rotationnel, vecteur ou tenseur

[ordage]

Bonjour

En physique, dans la description de certains phénomènes (électromagnétisme par exemple) on utilise l'opérateur rotationnel qui, selon la définition traditionnelle, transforme un champ de vecteurs V de composantes Vi de l'espace 3D, en un autre champ de vecteurs W de composantes Wi de l'espace 3D.

La question est: la transformée W du champ de vecteurs V par le rotationnel peut elle être (aussi et peut-être plus rigoureusement?) considérée comme décrite par un tenseur antisymétrique 3D de composantes:
Wij =@[i Vj] =@i Vj - @j Vi, où @ représente le symbole dérivée partielle et le crochet l'anti-symétrisation.

Cordialement
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[ThM55]

Les deux représentations sont équivalentes, l'une est le dual de l'autre. Mais il faut éviter d'utiliser la même notation (ici w) pour les deux représentations.

Si (ou )

et si



alors on a



où est le tenseur de Levi-Civitta, complètement antisymétrique avec et il y a sommation de 1 à 3 sur les indices répétés (convention d'Einstein).

Dans le formalisme des formes différentielles, un tenseur antisymétrique de rang 2 est une 2-forme, donc mon est une 2-forme. Elle est duale de la 1-forme w.

[ordage]

Les deux représentations sont équivalentes, l'une est le dual de l'autre. Mais il faut éviter d'utiliser la même notation (ici w) pour les deux représentations.

Si (ou )

et si



alors on a



où est le tenseur de Levi-Civitta, complètement antisymétrique avec et il y a sommation de 1 à 3 sur les indices répétés (convention d'Einstein).

Dans le formalisme des formes différentielles, un tenseur antisymétrique de rang 2 est une 2-forme, donc mon est une 2-forme. Elle est duale de la 1-forme w.

Bonjour
OK
Cordialement

[Amanuensis]

Dans le formalisme des formes différentielles, un tenseur antisymétrique de rang 2 est une 2-forme, donc mon est une 2-forme. Elle est duale de la 1-forme w.

Sauf erreur de ma part, ill s'agit du dual de Hodge. (C'est indiqué implicitement par la référence au formalistes des formes différentielles, il y a un autre dual en géométrie vectorielle.)

Notons que ce n'est pas un dual parfait (peut y avoir un changement de signe), ce qui fait que dans le cas du rotationnel les deux approches ne sont pas strictement équivalentes. Cela se voit en appliquant une symétrie impaire d'espace. L'inversion (changement de signe de toutes les coordonnées) inverse un vecteur ou une 1-forme, alors qu'elle laisse invariante une 2-forme (donc un tenseur anti-symétrique).

C'est proche de la question de la différence entre vecteurs polaires et axiaux. Et c'est aussi proche de la polémique sur la présence ou non de radians dans les unités de certaines grandeurs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ordage]

Bonjour

Merci pour vos réponses très précises qui se complètent.

En effet, suite aux précisions du post précédent, on peut vérifier que la dualité invoquée est bien celle de Hodge et que cette dualité retourne un un original affecté d'un signe (-1)^n et que selon la parité de n on a une vraie dualité ou une antidualité. Du moins c'est ce que j'ai compris.

Pour qq infos sur la dualité de Hodge, voir https://preposterousuniverse.com/wp-...rnotes-one.pdf
page 23, équations 1.87, 1.88

Intéressant aussi de comparer le rotationnel "classique" qui représente la "rotation" d'un champ de vecteurs, en RG la congruence plus synthétique qui intègre cet effet et d'autres sur un faisceau de géodésiques.

Cette dualité est intéressante et il y aurait beaucoup à dire ainsi que sur les formes différentielles, peut-être dans d'autres posts?

Cordialement

[Amanuensis]

Le dual de Hodge en 4D a des tas d'applications intéressantes. J'aime particulièrement l'expression des lois de Maxwell:

dF=0, d*F = J

En décortiquant cette expression très synthétique, et en passant en 1D+3D on voit apparaître un rotationnel 3D.

Par ailleurs, les opérateurs différentiels usuels (gradient, divergence, rotationnel, ...) s'expriment comme des combinaisons de d et *

J'ai mis longtemps à me faire une image du dual de Hodge, j'y arrive avec les notions de surfaces, volumes, hypervolumes. Le tenseur de Lévi-Civita peut se voir comme l'hypervolume (volume en 3D, 4-volume en 4D) élémentaire, et une application de la dualité est le "vecteur" normal à une surface en 3D, ce qui "complète" un volume.

[ordage]

Bonjour
Elie Cartan s'est beaucoup intéressé aux formes différentielles.
https://www.universalis.fr/encyclope...iel-exterieur/
Cordialement

[ThM55]

Bonjour
Elie Cartan s'est beaucoup intéressé aux formes différentielles.
https://www.universalis.fr/encyclope...iel-exterieur/
Cordialement

Forcément, il les a créées.

[ordage]

Bonjour
Je pensais que c'était plus ancien et qu'il les avait approfondies. Dont acte, E. Cartan est un très grand mathématicien, d'autant qu'il n'a pas fait que cela.
Cordialement

[ThM55]

L'idée était dans l'air (formes de Pfaff, facteurs intégrants,...), mais Cartan a eu l'idée géniale de tenir compte du signe du déterminant jacobien quand on intègre une forme sur une variété et d'autres idées aussi géniales comme l'antisymétrie du produit extérieur et la dérivée extérieure.

[ordage]

L'idée était dans l'air (formes de Pfaff, facteurs intégrants,...), mais Cartan a eu l'idée géniale de tenir compte du signe du déterminant jacobien quand on intègre une forme sur une variété et d'autres idées aussi géniales comme l'antisymétrie du produit extérieur et la dérivée extérieure.

Bonjour
Merci pour ces précisions. Il faut savoir aussi que E. Cartan avait fait une prédiction dans un CRAS en 1922 sur les géodésiques principales nulles, dans la forme de Schwarzschild, ignorée, l'idée ayant été redécouverte et généralisée, plus de 30 ans plus tard : Classification de Petrov (1954) et Pironi(1957).

Cordialement