Calcul réactions en équilibre statique

[TbirdThib]

Bonjour,

Je vous sollicite pour raviver mes souvenirs de méca. Bien que je sois dessinateur en bureau d'études, j'ai quitté l'université il y a plus de 15 ans et je coince sur un calcul que lequel je ne devrais pas coincer ... (on se repose beaucoup sur les logiciels, mais cette fois j'ai voulu faire le calcul à la main)

Le montage :



Charge appliquée en A de 1000N
Vérin au point B ( blocage en Y uniquement)
Glissière à billes ( que je cherche à dimensionner) au point C et D. (Blocage en X et Rz)

Après quelques recherches et souvenirs lointains (dont le produit vectoriel), je suis parvenu à écrire mes équations en ramenant tout au point D, ce qui donne :

Xc + Xd = 0
Yb - 10 = 0
-5.3 + 0.29*Yb + (Rzc + (-0.355*Xc)) + Rzb = 0

Et c'est à cette étape que je sèche car il y a beaucoup trop d'inconnu. Soit je me suis trompé quelque part, soit il me manque la méthode pour résoudre ces équations, soit les 2

A noter, que le logiciel de RDM m'a donné les forces de réactions, mais je voudrais comparer.

Merci pour votre aide.
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[sh42]

Bonsoir,

C'est un peu la bouteille à encre tes équations.
Les axes x,y, z, ne sont pas représentés sur le dessin. Avec un peu de " pif ", on place l'axe des x horizontal vers la droite, y , vers le haut et z perpendiculaire à l'écran.
Yb - 10 = 0, le 10 sort de quel chapeau ? Avec 1 000, j'aurai compris.

-5.3 + 0.29*Yb + (Rzc + (-0.355*Xc)) + Rzb = 0

, Cela ressemble à un calcul de moments mais avec des distances seules, j'ai un gros doute.

Il faut d'abord prendre la barre AB jusqu'à son croisement avec CD et chercher son équilibre.
Puis ensuite tu t'occupes de CD.
A voir si à la jonction des 2 droites tu mets un coefficient de frottement ou pas.

[TbirdThib]

Effectivement, il manque le repère sur mon schéma.
X+ vers la droite, Y+ vers le haut et Z perpendiculaire à l'écran
Il y a bien une coquille, c'est 1000 et pas 10. Je l'avais vu en relisant mais impossible d'éditer mon message...
La structure est mécano-soudée, donc les barres sont rigides entre elles, pas de frottement à prendre en compte.
L'équation est l'équation des moments en Z transportés au point D. Il y a effectivement des distances car c'est le théorème qui me l'impose pour le transport des moments.
Étant donné que mon montage est hyper statique, j'obtiens plus d'inconnus que d'équations. Si ma méthode est bonne, comment puis-je résoudre ?

[sh42]

Bonjour,

Si tout est mécano-soudé, il faut prendre d'un seul tenant les barres AB et CD.

Dans ce cas, il faut prendre le point B comme un axe de rotation et en faire l'origine du système x, y, z.

Vu la configuration des points d'appuis, et celle de la force, on aura :
Ax = 0, Ay = -1000, Az = 0,
Cx = ?, Cy = 0, Cz = 0,
Dx = ?, Dy = 0, Dz = 0
Bx = ?, By = ?, Bz = 0.

Pour les moments, puisque l'on prend B pour origine, il faut faire les moments par rapport à ce point. On trouve :
pour A, Ma = 1000 x 0,24 = 240,
pour B, tout = 0,
Pour C, Mc = Cx x 0,145,
Pour D, Md = Dx x 0,21,

De plus nous aurons Cx + Dx = 0 et -1000 + By = 0.

