que i²=-1.
En général, ce "i" n'est pas nécessaire pour définir un nombre complexe.

Comme
pour
pour
et pour
et pour qui pourrait très bien remplacer i.

[Sethy]

Le "i" n'est là que pour conserver les règles usuelles de multiplication auxquelles on a l'habitude avec juste la règle que i²=-1.
En général, ce "i" n'est pas nécessaire pour définir un nombre complexe. D'ailleurs, on peut très bien définir un nombre complexe par une paire ordonnée de réels (a,b). Mais il faut alors dire comment se multiplient 2 nombres complexes (a,b) et (c,d). Une fois cette règle donnée, pas besoin de "i". Ici, les parties réels et imaginaires s'identifient avec le premier et le deuxième élément de la paire.
Dans votre autre exemple de représentation des nombres complexes par des matrices 2x2, pareil : pas besoin de "i". De plus la multiplication coïncide avec la multiplication de 2 matrices. Pratique. Ici, les parties réels et imaginaires s'identifient aux élément diagonaux et non-diagonaux.

Plutôt que de faire apparaitre le r, on en vient à supprimer le i.

J'aurais du avoir l'idée des quaternions avant de poster car sur les pages wiki francophone et anglophone, j'ai une réponse qui me convient.

_comp1.jpg

[Sethy]

J'ai oublié la pièce attachée du wiki francophone : Pièce jointe 480615

[stefjm]

Plutôt que de faire apparaitre le r, on en vient à supprimer le i.

Aussi.
Mais est-ce plus clair?
Les complexes ont plein de définitions possibles.
R[X]/1+X^2
Matrice de rotation ou de similitude
a+ib
Module . e^(i.Argument)

[Sethy]

Aussi.
Mais est-ce plus clair?

Ah oui, indubitablement. On a soit un nombre réel, soit un nombre imaginaire pur (c'est en cela que l'écriture a.r+b.r.i suggérée, brouille les cartes), soit un nombre complexe.

Cela lève l'ambiguité sur a et b qui sont des scalaires et a.1 (nombre réel).

Que le r tombe quand on a compris me parait logique. Mais pour la compréhension, cela me semble quand même plus fort (ou alors, c'est comme Coussin le suggère ni r, ni i).

[stefjm]

Ton terme scalaire est ambigu dans le contexte des nombres complexes.
Un nombre complexe et un nombre réel sont tous les deux des scalaires : Ce sont des nombres.
Le corps des nombres complexes peut être considéré à la fois comme un ℝ-espace vectoriel de dimension 2 et comme un ℂ-espace vectoriel de dimension 1.

a et b sont des réels.
a.1 est aussi un réel.
b.i est un imaginaire pur.

C'est quand même fort d'identifier le complexe (1,0) au réel 1.
Le corps des complexes est une extension simple du corps des réels.

Voir par exemple
https://fr.wikipedia.org/wiki/Extens...tension_simple
https://fr.wikipedia.org/wiki/Extens...nsions_simples

[stefjm]

R[X]/1+X^2

argh...

[Sethy]

Je n'avais pas vu ta réponse du 19/06, mais le deuxième lien est intéressant car il reprend une écriture que je trouve plus claire puisqu'il suggère une forme a x Matrice identité I + b. matrice M (qui n'est rien d'autre que la matrice 2x2 : 0 -1 1 0).

Je trouve cela beaucoup plus propre : a et b sont les projections du vecteurs sur l'axe réel pour a et pour l'axe imaginaire pour b. Ils sont donc fondamentalement équivalent. Je les appelles des scalaires (puisqu'ils n'ont pas de dimensions).

Tandis qu'on a 2 matrices 2x2, appelons les comme sur la page d'exemple I (unité) et M (complexe) avec les règles classiques de multiplication des matrices 2x2 :

I x I = I
I x M = M
M x M = -I

[stefjm]

Oui, mais un complexe est aussi un scalaire, Ce n'est pas qu'un vecteur.
Perso, je suis à ma limite en math, peut-être passer le fil en mathématiques du sup pour avoir des avis plus rigoureux ou tout simplement le pourquoi?