Bonsoir à tous,
Je n'ai jamais eu l'habitude de manipuler explicitement l'expression de l'opérateur de Dirac qui figure dans la réponse de Eric Chopin sur le lien suivant : https://les-mathematiques.net/vanill...ateur-de-dirac .
Est ce que vous pouvez m'expliciter l'expression de cet opérateur qui a la tête suivante :en montrant que vaut :
Merci d'avance.
Bonjourm
Peut-être diracop.pdf page 14.
Tout à fait. Et cela découle des expressions des matrices gamma.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_matrices
Peut-être pour être plus explicite, la somme sur mu est sur 0, 1, 2 et 3 et ces indices correspondent, respectivement, aux variables t, x, y et z.
Bonsoir,
Merci beaucoup à vous deux pour vos indications et merci pour les liens aussi.
Le lien de gts2, page 14 fournit l'expression détaillée de la formule
Les matrices gamma indiquées par coussin s'identifient aux expressions de
Cordialement.
Bonsoir,
Pouvez vous m'expliquer le lien qui existe entre la notion de spin d'une particule au sens physique qui figure ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Spin , et la notion de spin au sens mathématique, qui figure ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Structure_spinorielle ?
Merci infiniment pour votre éclairage.
Du côté mathématique: une conséquence de la mécanique quantique et de son principe de superposition est que les champs doivent appartenir à des représentations du groupe de Lorentz. Ces représentations peuvent être classifiées comme la combinaison de deux représentations de SU(2) (le groupe des matrices unitaires 2x2). Les représentation fondamentales de ce groupe ont 2 dimensions complexes, mais il y a une représentation pour chaque spin. Une des matrices de la représentation, choisie pour représenter l'observable spin mesurée le long d'un axe, a deux valeurs propres. C'est pour cette raison que Pauli l'a choisie, elle permettait de reproduire les résultats expérimentaux de mesure de l'énergie des particules comme l'électron (qui se dédouble en 2 niveaux dans un gradient de champ magnétique pour une particule chargée de spin 1/2, et plus généralement en 2s+1 niveaux pour une particule de spin s) .Envoyé par Anonyme007
Bonsoir,
Pouvez vous m'expliquer le lien qui existe entre la notion de spin d'une particule au sens physique qui figure ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Spin , et la notion de spin au sens mathématique, qui figure ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Structure_spinorielle ?
Merci infiniment pour votre éclairage.
Du côté physique: si on écrit les équations de la dynamique (équation de Pauli en non-relativiste et celle de Dirac pour la relativité), la grandeur angulaire conservée est la somme du moment angulaire orbital et du moment angulaire de spin propre à la particule et impliqué par la représentation du groupe de Lorentz. Cela se démontre, voir n'importe quel cours de mécanique quantique relativiste. L'interaction par couplage minimal avec le champ électromagnétique reproduit certaines expériences. Voilà le lien entre les deux aspects.
La classification des particules en fonction de leurs propriétés de transformation sous le groupe Lorentz et le lien avec le spin comme grandeur dynamique est un grand accomplissement de la physique. En fait, il faut aller plus loin: le groupe d'invariance correct est celui de Poincaré (produit semi-direct de Lorentz et des translations d'espace-temps), et cela introduit des contraintes supplémentaires. Cette classification est l'oeuvre d'Eugène Wigner, et elle inclut les résultats que j'ai mentionnés.
Bonsoir ThM55,
Merci pour toutes ces précisions.
Tu dis que le spin est une observable, donc, désigné par un opérateur, non ? Donc, c'est un objet quantique.
Tu dis que les champs sont les éléments des représentations du groupe de Lorentz O(1,3). Est ce que ces champs sont précisément des générateurs du groupe de Lorentz ou bien, ils appartiennent à l'espace de Hilbert sur quel agit l'action du groupe de Lorentz ? Est ce que le groupe de Lorentz dont tu parles est le groupe O(1,3) ?
Et enfin, est ce que ces champs sont des objets classiques d'une théorie de jauge, ou bien ce sont des objets quantiques ?
Le moment angulaire de spin propre à la particule est il aussi une observable et donc, un générateur d'un groupe de Lie ? Si oui, une observable, géneralement est un objet quantique, mais, un générateur d'un groupe de Lie est un objet d'une théorie classique de gauge. N'est ce pas une contradiction ?
De ce que j'en sais, les particules élémentaires sont des objets classiques d'une théorie de gauge, désignés par, soit des connexions sur des fibrés principaux pour les bosons appelés médiateurs de forces, soit par les sections de fibrés vectoriels associés à certains fibrés principaux pour les champs de la matières ou fermions. Est ce que c'est vrai ? Donc, ce ne sont pas des générateurs d'un groupe de Lie et en particulier du groupe de Lorentz. Par contre, le spin est bel et bien, une observable qui est générateur d'un groupe de Lie et en particulier du groupe de Lorentz. Peux tu me corriger ThM55 ?
Merci d'avance.
Dernière modification par Anonyme007 ; 27/02/2025 à 01h26.
Je ne peux tout de même pas rédiger un traité de théorie des champs. Je répondrai donc de manière très schématique, et je donnerai à la fin une référence de haute qualité (la meilleure à mon avis).