Avec une glissière, c'est un peu plus compliqué car la longueur du coulisseau au point de jonction modifie les efforts et cela peut aller jusqu'au coincement en fonction du coefficient de roulement ou de glissement et de cette longueur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[le_STI]

salut

je n'ai pas grand-chose à ajouter à part que Bx est connu, il est égal à zéro puisque "Vérin au point B ( blocage en Y uniquement)" et que donc le système n'est pas hyperstatique

[TbirdThib]

Bonjour,

Merci pour ton aide. Pour reprendre ta syntaxe, les efforts sont dans mon exemple :

Ax = 0, Ay = -1000, Az = 0,
Bx = 0, By = ? , Bz = 0
Cx = ?, Cy = 0, Cz = ?
Dx = ?, Dy = 0, Dz = ?

La rotation en Z sera bloquée en C et D par les glissières, ce qui va provoquer un Moment Z au point C et D.

Est-ce plus judicieux de transporter les moments en B ou plutôt en C ou D, là où il y a le plus d’inconnues ?

[le_STI]

Ah, si on estime que les rotations sont bloquées, c'est une autre histoire

Dans ce cas ce serait bien hyperstatique mais est-ce bien utile de modéliser la structure avec des liaisons glissière en C et D ?
Y a-t-il un risque important que l'ensemble tourne autour de Z ? (condition pour que les glissières reprennent un moment autour de Z)

[le_STI]

Je veux dire par là : est-ce que la structure est assez souple pour qu'il y ait une rotation autour de l'axe de chacune des glissières?
Sinon, dans la modélisation, pas besoin de bloquer la rotation autour de Z en C et D.

[TbirdThib]

La détermination des hypothèses de calcul reste de l'interprétation. Dans mon cas je veux charger au maximum mes glissières pour simuler le cas le plus défavorable pour les glissières. Également, pour limiter le flambage du vérin je veux supprimer la réaction Bx (réaction By uniquement). Pour finir je cherche à dimensionner les glissières mais également la structure sur laquelle seront fixés les rails, donc il me faut des valeurs pour les conditions limites en éléments finis.

[sh42]

Cx = ?, Cy = 0, Cz = ?
Dx = ?, Dy = 0, Dz = ?

La force en A n'a aucune composante sur l'axe des z et c'est la seule force connue.
Je ne vois pas comment Cz et Dz seraient différents de zéro, si C ou D ne sont pas pris comme points de référence pour le calcul des moments des forces.

Pour les vérins, ils sont en général construits pour ne pas avoir de flambage de leurs tiges s'ils ne subissent pas d'efforts parasites sur leurs têtes de fixation.

[TbirdThib]

Non, il n'y a aucune composante en Z, ce sont des moments. J'aurais du écrire McZ et MdZ...

Le vérin utilisé est un vérin à vis, avec une vis traversante et un écrou en bronze. Contrairement à une vis à billes, la liaison tige/écrou n'est pas sans jeu. Je veux donc intégrer ce jeu en libérant le déplacement en X et la rotation en Z.

Il peut y avoir débat sur le choix des hypothèses, on peut en discuter. Mais c'est d'avantage la méthode de résolution d'un cas hyper-statique qui me pose problème.

[yaadno]

bjr:
pour moi,c'est le choix des hypothèses qui me pose pb
quand je regarde cet assemblage en T,je me demande à quoi sert le point D,car sous l'action en A il me semble qu'il ne sert à rien;n'est-il pas?
d'autre part, le poids de la pièce est-il négligeable par rapport à la charge appliquée?
de même,faites une représentation de la tête de vérin pour que l'on voit le point d'application de la charge;
En fait,avant de commencer,il faut bien préciser la nature des liaisons en A,B,C pour faire les bonnes hypothèses;
cdlt

[TbirdThib]

Visiblement les hypothèses conditionnent la méthode de calcul, donc je vais devoir être plus complet.

