Bonjour,
Comment imaginer ce que représente un intervalle d'espace temps en relativité restreinte et avec la métrique de Minkowski ?
Sachant qu'il est exprimé en mètres et qu'on peut en tirer le temps propre, oui, mais encore ?
Sinon, pourquoi est il un invariant au même titre que c ?
Merci pour vos réponses
L’intervalle d’espace-temps caractérise une courbe de l’espace-temps comme la longueur caractérise une courbe de l’espace euclidien.
En géométrie euclidienne, la longueur d'une courbe donnée ne dépend pas de la façon de représenter cette courbe. On dit qu’elle est invariante. Par exemple un segment de 1cm mesure toujours 1cm, qu’il soit représenté horizontal, vertical ou diagonal.
Pour l’intervalle d’espace-temps, c'est pareil, mais dans une autre géométrie, plus riche que celle d’Euclide. Il y en a de 3 genres, espace, nul et temps.
Le premier est associé à des longueurs qui peuvent être mesurées d’une manière précise. Le dernier est associé à des durées qui peuvent être mesurées également. Le genre nul n’est ni l’un ni l’autre (ou, au pire, une longueur et une durée nulles).
J’en dirais plus demain.
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Oui dans un changement de référentiel inertiel, via les transformations de Lorentz, on trouve que ds² = c²dt² - dx² est constant. Et inversement, à partir de ds² constant on doit pouvoir retrouver Lorentz.
Mais, sauf erreur de ma part, ces formules sont antérieures à 1905 ; d'autre part il me semble qu'en relativité restreinte on pose l'invariance de ds comme un axiome (ou principe) .
L'invariance de c avait été découverte expérimentalement par "l'échec" de l'expérience de Michelson et Morley; mais qu'est ce qui permet de poser, à priori, l'invariance de ds² ?
D'accord avec : Par exemple un segment de 1cm mesure toujours 1cm, qu’il soit représenté horizontal, vertical ou diagonal. mais la mesure de sa longueur change selon l'angle de vue ( certes changer l'angle de vue c'est faire tourner le repère et ce n'est plus une transformation galiléenne) Mais ici ds² est précisément une mesure de longueur, alors quelle raison physique fait que cette cette mesure est un invariant ?
L'idée d'un intervalle invariant et d'une géométrie correspondante de l'espace-temps ne date pas d'avant 1905. Elle a été énoncée clairement en 1908 par Minkowski. Il est vrai qu'un texte de Poincaré en 1905 préfigure cette idée sans toutefois aller jusqu'au bout comme Minkowski. Mais les "formules" seules ne suffisent pas. Ce qui compte ce sont les idées qu'elles représentent et l'idée de Minkowski c'est une sorte de fusion de l'espace et du temps.
Mais je n'ai pas répondu à ta question:
C'est justement l'invariance de c et quelques hypothèses "naturelles". L'invariance de c implique celle des intervalles de genre nul (un rayon lumineux émis dans un référentiel inertiel a unmais qu'est ce qui permet de poser, à priori, l'invariance de ds²qui est nul, et comme la vitesse est la même pour tout observateur inertiel, c'est également le cas pour eux). Je reprends la démo de Landau&Lifschitz. Ils considèrent trois référentiels K, K1, K2 avec V1 et V2 les vitesses de K1 et K2 par rapport à K.
On a alors pour un intervalle d'espace-temps quelconque ds (pas forcément nul):
Mais on a aussi
Donc
Mais
Donc tous les intervalles sont invariants, même s'ils sont non nuls. La conclusion de Minkowski, l'espace-temps et sa géométrie pseudo-euclidienne, est la mise en oeuvre de l'idée de Felix Klein selon laquelle une géométrie se définit par son groupe d'invariance (idée qui va bien au delà de la géométrie métrique).
Cf Landau et Lifchitz, Theorie des Champs, Volume 2 de Physique Théorique, §2.
Dernière modification par ThM55 ; 06/01/2025 à 11h21. Motif: mauvaise balise tex
Oui, les transformations de Lorentz sont des changements de coordonnées tels que l'expression de l'intervalle reste invariante, mais ça va encore plus loin que cela : la valeur de l'intervalle ne dépend pas du système de coordonnées. D'autres changements de coordonnées que les transformations de Lorentz vont modifier l'expression de l'intervalle, mais sa valeur restera néanmoins inchangée.Oui dans un changement de référentiel inertiel, via les transformations de Lorentz, on trouve que ds² = c²dt² - dx² est constant. Et inversement, à partir de ds² constant on doit pouvoir retrouver Lorentz.
Quand on considère l'ensemble des évènements, qui est un espace affine à 4 dimension, il n'y a qu'un petit nombre de structure possibles qui permettent une causalité cohérente.mais qu'est ce qui permet de poser, à priori, l'invariance de ds² ?
La première est un feuilletage, l'espace-temps n'étant qu'un empilement des instances successives de l'espace 3D au cours du temps. Dans ce cas il y a deux types d'intervalles différents et totalement indépendants :
- ceux interne à chaque instance de l'espace, qui sont simplement les distances (euclidiennes dans le cas le plus simple, mais ça pourrait très bien être plus compliqué a priori), et qui relève de la métrique interne à l'espace,
- ceux défini sur l'espace-temps qui correspondent aux variations du temps absolu qui étiquette chacune des instances successives de l'espace.
