conservation de l'énergie mécanique , bilans énergétiques et thermodynamique

[quadrupolaire]

bonjour,

je cite livre mécanique 2 ( jean pierre faroux , jacques renault )

appendice 2 (page 204 ) conservation de l'énergie mécanique , bilans énergétiques et thermodynamique

3) cas de N points matériels , passage à une description macroscopique moyennée en mécanique classique .

Dans différents domaines ( mécanique des fluides en particulier ) on considère des éléments de volumes dv grands à l'échelle microscopique( donc contenant un grand nombre de points ) , mais petits à l'echelle macroscopique , ce qui autorise les découpages usuels du calcul différentiel et integral .

soit V(G) = v(G/R) la vitesse du barycentre G de ces N1 points dans R qui est aussi la vitesse moyenne des N1 points , et dm = N1xm la masse totale des points contenus dans l'élément de volume dv . On suppose ici que N1 >> 1.
on montre facilement
a) dp = dm V(G)
b) dL(o) ~ OG ^dm V(G) si N1 >>1 , ceci par moyennage
c) dEc ~ 1/2 dm V(G)² + Somme ( 1/2 m u_i ² , N1 ) avec u_i = Vi - v(G)


question :
pour le a) il n'y a rien à calculer ça vient directement de la définition du barycentre , donc pas de probleme .

pour le b) je n'arrive pas à montrer facilement que dL(o) ~ OG ^dm V(G) . SI on applique la formule de Koenig on a dL(o) = OG ^dm V(G)+ dL(G)* avec DL(G)* moment cinétique par rapport à G dans le référentiel barycentrique donc il faudrait montrer que dL(G)* est d'autant plus proche de zéro que N1 est grand . je ne vois pas l'astuce pour démontrer ça .


pour le c) si on applique à nouveau la formule de koenig j'ai égalité parfaite entre dEc et 1/2 dm V(G)² + Somme ( 1/2 m u_i ² , N1 ) avec u_i = Vi - v(G) mais dans le livre il suggère que ce serait ~ donc approché ?
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[quadrupolaire]

bonsoir,

je mets un scan de la page parce que probablement j'ai mal cité . ( la question concerne ce qui est souligné en rouge )

[gts2]

Bonjour,

Pour b)

Le dernier terme est aléatoire de valeur moyenne nulle, et sera d'autant plus proche de celle-ci que N sera grand.
En plus GMi est petit macroscopiquement.

[quadrupolaire]

Bonjour,

oui c'est exactement ça . Comment démontre t on que le dernier terme est d'autant plus proche de zéro que N est grand . Je n'ai pas trouvé l'astuce .

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Le problème c'est le produit : et par définition et l'espérance du produit de deux variables aléatoires et le produit des espérances.
Donc le produit vaut bien zéro en moyenne.
Il faut maintenant que la dispersion soit faible et on sait que l'écart à la moyenne est d'autant plus petit que N est grand (le fameux ).
Cela c'est l'idée, pour avoir une démonstration, il faudrait peut-être voir un forum de maths.

[quadrupolaire]

pour le produit de deux variables aléatoires , il faut modifier le deuxieme terme ( ce que fait la formule de koenig) Vi =Ve+Vri ( Ve = Vg , Vri vitesse dans le réferentiel barycentrique )

Somme GMi x mi Vi = Somme GMi x mi Vg + Somme GMi x mi Vri =( Somme mi GMi ) x Vg + Somme GMi x mi Vri . comme Somme mi GMi = 0 reste Somme GMi x mi Vri c'est le moment cinétique dans le référentiel barycentrique . C'est lui qui doit être proche de zéro avec Somme GMi = 0 et Somme mi Vri = 0 , normalement c'est Somme mi GMi = 0 mais ici tous les mi ont la même masse m donc on peut ecrire Somme GMi = 0 et même Somme Vri = 0 . D'où pour montrer que le moment cinétique dans le référentiel barycentrique est proche de zéro , on peut regarder que le terme Somme GMi x Vri car Somme GMi x mi Vri = Somme GMi x m Vri ( car tous les mi = m ) = m . ( Somme GMi x Vri ) avec Somme GMi = 0 et Somme Vri = 0 .c'est bon je progresse

[gts2]

normalement c'est Somme mi GMi = 0

Vous avez raison, on ne peut pas jouer sur les deux tableaux, soit m avec GM soit avec v !

[quadrupolaire]

J'ai un contre exemple . SI somme GMi = 0 et toute les vitesses Vri sont orthogonales respectivement aux GMi de même norme et toutes dans un même sens ( horaire ou anti horaire ) , alors le moment cinétique ne peut pas être proche de zéro . Donc il manque une hypothèse qui n'est pas mentionné dans ce chapitre . Dommage de ne pas pouvoir joindre les auteurs du livre ...

[gts2]

Il y a quand même une hypothèse fondamentale qui doit être donnée, la distribution aléatoire des vitesses et des positions et que ces deux distributions aléatoires sont indépendantes (rarement dit explicitement pour cette dernière partie) et c'est cela qui contredit votre contre exemple.