équations différentielles pour la décharge d'un condensateur dans un autre condensateur

[invite14fa1862]

Bonjour,

On effectue l'expérience suivante suivante :

1) un condensateur de capacité C est chargé par une alimentation de tension U,
2) on débranche le circuit,
3) on branche en parallèle un second condensateur de même capacité C.

Ma question est la suivante : quelle est la tension aux bornes des condensateurs en régime stationnaire?
1?) si on considère que l'énergie 1/2 *C * U * U est conservée, ce serait U/racine(2)
2?) si on considère que la charge est conservée, q = C * U, on pencherait pour U/2

J'ai réalisé une simulation avec LTspice et la seconde option semble être la bonne.
Cependant, je ne parviens pas à le prouver mathématiquement avec les équations différentielles classiques.
J'ai pensé introduire une résistance R dans le circuit (qui a la faire tendre vers 0 plus tard), puis écrire les équations d'un circuit RC. Mais je n'aboutis pas.

Merci par avance pour votre aide!
-----

[gts2]

Bonjour,
C'est en effet la 2)
Pour l'équation on a un schéma série C1 C2 R, on applique la loi des mailles et on obtient l'équation voulue.

[calculair]

Vous pourrez ensuite tenter d'expliquer la nature physique de cette résistance.

Si R = 0

L'énergie accumulée au début de la manip est E° = 1/2 C U**2

Apres la decharche dans un autre condensateur de capacité C on aura pour chaque condensateur E = 1/2 C (U/2)**2 =. 1/2 * 1/4 U**2

Soit au total pour les 2 condensateurs E total = 1/4 C U**2 donc 1/2 C U**2 à disparu quelque part..... même si la liaison entre les condensateurs est faite en supra conducteur ...!!!

Bonjour,
C'est en effet la 2)
Pour l'équation on a un schéma série C1 C2 R, on applique la loi des mailles et on obtient l'équation voulue.

[invite14fa1862]

Bonjour,
Merci pour vos réponses. Effectivement, dans la vraie vie, il peut y avoir une étincelle lorsqu'on met les deux condensateurs en contact...
Par contre, il y a une chose que je ne comprends pas :
Effectivement, on peut voir ça comme un circuit RC série. Considérant que le courant traversant chaque composant est identique (OK c'est une évidence), on peut en déduire que la charge q1 du premier condensateur est égale à la charge q2 du second condensateur à une constante près après avoir fermé le circuit RC, puisque i = dq/dt. Mais pourquoi cette constante serait nulle? Ma question est idiote?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Considérant que le courant traversant chaque composant est identique (OK c'est une évidence), on peut en déduire que la charge q1 du premier condensateur est égale à la charge q2 du second condensateur à une constante près.

Pourquoi voulez-vous que cette constante soit nulle ? Il suffit de se placer à l'instant initial pour voir que ce n'est pas le cas.

[invite14fa1862]

Cet argument ne fonctionne pas. Avant d'avoir mis les condensateurs en série, q1 = Q et q2 = 0. Si on a admet qu'après avoir fermé le circuit q1 = q2+cst, on aurait q1 = q2 + Q à t>0?

[gts2]

on aurait q1 = q2 + Q à t>0?

C'est bien cela.

[calculair]

bonjour

Normalement les conditions initiales doivent permettre de supprimer la constante.

La quantité d'électricité Q initiale doit être conservée

[invite14fa1862]

Ok, ça le fait.
En détail, si j'ai bien compris :
1) Uc1 + Uc2 + Ur = 0 (loi des Mailles)
2) q1/C + q2/C + R * i = 0 (car q1 = C * U1 etc)
4) q1(t) =q2(t) + Q, pour tout t>= 0, d'après les CI
5) equa diff : (q + Q)/C + q/C + R dq/dt = 0 (en posant q = q2)
Soit Q + 2 * q(t) + RC dq/qt = 0,
6) ce qui donne finalement q2(t) = A * exp(-2 * t/RC) - Q/2
et q1(t) = q2(t) + Q
Pour t grand |q1| = Q/2 = |q2|, conservation de la charge!
ça fonctionne!
Merci!

[invite14fa1862]

De la condition initiale q2(t) = 0, on déduit A = Q/2,
Enfin q2(t) = Q/2 * [exp( -2 * t/RC) -1]
et q1(t) = Q/2 * [exp( -2 * t/RC)+1]

[Black Jack 2]

Bonjour,

Mais où est donc passée l'énergie perdue ?

Supposons que la connexion entre les 2 condensateurs se fait à travers une résistance R et soit i le courant dans le circuit.

On montre facilement (à partir de l'équation différentielle représentant le courant dans le circuit) qu'on a : i(t) = U/R * e^(-t/((R*C/2))

L'énergie dissipée dans la résistance est









Et on remarque que E est indépendant de la valeur de R ... et reste donc valable pour R --> 0

La moitié de l'énergie initiale est perdue dans la résistance ... même si celle-ci est nulle.

