L'équation d'Heisenberg / L'équation d'Hamilton.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

Sur la page Wikipédia suivante, https://fr.wikipedia.org/wiki/Repr%C..._de_Heisenberg , paragraphe, Analogie avec la mécanique classique, on dit,

L'équation d'Heisenberg décrivant l'évolution temporelle d'une observable quantique est :

L'équation d'Hamilton décrivant l'évolution temporelle d'une observable classique en mécanique newtonienne est donné, dans la convention de signe du crochet de Poisson de Landau et Lifschitz, par :


- Pouvez vous me dire si l’équation, implique l’équation, ?
- Quelle est la différence entre, et ?

Merci pour votre aide.
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[gts2]

Pouvez vous me dire si l’équation, implique l’équation, ?

En représentation d'Heisenberg ne dépend pas du temps, vous avez donc simplement multiplié votre équation par une constante et donc c'est exact.
Où voulez-vous en venir ?

Quelle est la différence entre, et ?

La dérivée partielle signifie dérivée par rapport au temps, les autres variables étant maintenu constantes.
df/dt avec f(x,y,z,t) est la dérivée par rapport à t de f(x(t),y(t),z(t),t).

[La Limule]

Il existe une inégalité de Heisenberg mais a priori pas une équation de Heisenberg sauf si on se met en représentation de Heisenberg
et ou ce sont les opérateurs qui évoluent.
Ce qui apparait dans le crochet de Poison ce sont des fonctions (et leurs dérivées ) définies sur l'espace des phases. On peut considérer une fonction
f(p,q) sur cet espace et la multiplier (comme produit de fonctions définies sur un meme domaine) .
Mais l'analogie va vite s'arreter la.
Pour Heisenberg on a des produits de matrices qui peuvent ne pas commuter. Chez Hamilton-Poisson on a des produit de nombres.
Il a fallu un saut conceptuel pour remplacer les observables classique (des fonctions) par des opérateurs (des matrices) et obtenir
les inégalités de Heisenberg.

[Anonyme007]

Bonjour,

Merci @gts2 et @La Limule pour vos réponse.

En représentation d'Heisenberg ne dépend pas du temps, vous avez donc simplement multiplié votre équation par une constante et donc c'est exact.

Pardon, je voulais dire,
- Pouvez vous me dire si l’équation, implique l’équation, ?

Où voulez-vous en venir ?

Je n’arrive pas à comprendre l'utilité de la formule en mécanique quantique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Où voulez-vous en venir ?

Est ce que la différence entre et est que la dérivée est la dérivée partielle par rapport au temps , de l’opérateur , alors que la dérivée est la dérivée particulaire qu'on utilise aussi en mécanique des fluides et en équations de Navier stokes ?

Merci d’avance.

[gts2]

Pouvez vous me dire si l’équation, implique l’équation, ?

Comme déjà indiqué, en représentation de Heisenberg, ψ ne dépend pas de t.
Et même si, ici, la "multiplication" est assez loin de la multiplication classique, on a les mêmes règles : si on multiplie les deux membres d'une égalité par la même "chose", l'égalité reste vraie.

Je n’arrive pas à comprendre l'utilité de la formule en mécanique quantique.

Je ne sais trop quoi dire sinon paraphraser wikipedia : cela permet de déterminer l'évolution d'un système dans le temps.

[coussin]

Je n’arrive pas à comprendre l'utilité de la formule en mécanique quantique.

L'équation que je connais est https://en.wikipedia.org/wiki/Liouvi...ville_equation donc sans la dérivée partielle... Où avez-vous trouver cette équation ? Est-ce une généralisation de l'équation de Liouville quantique ?
Quant à l'utilité de l'équation de Liouville quantique, c'est tout simplement la généralisation de l'équation de Schrödinger. L'équation de Schrödinger agit sur des états purs qui sont des idéalisations jamais réalisées dans les expériences. Une quantité plus réaliste est alors la matrice densité. Et l'équivalent de l'équation de Schrödinger pour la matrice densité (donc l'évolution temporelle) est l'équation de Liouville quantique.

Edit : au temps pour moi, c'est le théorème d'Ehrenfest https://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfest_theorem
Vous avez votre réponse : du théorème d'Ehrenfest, on déduit l'équation de Liouville quantique. C'est donc très utile.

[Anonyme007]

Merci gt2 pour ta réponse.
J'ai posté une autre question juste avant ta dernière réponse.

[Anonyme007]

L'équation que je connais est https://en.wikipedia.org/wiki/Liouvi...ville_equation donc sans la dérivée partielle... Où avez-vous trouver cette équation ? Est-ce une généralisation de l'équation de Liouville quantique ?
Quant à l'utilité de l'équation de Liouville quantique, c'est tout simplement la généralisation de l'équation de Schrödinger. L'équation de Schrödinger agit sur des états purs qui sont des idéalisations jamais réalisées dans les expériences. Une quantité plus réaliste est alors la matrice densité. Et l'équivalent de l'équation de Schrödinger pour la matrice densité (donc l'évolution temporelle) est l'équation de Liouville quantique.

Merci coussin pour ces précisions.

