Second théorème de Noether : quelques questions

[Husserliana]

Bonjour à tous !

Un sujet technique, bien au-dessus de mon niveau, il me semble (je m'initie toujours à la physique quantique et à la relativité... restreinte), mais à propos duquel il me faut absolument récolter des idées claires, au plus tôt. En d'autres termes : oscours !!

De ce que j'en "comprends", le second théorème s'applique à des groupes de symétrie de dimension infinie. Un exemple classique, historique même (c'est celui-ci que Noether avait en tête) est le groupe d'invariance des espaces-temps riemanniens, soit l'ensemble des difféomorphismes d'espace-temps de la RG. Première question : quels sont les autres groupes possibles, hors relativité générale justement ? Le second théorème de Noether s'applique-t-il également en théorie quantique des champs (= les "groupes de jauge") ? Ou bien est-il circonscrit à la "cosmologie" ?

Ce théorème donc, est censé montrer que l'invariance du lagrangien par le groupe de Lie (infini en dimension) de certaines théories implique de toute nécessité que les équations de champ propres audites théories satisfont des identités, plutôt que des lois de conservation "classiques" (nommées "lois de conservation propres" par Hilbert), et les quantités ainsi "improprement" conservées se voient associées à des symétries locales -- et non plus globales, comme dans le premier théorème.
Ma question est tributaire d'une citation d'un article, intitulé On Noether's theorems and gauge theories in hamiltonian formulation. Voici l'extrait :
"This brief treatment shows that, when a local group of transformations has a non trivial global subgroup, it is possible to find some conserved quantities without requiring Euler- Lagrange equations of motion to be satisfied and where arbitrary functions are involved. This conservation laws are called improper laws of conservation and we can see the seeds of gauge theories hiding in them." (Je souligne).
C'est le passage en gras qui me préoccupe. Le second théorème implique-t-il l'existence, au moins à titre de possibilité, de mouvements ne respectant pas les équations de Lagrange ? Autrement dit, violant le principe d'action stationnaire ? Question sans doute naïve (je crois savoir que l'on peut dériver l'équation de champ de la RG du principe d'action), mais que je ne parviens pas à résoudre par mes propres moyens...

Merci d'avance pour vos lumières !
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[0577]

Bonjour,

De ce que j'en "comprends", le second théorème s'applique à des groupes de symétrie de dimension infinie. Un exemple classique, historique même (c'est celui-ci que Noether avait en tête) est le groupe d'invariance des espaces-temps riemanniens, soit l'ensemble des difféomorphismes d'espace-temps de la RG. Première question : quels sont les autres groupes possibles, hors relativité générale justement ? Le second théorème de Noether s'applique-t-il également en théorie quantique des champs (= les "groupes de jauge") ? Ou bien est-il circonscrit à la "cosmologie" ?

Le second théorème de Noether s'applique aussi aux théories de jauge (comme par exemple l'électromagnétisme ou plus généralement les théories de Yang-Mills), pour lesquelles le groupe de dimension infinie est le groupe des transformations de jauge.

C'est le passage en gras qui me préoccupe. Le second théorème implique-t-il l'existence, au moins à titre de possibilité, de mouvements ne respectant pas les équations de Lagrange ? Autrement dit, violant le principe d'action stationnaire ?

En théorie classique des champs, le principe d'action stationnaire (= équations d'Euler-Lagrange) caractérise les mouvements "physiquements réalisables" parmis tous les mouvements "a priori imaginables". Si l'action admet une symétrie dépendant d'un paramètre continu, alors le premier théorème de Noether permet de construire une quantité qui est conservée par les mouvements physiquement réalisables. Le deuxième théorème de Noether dit que, si l'on obtient encore une symétrie quand le paramètre devient une fonction arbitraire du temps et de l'espace, alors cette quantité est en fait conservée par tous les mouvements a priori imaginables. Savoir que cette quantité est conservée ne donne alors aucune information ou contrainte sur les mouvements physiquement réalisables.

[Husserliana]

Merci beaucoup pour ces réponses !