On est alors (avec R --> 0) dans un cas analogue d'une indétermination de limite du type 0 * infini (0 pour la durée et infini pour i), la levée de cette indétermination, donne un résultat fini (qui est le même (pour l'énergie perdue) que celui avec R finie non nulle)

Remarque : on peut sophistiquer l'étude en ajoutant de l'inductance dans la connexion (ce qui est toujours le cas) mais cela ne change pas les conclusions.

[calculair]

bonjour ,

je pense que R peut être non ohmique , mais une impédance de rayonnement. Une partie de l'énergie serait donc emportée par une onde électromagnétique.

Verification experimentale : On entend un click dans un récepteur radio à proximité lorsque on ferme le circuit...

[Black Jack 2]

bonjour ,

je pense que R peut être non ohmique , mais une impédance de rayonnement. Une partie de l'énergie serait donc emportée par une onde électromagnétique.

Verification experimentale : On entend un click dans un récepteur radio à proximité lorsque on ferme le circuit...

Bonjour,

Si il y a étincelle ... il y a un arc et une résistance d'arc.
Maintenant, on pourrait discuter de la part d'énergie rayonnée (provoquant le click) versus celle dissipée en chaleur dans la résistance de l'arc.

[yvon l]

C’est un problème général d’augmentation d’entropie quand un système tend vers l’équilibre .
Tu te retrouves avec le même type d’équations différentielles si tu considères l’analogie suivante.

Deux réservoirs identiques dont l’un plein d’eau. (une quantité Q)
Si via une canalisation en bas des réservoirs tu établis une liaison (ouvrir le robinet) tu constateras que l’énergie potentielle de l’eau a diminué de moitié lorsque les niveaux finaux s’équilibre (Même masse d’eau, mais hauteur du centre de gravité diminué de moitié = moitié d’énergie potentielle par rapport à la base des réservoirs).
Du point de vue équations, tu considères une perte de frottement proportionnel à la vitesse d’eau dans la canalisation. (système linéaire du 1er ordre ) . Tu peux aussi prendre en compte l’inertie de la masse d’eau (2e ordre) pour constater une oscillation amortie (Idem si tu prends en compte l’inductance du circuit électrique). Mais du point de vue énergétique tu finiras toujours par dissiper 50% d’énergie via un transfert thermique (chaleur)
Et même rayonnemant pour le condensateur si les conditions s’y prêtent (brin rayonnant = antenne) . Les 1es émetteurs radio (ondes amorties) (morse) fonctionnaient d’ailleurs sous ce principe (décharge d’un condensateur dans une self + antenne)

[calculair]

En effet le coup des 2 réservoirs est bien une analogie au circuit avec les 2 condensateurs.

j'avoue que j'ai un peu de mal avec le principe de la conservation de l'énergie . Quelle que soit l'état de surface des tuyaux et donc des frottements, la perte d'énergie reste constante.

Cette explication mérite un approfondissement théorique....

C’est un problème général d’augmentation d’entropie quand un système tend vers l’équilibre .
Tu te retrouves avec le même type d’équations différentielles si tu considères l’analogie suivante.

Deux réservoirs identiques dont l’un plein d’eau. (une quantité Q)
Si via une canalisation en bas des réservoirs tu établis une liaison (ouvrir le robinet) tu constateras que l’énergie potentielle de l’eau a diminué de moitié lorsque les niveaux finaux s’équilibre (Même masse d’eau, mais hauteur du centre de gravité diminué de moitié = moitié d’énergie potentielle par rapport à la base des réservoirs).
Du point de vue équations, tu considères une perte de frottement proportionnel à la vitesse d’eau dans la canalisation. (système linéaire du 1er ordre ) . Tu peux aussi prendre en compte l’inertie de la masse d’eau (2e ordre) pour constater une oscillation amortie (Idem si tu prends en compte l’inductance du circuit électrique). Mais du point de vue énergétique tu finiras toujours par dissiper 50% d’énergie via un transfert thermique (chaleur)
Et même rayonnemant pour le condensateur si les conditions s’y prêtent (brin rayonnant = antenne) . Les 1es émetteurs radio (ondes amorties) (morse) fonctionnaient d’ailleurs sous ce principe (décharge d’un condensateur dans une self + antenne)

[gts2]

Quelle que soit l'état de surface des tuyaux et donc des frottements, la perte d'énergie reste constante. Cette explication mérite un approfondissement théorique ...

Si le frottement est moindre, l'oscillation dure plus longtemps, donc on peut imaginer que le travail total des forces de frottement sera le même. (Ceci n'est pas "un approfondissement théorique" !)

[calculair]

On peut peut-être imaginer un transfert d'un réservoir à l'autre avec un bilan énergétique nul exemple : par évaporation / condensation , il y a peut être d'autres moyens....

Si le frottement est moindre, l'oscillation dure plus longtemps, donc on peut imaginer que le travail total des forces de frottement sera le même. (Ceci n'est pas "un approfondissement théorique" !)

[stefjm]

En effet le coup des 2 réservoirs est bien une analogie au circuit avec les 2 condensateurs.

j'avoue que j'ai un peu de mal avec le principe de la conservation de l'énergie . Quelle que soit l'état de surface des tuyaux et donc des frottements, la perte d'énergie reste constante.

Cette explication mérite un approfondissement théorique....