Très schématiquement, les groupes agissent sur l'espace de Hilbert via une représentation: un homorphisme de ce groupe vers le groupe des opérateurs inversibles. Mais je crains qu'en étant trop schématique, je ne t'induise en erreur. En effet, la vraie classification des états quantiques relativistes est fondée non pas sur le groupe de Lorentz seul mais sur le groupe de Poincaré, qui contient le groupe de Lorentz O(1,3) comme sous-groupe. Ces groupes sont non compacts, et un groupe non compact n'a pas de représentations irréductibles de dimension finie. Plutôt que considérer des représentation infinies, on sépare les degrés de liberté correspondant aux composantes de la quadri-impulsion, et les autres degrés de liberté. Cela revient à doter l'espace de Hilbert d'une structure supplémentaire en relation avec les opérateurs. Un élément de base sera donc indexé par les composantes p_i de la quadri-impulsion par des indices suppémentaires qu'on appelera par exemple s: |p_i,s>. La classification des états à une particule dépend ainsi de s, qui en réalité est le spin. Il s'agit ici d'état propres d'opérateurs. Les représentations sont celles d'un groupe que Wigner avait baptisé le "petit groupe", qui est le groupe des transformations de Poincaré qui laissent ivariant la quadri-impulsion. Pour une particule massive, ce groupe est SO(3), qui est compact et admet les représentations bien connues du moment angulaire. C'est le spin de la particule massive. Il a des représentations de dimension 2s+1, où s peut être entier ou la moitié d'un nombre impair. Pour une particule de masse nulle, le petit groupe est le groupe des déplacements euclidiens dans le plan ISO(2). Cela conduit à des complications mathématiques que je n'ai pas envie d'expliquer, mais physiquement cela revient à dire que le spin de ces particules se réduit à une hélicité, qui est un invariant de Lorentz.
Quand on décrit les champs de jauge, on le fait en effet d'abord comme des champs classiques parce que c'est plus simple à analyser, et aussi pour des raisons historiques (le champ de Maxwell quantique a une limite classique bien connue). Mais il ne faut pas en rester là: on doit en physique les considérer comme des champs quantiques! Il n'est pas question de prétendre que les particules sont représentées par des champs classiques.
Voici la référence promise: The Quantum Theory of Fields, Steven Weinberg, volume 1 chapitre 2 : https://www.cambridge.org/be/univers...me-1?format=PB
Le chapitre 2 explique comment les états quantiques à une particule sont classifiés selon la méthode de Wigner. Les chapitre 4 et 5 montrent comment et pourquoi les états à plusieurs particules sont en réalité des états de champs quantiques. C'est une route un peu inhabituelle: on part de la notion de particule pour arriver à la notion de champ. La plupart des introductions partent du champ classique, appliquent le procédé de quantification et arrivent à la notion de particule. Ce traité est très difficile, il ne convient pas pour une introduction, mais le chapitre 2 est abordable et permet de comprendre le rôle du groupe de Poincaré en théorie quantique.
D'accord. Merci beaucoup ThM55 pour tous ces détails. Si j'en ai encore des questions, je viendrai vous les poser. Merci encore une fois.
Bonsoir,
Tout opérateur de Dirac est un type particulier d'opérateurs elliptiques.
Tout opérateur de Dirac est un opérateur différentiel défini sur un fibré spinoriel muni d'une connexion de Clifford. ( Voir ici, https://fr.wikipedia.org/wiki/Fibr%C3%A9_de_Clifford )
J'aimerais savoir quel l'équivalent de la notion d’ellipticité d'un opérateur de Dirac pour la connexion de Clifford associée ?
Autrement dit, que représente la notion d'ellipticité d'un opérateur de Dirac par rapport à la notion de connexion de Clifford associée ?
Autrement dit, si un opérateur de Dirac est elliptique, quel est son équivalent pour sa connexion de Dirac associée ?
Merci d'avance.
Par exemple, en
En géométrie spinorielle, l'équivalent du module de Fredholm,
Est ce que alors, l'équivalent de la notion d'ellipticité de l'opérateur
Merci d'avance.
Dernière modification par Anonyme007 ; 21/04/2025 à 19h44.
Bonjour à tous,
A la page, 14 du pdf suivant, https://sites.math.rutgers.edu/~me498/Talks/diracop.pdf , il est dit,
The Dirac equation was used to predict the existence of anti-particles.
Pouvez vous m'expliquer comment s'il vous plaît ?
Merci infiniment.
Historiquement, c'est en effet Dirac qui a prédit le premier l'anti-électron en 1928. Son opérateur a un spectre non borné inférieurement, ce qui est catastrophique en théorie quantique: rien n'empêche une particule de tomber sans fin vers des états d'énergie plus bas en émettant des photons. La théorie obtenue est incapable de décrire la réalité. Sa solution c'est la théorie des trous, qui est considérée maintenant comme obsolète (il postulait l'existence d'une mer de particules remplissant tous les niveaux d'énergie négative, soumis au principe d'exclusion de Pauli, et un anti-électron, appelé positron, apparaît quand un des ces électrons d'énergie négative est poussé vers un état d'énergie positive). Initialement, il avait proposé que ce soit le proton, mais Oppenheimer a ensuite démontré que cette particule de charge positive devait avoir la même masse que l'électron.
Cette théorie est considérée comme obsolète car maintenant (depuis les années 1930) on utilise la théorie quantique des champs. Quand un champ est porteur d'une charge (par exemple électrique, mais pas uniquement), le champ doit être complexe et la conjugaison complexe induit deux types d'opérateurs de création et d'annihilation pour des particules qui ont des charges opposées. Elles sont anti-particules l'une de l'autre. Cela s'applique aussi aux particules scalaires et vectorielles, donc des bosons, et plus seulement aux fermions. Il est donc erroné d'attribuer cette symétrie uniquement à un effet de l'opérateur de Dirac. C'est une symétrie (appelée C) qui est plus fondamentale et plus universelle.
Dernière modification par ThM55 ; 08/07/2025 à 11h52.
Merci ThM55.