Mais je reviens sur la seconde. Faut-il donc dire que le seconde théorème autorise l'existence de mouvements non physiquement réalisables (=ceux dont l'action n'est pas extrémale) ? Et comment concilier cela alors avec le fait que toutes les équations de la relativité générale (celle du champ, et celle des geodésiques) sont dérivables du principe d'action ?

[0577]

Bonjour,

Mais je reviens sur la seconde. Faut-il donc dire que le seconde théorème autorise l'existence de mouvements non physiquement réalisables (=ceux dont l'action n'est pas extrémale) ? Et comment concilier cela alors avec le fait que toutes les équations de la relativité générale (celle du champ, et celle des geodésiques) sont dérivables du principe d'action ?

Le second théorème n'autorise rien de spécial. C'est peut-être un problème de vocabulaire. Dans l'exemple de la relativité générale, le champ est la métrique. Parmi toutes les métriques, il y a celles qui sont solutions des équations d'Einstein, qui sont en effet dérivables du principe d'action: ces métriques sont les "mouvements physiquement réalisables". Mais il y a aussi des métriques qui ne sont pas solutions des équations d'Einstein: ces métriques font partie des "mouvements a priori imaginables" mais non physiquement réalisables. Bien sûr, ce qui nous intéresse sont les métriques qui sont solutions des équations et on aimerait trouver des caractéristiques qui distinguent les métriques solutions de celles qui ne le sont pas. On peut essayer de faire ça en utilisant le premier théorème de Noether: si l'action a une symétrie globale, alors on peut construire une quantité conservée pour les métriques solutions. Si cette quantité n'est pas conservée pour les métriques générales, alors c'est un résultat intéressant car c'est une contrainte non-triviale sur les métriques solutions. Mais le second théorème dit que si cette symétrie fait partie d'une symétrie locale, alors ce n'est pas le cas: la quantité est conservée pour toutes les métriques. Par exemple, en relativité générale, l'action est invariante par translations, et on peut en déduire une loi de conservation. Mais cette loi de conservation est vérifiée pour toutes les métriques (c'est "l'identité de Bianchi") et ne donne aucune information sur les métriques qui sont solutions des équations d'Einstein. C'est un cas particulier du deuxième théorème car les translations (globales) font parties du groupe des difféomorphismes (symétries locales).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Husserliana]

Bonsoir,

À nouveau, mille merci 0577 !
Si donc je comprends bien ; le second théorème stipule simplement, pour mon problème, qu'il n'est pas possible de distinguer les métriques solutions (celle qui sont physiquement réalisables, par opposition aux autres) sur la seule base d'une loi de conservation comme celle de l'invariance par translations (dans le temps OU dans l'espace) de l'action ? Dans la mesure où toutes les métriques concevables -- et pas seulement celles réalisables -- respectent cette loi...
D'où l'idée qu'on a affaire à une conservation impropre, et non plus propre ?

Et dès lors, le principe d'action stationnaire est tient toujours en relativité générale. Simplement, la conservation de cette action (sous diverses transformations, telles la translation) ne permet pas de discriminer parmi les métriques.
J'ai bon ?

[0577]

Bonjour,

Si donc je comprends bien ; le second théorème stipule simplement, pour mon problème, qu'il n'est pas possible de distinguer les métriques solutions (celle qui sont physiquement réalisables, par opposition aux autres) sur la seule base d'une loi de conservation comme celle de l'invariance par translations (dans le temps OU dans l'espace) de l'action ? Dans la mesure où toutes les métriques concevables -- et pas seulement celles réalisables -- respectent cette loi...
D'où l'idée qu'on a affaire à une conservation impropre, et non plus propre ?

Et dès lors, le principe d'action stationnaire est tient toujours en relativité générale. Simplement, la conservation de cette action (sous diverses transformations, telles la translation) ne permet pas de discriminer parmi les métriques.
J'ai bon ?

oui, c'est un bon résumé !

[Husserliana]

Eh bien merci beaucoup !