L'exemple donné est simplifié par rapport à mon projet. (qui lui même est une partie du projet final)



- Les dimensions sont juste, même si ça ne change pas le problème.
- Les efforts réels sont Fy = -125kN et Fx = 60kN ou -60kN par alternance.
- L'écrou en bronze est considéré comme une liaison ponctuelle (seul réaction possible en Y). Ce choix est fait car l'écrou a du jeu mais aussi parce que le fabricant du vérin interdit les réactions en X et Rz au niveau de l'écrou.
- La liaison en D me semble utile car j'ai une composante en X. Et même sous une charge seule en Y, il est structurellement intéressant de répartir les efforts en C et D.
- Le guidage linéaire se fait par des patins à rouleaux avec 4 chemins à recirculation. Donc il reprennent les efforts en X+, X-, Rz + et Rz-. Une personne à aborder le sujet du coef de frottement, je peux pas y répondre précisément car la précharge des patins n'est pas définie à ce stade.
- La structure mécano-soudée est considérée comme rigide
- La charge est appliquée via un moyeu, sur un alésage du support vertical, permettant un réglage en hauteur en complément de la course du vérin à vis.

En espérant avoir été précis et clair dans la description.

[XK150]

Salut ,

Depuis le début , je ne comprends rien mais je ne dis rien car d'autres intervenants ont compris , donc je vieillis mal , ça c'est sûr et je passais mon chemin ....

J'attendais un schéma de ce genre : plus inquiétant, je ne comprends toujours pas !

Quoi s'appuie sur quoi ? A droite , ce sont des glissières à bille , donc tout le bazar tombe par gravité ????

Si vous pouviez faire en sorte que je comprenne , je vous en serais très reconnaissant .

[TbirdThib]

Il faut imaginer le bas du vérin et les rails montés sur un bâti (en jaune sur le schéma). Les rails sont fixés, les patins sont mobiles.
La charge elle s'applique sur un des trous (flèche rouge) selon le réglage.
La charge est au maximum de 12.5 tonnes



Est-ce plus clair ?

[XK150]

Oui , merci .

Donc la charge est reportée sur l'extrémité inférieure de la vis ( du vérin à vis ) ? Il va falloir une butée basse sérieuse .

[yaadno]

Je croyais avoir compris,mais finalement ,non ! Fx et Fy: ou est le pt d'application de F?

[TbirdThib]

C'est ça, l'écrou en bronze est fixe, la vis tourne.
La charge passe par l'écrou puis à la vis (de mémoire c'est une vis trapézoïdale 65x5).
La charge passe ensuite sur le carter du verin via une boîte à roulements, puis au bâti schématisé en jaune.
Le vérin est dimensionner pour 200kN, il ne m'inquiète pas réellement, contrairement au glissières

[TbirdThib]

La charge est toujours appliquée au point A, ça n'a pas changé.
"A" est un des trous localisé par la flèche rouge sur le schéma plus haut.

[sh42]

Il y a une force Fx qui apparait et qui n'était pas au premier poste.
A priori cette force oscille entre + 60 000 N et - 60 000 N.
Avec cela le point d'application de F devient important à connaitre, car Fx engendre un moment par rapport aux points C et D.
C et D correspondent aux patins à rouleaux ou aux points de fixation des rails ?

[TbirdThib]

Oui, ça n'apparait pas dans le problème initial, car je ne cherchais pas une solution mais une méthode de calcul... J'ai donc fait plus simple.
Le point d'application de F (le point A) est variable en fonction du réglage, et forcément ce n'est pas négligeable.
Les points C et D sont les centres de contact de la glissière sur le rail.

Ça ne me gène pas de décrire encore plus précisément mon système, mais ça ne fera pas évoluer la méthode de résolution.

Si c'était une "patate" en appui sur 3 cailloux, poussée par une force divine, ça serait la même chose, peu importe la nature de cette force divine ou si les cailloux sont calcaires ou volcaniques. Ai-je tort ?

[sh42]

Bonjour,

La méthode de résolution est simple.
Un corps est en équilibre lorsque la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur lui est nulle et lorsque la somme vecrorielle des moments de ces forces par rapport à un point quelconque de l'espace est nul.