[gts2]

Est ce que la différence entre et est que la dérivée est la dérivée partielle par rapport au temps , de l’opérateur , alors que la dérivée est la dérivée particulaire qu'on utilise aussi en mécanique des fluides et en équations de Navier Stokes ?

Le contexte est tellement différent que la comparaison me parait difficile.
La notion même de dérivée particulaire parait difficile : comment traduire le "suivre une particule" de la mécanique des fluides ?
Pour voir d'où vient le commutateur http://fhqed.free.fr/cours/MQ2.pdf p 109, 110. On voit que cela n'a pas vraiment de rapport avec la partie convective de la mécanique des fluides.
Et, comme déjà signalé, on parle ici d'opérateurs alors qu'en mécanique des fluides, on parle de fonctions.

[ThM55]

En mécanique hamiltonienne classique, on détermine une trajectoire dans l'espace de phase (coordonnées généralisées de Lagrange et leurs moments conjugués, je ne sais plus si on doit mettre phase au singulier ou au pluriel, à vérifier) . Cela peut d'ailleurs consister en la trajectoire d'une seule particule, avec un espace des phases à 6 dimensions ou de N particules, avec un espace de phases à 6N dimensions. Mais dans tous les cas on est en physique newtonienne, avec un temps t unique commun à toutes les particules. On a alors aussi l'espace des phases étendu, qui est le produit de l'espace des phases par pour la coordonnées de temps.

L'équation de Hamilton s'applique à une fonction f réelle, définie sur l'espace de phase. Si on considère une trajectoire solution, cette fonction dépendra du temps par l'intermédiaire des coordonnées et des impulsions des particules et son évolution est donné par le crochet de Poisson avec la fonction de Hamilton. Mais on peut aussi la définir sur l'espace des phases étendu, auquel cas elle aura en plus une dépendance explicite par rapport au temps. La dérivée partielle dans l'équation de Hamilton avec le crochet de Poisson est la dérivée par rapport à cette variable de temps, on doit l'ajouter au crochet de Poisson. Tout cela se déduit immédiatement des classiques équations de Hamilton pour les variables canoniques et la règle de dérivée des fonctions composées (ci-dessous pour 1 dimension d'espace):




C'est la même chose en mécanique quantique en représentation de Heisenberg. Toutefois, dans ce cas l'opérateur représente une observable et n'est plus une fonction définie sur l'espace de phases. La trajectoire de la particule n'existe pas dans cet espace en physique quantique (ce qui ne veut pas dire qu'on ne peut pas le considérer, il existe une représentation très intéressante dans l'espace de phase, découverte par Wigner). L'opérateur peut toutefois dépendre explicitement du temps. Dans ce cas, comme en mécanique classique, il convient d'ajouter sa dérivée partielle. Sa dépendance explicite par rapport au temps peut par exemple représenter une variation de paramètres macroscopiques dans un instrument de mesure ou bien un champ classique externe qui varie dans le temps et dont dépendrait l'opérateur.

[ThM55]

Comme la question fait référence à l'analogie avec la mécanique classique, je voudrais ajouter une petite digression. J'espère que ce ne sera pas trop de charabia.

J'ai dit que l'opérateur n'est pas défini comme une fonction sur l'espace de phase (je viens de vérifier, c'est au singulier). Cependant, en général, il dépendra des variables canoniques, qui sont elles-mêmes des opérateurs. Après tout on parle d'une ou de plusieurs particules, pour lesquelles ces opérateurs sont définis.

Si on part d'une fonction classique, comme la fonction f dans mon message précédent, et qu'on remplace naïvement les coordonnées q et p par les opérateurs (en mettant simplement un chapeau dessus), et les crochets de Poisson par des commutateurs, ce que Dirac avait suggéré comme méthode de "quantification", on a un problème en général car tous les termes qui contiennent les deux en facteurs, comme par exemple qp, sont ambigus car ces opérateurs de commutent pas.

C'est d'ailleurs de là que viennent les inégalités d'Heisenberg et la difficulté qui en résulte pour travailler dans l'espace de phase. On peut toutefois montrer que le choix "usuel" des opérateurs comme on le fait en représentation de Schrödinger, avec un "bon" choix pour les produits, permet de représenter l'algèbre de Poisson (algèbre de Lie des fonctions avec le crochet de Poisson pris comme crochet de Lie) en remplaçant le crochet par le commutateur pour tous les polynômes quadratiques. Cela permet de définir tous les polynômes quadratiques dans cette représentation et de faire la correspondance avec la mécanique classique. Mais ça s'arrête là car il y a un théorème "no-go", celui de Groenewold-Van Hove, qui dit qu'il est impossible d'étendre cette représentation pour inclure les polynômes non quadratiques, par exemple de degré 3 ou plus. Et donc évidemment aussi pour les fonctions plus générales qui sont représentables par des séries. Si on essaie de la prolonger, on tombe sur des contradictions. Ceci signale l'échec de la méthode de quantification de Dirac et à travers, celui du "principe de correspondance" de Bohr.

Ce n'est pas étonnant: la mécanique quantique est "plus fondamentale" que la mécanique classique. Logiquement c'est celle-ci qui doit être déduite de celle-là lors d'une limite, pas le contraire.

[Anonyme007]

Merci gts2 et ThM55 pour toutes ces précisions.