Dans une telle structure, la causalité s'effectue d'une instance de l'espace à la suivante dans le temps, sans restriction sur les lieux des causes et des effets, c'est à dire que la vitesse de causalité est arbitrairement grande, une cause ici maintenant pouvant avoir un effet là-bas immédiatement après, instantanément donc. Une telle causalité permet la mesure du temps absolu qui étiquette les instances de l'espace : si on maitrise les phénomènes qui ont des effets instantanés, on est en mesure de maintenir synchronisée toute horloge partout dans l'univers quelque soit son mouvement (en principe on a besoin que d'une horloge unique et les autres ne sont que des terminaux qui retransmettent instantanément l'heure de l'horloge unique).
La seconde est un espace quadratique (3,1), où les types d'intervalles précédents sont "unifiés" par l'existence d'une métrique définie non pas sur l'espace seulement (qui perd son existence propre a priori) mais sur l'espace-temps. Les intervalles peuvent selon les cas être des distances ou des variations de temps, mais la formule de base est commune.
Dans une telle structure, la causalité s'effectue le long des intervalles nuls (au mieux), c'est à dire une vitesse limitée qu'aucun objet matériel ni information ne peut franchir. Elle ne s'oppose pas au feuilletage précédent mais il n'est plus nécessaire à la description correcte. En effet il pourrait toujours exister un temps absolu mais les horloges ne mesurent que leur propre temps (l'intervalle le long de leur ligne d'univers) et pas ce temps absolu.
Cette vitesse limitée conditionne tous les phénomènes observables (par exemple bouger une charge électrique ici et maintenant ne provoquera le mouvement d'une autre charge là-bas qu'après un délai) et donc les étalons que l'on fabrique pour effectuer les mesures, ce qui fait qu'on va mesurer toujours la même vitesse limite et mesurer toujours les même rapports de fréquence entre différents phénomènes périodiques appartenant à ce qu'on peut définir comme les "bonnes horloges".
Dans les deux cas, ce que mesure une horloge est de l'intervalle d'espace-temps (que ce soit le temps absolu, intervalle d'espace-temps du premier cas, ou son temps propre, intervalle d'espace-temps du second cas) est c'est invariant, c'est quelque chose d'intrinsèque qui ne dépend pas de comment on représente les choses, une durée mesurée est une propriété du segment de ligne d'univers de l'horloge considéré.
Les observations étant compatible avec la 2e structure, c'est elle qui est adoptée.
La mesure "apparente" change avec l'angle de vue, mais ce n'est pas la mesure du segment, mais la mesure de sa projection qui est généralement d'une longueur différente. La mesure du segment, elle, est bien invariante.D'accord avec : Par exemple un segment de 1cm mesure toujours 1cm, qu’il soit représenté horizontal, vertical ou diagonal. mais la mesure de sa longueur change selon l'angle de vue
Ca marche à peu près pareil avec l'intervalle d'espace-temps, après projection d'un segment de ligne d'univers on obtient des durées "apparentes" différentes de la durée de ce segment.
m@ch3
PS : j'ai mis beaucoup de temps à rédiger, du coup double croisement avec ThM
Dernière modification par mach3 ; 06/01/2025 à 11h32.
Never feed the troll after midnight!
Grand merci pour vos réponses détaillées et fort intéressantes
L'hypothèse d'un monde où l'effet serait immédiat est assez vertigineuse. Dans ce cas limite on serait dans la situation d'un photon dont le temps propre est nul, et en fait le temps n'existerait plus. Mais alors il ne serait plus possible d'étiqueter les différentes instances de l'espace temps. Du coup dans cette hypothèse est ce que le feuilletage existe encore ? On serait dans une espèce de hic et nunc, sans histoire mais en même temps avec toute l'histoire (passé, présent, futur) présente. C'est bien ça ? Et quelle métrique pour décrire un tel monde ? En tous cas merci à Römer d'avoir découvert que la lumière n'est pas instantanée ; ça nous. évite le vertige
La démo de Landau&Lifschitz me plait beaucoup. On peut écrire l'histoire de l'astronomie en prenant comme fil directeur l'abandon des évidences (la Terre est plate et immobile, temps, longueurs et masse sont invariants etc ...) L'isotropie des lois de la physique et l'homogénéité de l'espace temps sont parmi les derniers bastions qui résistent; et qui seront peut être un jour mis à mal, une autre perspective vertigineuse....
La référence au programme d'Erlangen va m'inciter à me replonger dans le groupe de Poincaré qui aussi une façon esthétique d'aborder la question. Avec Landau&Lifschitz on a un angle physique (presque sans calculs) et avec Klein un point de vue purement mathématique; c'est top !. Hilbert a achevé le travail d'Euclide; mais fort heureusement que Klein a relancé la géométrie pour le XX° s.
Oui, merci pour ton retour (cela fait toujours plaisir de voir qu'on lit les réponses). Je dois ajouter que l'isotropie et l'homogénéité de l'espace et du temps sont caduques en relativité générale. En général, que ce soit près des trous noirs ou dans les ondes gravitationnelles, elle ne tient plus. Pourtant la structure pseudo-euclidienne existe toujours localement, l'espace-tangent est minkowski, mais là encore il s'agit d'une hypothèse qui pourrait être remise en cause. Jusqu'à présent toutefois la relativité générale n'a pas été réfutée par l'expérience.