Pour la pratique, il y a tout lieu de regarder les symétries pour simplifier le nombre de forces et de moments. Pour les patins on pourrait prendre chaque bille ou rouleau mais cela deviendrait inextricable.
De même, il y a parfois des efforts parasites que l'on peut négliger en premier abord si l'on juge que c'est négligeable. C'est par exemple le cas des coefficients de roulement.
De même le choix de l'origine des axes a son importance. Par exemple dans le cas du #1, j'ai pris le point B parce que Fb était une inconnue et qui était importante dans le calcul. En l'éliminant dans le calcul des moments, cela me permettait de calculer Fc et Fd.

Pour la résolution, il y a plusieurs méthodes, celle de grand-papa qui est une méthode graphique, celle de papa qui est celle de la calculatrice, la méthode que j'ai employée, et la troisième qui est celle où l'on décompose toutes les forces et toutes les " longueurs " suivant les axes x, y, z, et ensuite l'on fait les calculs matriciels.

Dans le cas du #13, la force Fx complexifie " l'affaire " car elle a une influence sur Fb suivant son point d'application. Si c'est sur la ligne AB, elle n'a pas d'influence car c'est égale à zéro. Partout ailleurs, c'est différent et il y aura des limites avec la charge du vérin limité à 20 t, surtout que Fx fait 6 t et que Fy fait 12,5 t.

[TbirdThib]

Bonjour,

Merci pour ta participation.

La théorie je la connais (somme des réactions suivant un axe = 0 ; somme des moments en UN point = 0)

Dans un cas hyper-statique, y-a-t-il une méthode de calcul analytique ?

Tu parles de résolution graphique, mais que ce soit un tracé de funiculaire ou une triangle des forces, je ne crois pas connaitre de méthode graphique capable de faire apparaitre les moments de réaction.

Petite précision pour éviter les erreurs, la capacité du vérin a été donné à titre indicatif, ce n'est pas une donnée d'entrée. Il est dimensionné pour 200kN, mais si ma glissière est en butée en Y ( et donc réaction en Cy), le vérin aura le double de charge et sera sous-dimensionné. D'où l'importance à ce stade de considérer la réaction By sur le vérin.

[sh42]

L'hyper-statique, je ne connais pas le calcul. Les profs m'ont toujours dit de transformer en statique. Si c'est impossible, je pense qu'il faut faire intervenir la résistance des matériaux avec leurs déformées.
Je ne connais bien qu'un cas d'hyper-statique, c'est une charge suspendue avec 4 élingues. Là, on considère qu'il n'y a que 2 élingues qui portent la charge, une élingue est molle et la dernière supporte éventuellement une faible charge pour contrer un retournement.

Dans ton cas, il est à noter que l'on ne tient pas compte du couple créé par l'écrou de la vis de levage. De même le vérin impose Bx = 0, By = y, et Bz = 0.

[le_STI]

Mais c'est d'avantage la méthode de résolution d'un cas hyper-statique qui me pose problème.

Dans ce cas la solution habituelle est d'utiliser le principe de superposition, mais :

- La structure mécano-soudée est considérée comme rigide

On en revient à ce que je disais dans mon message #8 Dans ce cas il n'y aura pas de rotation des glissières/pas de moment à reprendre.

Je comprends que tu préfères vérifier le cas le plus défavorable, c'est aussi ce que je fais généralement.
Dans ce cas tu pourrais peut-être prendre ces cas (peut-être un peu extrêmes) : calculer le système en retirant d'abord un patin, puis l'autre...

[le_STI]

Pour préciser ma réponse précédente : quand je dis "pas de moment à reprendre", je parle des moment en C et D.
Il y aura a priori un moment de basculement de la structure, mais qui sera équilibré par les forces de réaction en C et D

[mécano41]

Bonjour,

Avec tout ce qui a été dit, je ne suis pas sûr d'avoir compris. A tout hasard, je joins ce document EXCEL.
Valeurs des coefficients de frottement à adapter.
Voir si montée, descente ou statique.

A vérifier.

Cordialement