Ben, c'est la puissance d'une modélisation.
Quand t'identifie un système physique quelconque à un modèle mathématique du premier ordre (deuxième ordre, etc...), ben ce système hérite de toutes les caractéristiques du modèle.

Pas la peine de tout refaire à chaque fois.

[calculair]

Cette réponse ne me satisfait pas sur le plan physique. ( Il y a dans la mathématique des équations une explication physique qui n'est pas traduite )

Ben, c'est la puissance d'une modélisation.
Quand t'identifie un système physique quelconque à un modèle mathématique du premier ordre (deuxième ordre, etc...), ben ce système hérite de toutes les caractéristiques du modèle.

Pas la peine de tout refaire à chaque fois.

[stefjm]

Cette réponse ne me satisfait pas sur le plan physique. ( Il y a dans la mathématique des équations une explication physique qui n'est pas traduite )

Laquelle? Exemple simple pour que je comprenne ce que tu veux dire?
Les mathématiques décrivent la totalité du phénomène considéré...
C'est le principe de l'abstraction, littéralement, retirer la substance.

[calculair]

les équations décrivent quantitativement le phénomène

par contre elles n'expliquent pas ou est passée l'énergie qui a disparue et quelles sont les raisons physiques de cette disparition apparente

[gts2]

On peut peut-être imaginer un transfert d'un réservoir à l'autre avec un bilan énergétique nul, exemple : par évaporation / condensation.

Oui, mais il faut bien qu'il y ait un tuyau entre les deux pour assurer l'égalité des hauteurs.

[calculair]

Bonjour,

J'ai décrit comment on passe de la situation N°1 à N°3

Voir PJ

[calculair]

Bonjour,

J'ai décrit comment on passe de la situation N°1 à N°3

Voir PJ

[calculair]

Bonjour

Merci de ne pas tenir compte de la modification du message N°23 Je confirme donc que j'ai bien 1/2 m g h en trop ...!!!

[gts2]

Et donc, vous passez de 1 à 3 en évaporant l'un et en condensant dans l'autre ?

[stefjm]

les équations décrivent quantitativement le phénomène

par contre elles n'expliquent pas ou est passée l'énergie qui a disparue et quelles sont les raisons physiques de cette disparition apparente

L'énergie en question est sortie du système étudié, ou dit autrement, elle a changée de forme.

Dans le cas de l'énergie électrostatique qui se transforme en autre chose : effet Joule ou rayonnement ou tout ce qu'on veut, au final, se modélise par une résistance équivalente et dont les équations mathématique décrivent cet échange.

On choisit ce qu'on veut modéliser ou pas.

[calculair]

Bonjour :

Ton explication n'est pas claire :

Dans la situation N° 1
hauteur de centre de gravite h/2
masse d'eau de chaque réservoir m/2
l'énergie potentielle de chaque réservoir est E = 1/2 m g h/2 soit au total pour les 2 réservoirs ET1 = m g h/2

maintenant transportons la masse d'eau d'un des réservoirs pour le transférer dans l'autre.
Pour se faire on monte la masse d'eau m/2 de la hauteur h. Il faut fournir l'énergie E+ = 1/2 m g h. Ce travail ne dépend pas du chemin suivi

Alors l'énergie dans le réservoir qui contient toute l'eau est :

E t = E + E+ = 1/2 m g h/2 + 1/2 m g h =. 3/ 2 m g h/2 d'apres la conservation de l'energie.

Si on évalue l'énergie potentielle du réservoir plein directement on trouve :

hauteur du centre de gravité = h
masse d'eau = m

donc E = m g h il y a donc bien 1/2 m g h en plus qui vient de nulle part .....!!!

[yvon l]

je corrige

Ton explication n'est pas claire :

Dans la situation N° 1
hauteur de centre de gravite h/2
masse d'eau de chaque réservoir m/2
l'énergie potentielle de chaque réservoir est E = 1/2 m/2 g h/2 soit au total pour les 2 réservoirs ET1 = 1/2m g h/2

maintenant transportons la masse d'eau d'un des réservoirs pour le transférer dans l'autre.
Pour se faire on monte la masse d'eau m/2 de la hauteur h. Il faut fournir l'énergie E+ = 1/2 m/2 g h. Ce travail ne dépend pas du chemin suivi

Alors l'énergie dans le réservoir qui contient toute l'eau est :

E t = E + E+ = 1/2 m g h/2 + 1/2 m/2 g h =. 1/ 2 m g h/ d'apres la conservation de l'energie.

Si on évalue l'énergie potentielle du réservoir plein directement on trouve :

hauteur du centre de gravité = h
masse d'eau = m (..)

On retrouve l'énergie initiale

[gts2]

Je corrige

l'énergie potentielle de chaque réservoir est E = m/2 g h/2 soit au total pour les 2 réservoirs ET1 = m g h/2
Il faut fournir l'énergie E+ = m/2 g h
Alors l'énergie dans le réservoir qui contient toute l'eau est : Et = ET1 + E+ = m g h/2 + m/2 g h = m g h d'après la conservation de l'énergie.

On retrouve l'énergie initiale