Chainette

[cmole]

Bonjour à tous,

Je cherche à calculer une chainette, dont les points d'ancrage sont située en (0;0) et en (d;H). J'ai quelques difficultés au moment de la résolution pour les paramètres d'intégration, donc si vous avez des liens, des relations "toutes faites" (notamment pour déterminer le paramètre "a") ou toutes autres pistes de résolution : je suis preneur !

Voici où j'en suis :
L'équation générale d'une chainette est y(x) = a.cosh(x/a + C1) + C2, avec C1 et C2 les constantes d'intégration. On sait en plus que :
- y(x) = 0 = a.cosh(C1) + C2 => C2 = - a.cosh(C1)
- y(d) = H = a.cosh(d/a + C1) + C2 => H = a.cosh(d/a + C1) - a.cosh(C1)

Je ne sais même pas si ces équations sont possibles à résoudre analytiquement.

Question supplémentaire : si la tension T (non pas horizontale ni verticale) est connue en un point donné (x;y), est-ce que cela peut aider à la résolution ?

Merci pour votre aide !
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[gts2]

Bonjour,

Deux références :

metaletech calcul-statique-des-cables
Figure d'équilibre d'un fil pesant tendu

[mécano41]

Bonjour,

Tu peux voir également du côté des tyroliennes ; il y a des sites spécialisés...

Cordialement

[cmole]

Merci à tous les deux. Je vais lire les documents et faire quelques recherches en suivant vos recommandations !

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

Bonjour,



car on sait que cosh(p) - cosh(q) = 2sinh((p+q)/2).sinh((p-q)/2)

ce qui donne facilement C1 fonction de a, d et H

[cmole]

Bonjour,

car on sait que cosh(p) - cosh(q) = 2sinh((p+q)/2).sinh((p-q)/2)

Je ne connaissais pas cette simplification, merci beaucoup !

Une dernière question, qui concerne le paramètre "a" : ce dernier fait intervenir la tension horizontale, constante sur toute la longueur de la chainette, mais qui n'est pas facile à mesurer physiquement. Si à la place on a une mesure de la tension T à une coordonnée donnée (x0 ; y0), comment retrouver a ?

J'avais pensé travailler comme suit, mais corrigez moi si cela n'a pas de sens :
- Dans la détermination de l'équation de la chainette on a utilisé T = Tv² + Tx² (Pythagore) donc on a Th² = T² - Tv² = T²(1 - sin²(a)). Or, puisque a est petit, on peut considérer que sin(a) = tan(x) = dy/dx. Donc a = T/(Nu.g) * (1 - y'²)^0,5.
- On sait que y' = sinh(x/a + C1)
- C1 = arhsinh(H/(2*a*sinh(R/2a))) - R/2a (grace à votre relation, merci)
- En utilisant une résolution numérique, puisque les trois points du dessus liés, on peut déterminer a en connaissant T.

Est-ce que cela vous semble cohérent ? surtout l'utilisation de sin(a) = tan(x) ?

Merci !

[gts2]

Attention, vous utilisez la même lettre pour l'angle que vous notez a (c'est peut-être la faute de mon affichage...) que pour le paramètre a de la chainette.

Si vous travaillez numériquement, pas la peine de faire d'approximation : d'après .

Et si l'approximation de l'angle petit est licite, on peut assimiler la chainette à une parabole, ce qui simplifie.

[cmole]

J'avais totalement oublié cette relation, mais elle colle parfaitement à mon problème, un très grand merci !

[jacknicklaus]

Usuellement (dépend des paramètres connus), on a 3 valeurs inconnues : la tension horizontale Tx, et 2 constantes d'intégration. Les constantes d'intégration se trouvent avec la connaissances des 2 points PA(xa,ya) et PB(xb,yb) de suspension de la chaînette. La tension elle se calcule avec la masse M de la corde et sa masse linéique µ, et en calculant par intégration M = Somme(µ.dl). sans garantie, je trouve la relation :

où lambda est une des constantes d'intégration.

[cmole]

Bonjour,

je trouve la relation

Pourriez-vous détailler comment vous arrivez à cette relation ?

Merci !

[RF13011]

Bonjour,

Si ça peut vous aider, vous avez un site (en anglais !) qui permet de calculer l'équation d'une chainette à partir de ses caractéristiques :

https://www.had2know.org/academics/c...ing-chain.html

Un point d'ancrage de coordonnées (0,0) n'est pas accepté, il faut introduire un décalage : [(0,0); (20,30)] --> [(0,20); (20,50)]

Cordialement.

[RF13011]

Re-Bonjour,

J'ajoute également deux documents qui traitent en détail des calculs liés à la chainette :

Chainette - équations.pdf

Équation de la chainette.pdf

Cordialement

[cmole]

Bonjour,

Si ça peut vous aider, vous avez un site (en anglais !) qui permet de calculer l'équation d'une chainette à partir de ses caractéristiques :

Ce site et le petit code Python mis en place suivant la démarche du message #6 donnent exactement le même résultat. Le problème est donc résolu, un très grand merci à tous ceux ayant pris le temps de m'aider !

[Louis3D]

Bonjour,
il est indiqué en fin de ce second document : [[[corrigé dans les commentaires du fichier source]]]
Est-ce que quelqu'un sait où trouver ce corrigé ?
Merci !