Bonjour, les partielles arrivent et j’ai du mal avec un exercice, je suis vraiment pas sûre de moi.
Le voici :
On étudie le circuit ci-contre, comprenant une résistance R et deux condensateurs de capacité C1 et C2 placés en série. Au début de l’expérience, le condensateur C1 est chargé avec une charge Q alors que le condensateur C2 est déchargé.
1- On note q1 la charge du condensateur, C1 et q2 la charge du condensateur. C2 à un instant, t. Quelle est la relation entre le courant i(t) circulant dans le circuit et q1 et q2 ? En déduire une relation simple entre Q, q1 et q2 traduisant la conservation de la charge totale du circuit.
Du coup, pour répondre à cette question, j’ai dit:
i(t)=- dq1(t)/dt = dq2(t)/dt
Ainsi Q=q1(t)+q2(t).
2- en utilisant la relation de la maille, établir l’équation différentielle, vérifiée par la charge q1, puis celle du courant i(t) circulant dans le circuit. Quelle est la constante de temps tau de ce circuit ?
Voilà d’abord l’équation différentielle de la charge :
uc1(t)-uc2(t)-Ur(t) =0
Sachant que i(t)=-dq1(t)/dt et que q1(t)=C1 uc1(t) on a :
uc1(t) - uc2(t) - RC1 (-duc1(t)/dt) =0
uc1(t) - uc2(t) + RC1 duc1(t)/dt =0
uc1(t)/RC1 - uc2(t)/RC1 + duc1(t)/dt =0
Sachant que uc1(t)=q1(t)/C1 et que q2(t)=q2(t)/C2 on a:
q1(t)/C1*1/RC1 - q2(t)/C2*1/RC1 + dq1(t)/dt*1/C1 =0
q1(t)/RC1 - q2(t)/RC2 + dq1(t)/dt =0
Sachant que q2(t)=Q-q1(t) on a :
q1(t)/RC1 - (Q-q1(t))/RC2 + dq1(t)/dt =0
q1(t)/RC1 - Q/RC2 + q1(t)/RC2 + dq1(t)/dt =0
q1(t)(1/RC1+1/RC2) +dq1(t)/dt = Q/RC2
Équation différentielle du courant :
uc1(t)= uc2(t) + ur(t)
duc1(t)/dt = duc2(t)/dt + R di(t)/dt
Sachant que i(t)=-C1 duc1(t)/dt on sait que -i(t)/C1=duc1(t)/dt = i(t)/C2
-i(t)/C1 = i(t)/C2 + R di(t)/dt
i(t)/C1 + i(t)/C2 + R di(t)/dt =0
i(t)/RC1 + i(t)/RC2 + di(t)/dt =0
i(t) (1/RC1 + 1/RC2) + di(t)/dt =0
Du coup on peut dire que la constante de tau est 1/RC1 + 1/RC2
3- résoudre l’équation précédente et exprimer i(t) en fonction de Q, R, C2, C1 et tau :
Résolution de la charge : q1(t)(1/RC1+1/RC2) +dq1(t)/dt = Q/RC2
Solution homogène :
q1(t)h(1/RC1+1/RC2) +dq1(t)h/dt =0
q1(t)h= Ke^-(1/RC1 +1/RC2)t
Solution particulière : q1(t)p= a et q1(t)p’=0
a(1/RC1+1/RC2) = Q/RC2
a= QC1/(C1+C2)
q1(t) = q1(t)h+q1(t)p
q1(t) = Ke^( -(1/RC1 +1/RC2)t ) + QC1/(C1+C2)
Solution particulière : t=0
K= -QC1/(C1+C2)
Donc q1(t)= QC1/(C1+C2) [1 - e^( -(1/RC1 +1/RC2)t ) ]
Résolution du courant : i(t) (1/RC1 + 1/RC2) + di(t)/dt =0
i(t)= Ke^( -(1/RC1 +1/RC2)t )
Solution particulière : i(0)
uc1(0) - ur(0) =0
uc1(0) - R i(0) = 0
q1(0)/C1 - R i(0) =0
q1(0) /RC1 = i(0)
Avec la charge du condensateur C1 à t=0 qui est égal à Q
Q/RC1 = i(0)
On a donc :
Q/RC1 = Ke^( -(1/RC1 +1/RC2)0 )
Q/RC1 = K
Ainsi la solution de l’équation du courant est :
i(t)= Q/RC1 e^( -(1/RC1 +1/RC2)t )
4- connaissant l’expression de i(t) en déduire l’expression de q2, puis de q1, quelles sont les valeurs atteintes par q1 et q2 à temps infini.
i(t)= Q/RC1 e^( -(1/RC1 +1/RC2)t )
i(t)= dq2(t)/dt donc q2(t)=i(t)dt
Ensuite je suis perdu parce que je ne trouve pas le résultat précédent de q1(t) donc je ne sais pas si c’est parce que j’ai tout faux depuis le début ou si le problème vient uniquement de cette question.
Enfin, on me demande: Si les deux condensateurs sont de même capacité(C1=C2=C) quelles sont les valeurs atteintes de q1 et q2, temps infini.
Je ne peux donc pas y répondre non plus.
Voilà, en espérant être assez lisible. Pouvez-vous me donner un petit coup de pource pour la résolution de cette exercice.
Merci d’avance.
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Envoyé par Rangamesss 