différentielle du déterminant du tenseur métrique (formalisme de la Relativité générale)

[AtomeKid]

Bonjour !
Après une très longue interruption (1973 - ), je me remets à l'ouvrage, relisant "Théorie des Champs" de Landau et Lifschitz, au chapitre X (particule dans un champ de gravitation). J'en suis encore à l'établissement du formalisme de base de la Relativité générale.
Le tenseur métrique est - j'omettrai la dépendance en désormais. Il permet d'exprimer l'intervalle (infinitésimal) d'Univers en chaque point.
Les auteurs font remarquer que le mineur de est , où (déterminant du tenseur métrique) et est l'inverse du tenseur , autrement dit, vérifiant (avec la convention d'Einstein : pour un indice répété, une fois en haut et une fois en bas (ici l'indice , on ne mentionne pas ;
est le tenseur dont les éléments sont les symboles de Kronecker.
D'accord avec le mineur (quoique je pense qu'il y a peut-être confusion entre le mineur et le cofacteur d'un élément de matrice, mais on peut se débrouiller avec les ).
Mais ensuite, je ne m'explique pas (trou de mémoire sans fond ?!) pourquoi les auteurs écrivent la différentielle de .
J'avoue que j'ai de sérieux problèmes de mémoire, je suis même plus ou moins soigné en ce moment et suivi depuis plusieurs années, pendant que mon médecin parle de se résigner au ... déclin cognitif !
Merci de votre aide. J'ai posé la questions sur plusieurs forums, aucun ne m'a donné de réponse qui me convienne vraiment.
Votre
AK.
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[ThM55]

Bonjour. Ce sont effectivement les cofacteurs, vous avez raison, ce qui montre que votre mémoire n'est pas si mauvaise que ça. La traduction française de Landau et Lifchitz par Edouard Gloukhian est excellente mais de temps en temps la terminologie ne correspond pas exactement à celle qu'on utilise en français.

On sait qu'on peut exprimer le déterminant en développant le long de la i-ème rangée par la formule



Dans cette formule G_ij est le cofacteur; j'ai renoncé à la convention de sommation d'Einstein et il n'y a donc pas de sommation sur i!

Les éléments de la matrice inverse (notés ) vérifient

Je demande d'abord: quelle est la dérivée de g par rapport à un des éléments de matrice appartenant à la i-ème rangée, autrement dit que vaut ? Cet élément apparaît une seule fois dans la formule du développement le long de la i-ème rangée, et il est multiplié par . De plus ne dépend pas de ce car il est le déterminant d'une sous-matrice qui ne le contient pas. Il est donc évident que

.

Donc

(avec cette fois une somme sur tous les indices répétés car on calcule la différentielle).

[AtomeKid]

Grand merci ! Il se fait tard (00:19), je vais me coucher, je comprends votre démonstration très claire, et je la relirai moins vite demain ! Grâce à vous, je reprends ma route vers la solution de Schwarzschild (simple calcul, heureusement) et au-delà.
Encore mille merci !
Un amnésique, naufragé du passé...
AK

[AtomeKid]

Grand merci à ThM55 !
Je cherchais à dériver la formule en revenant aux dérivées par rapport à chaque , alors que vous avez bien montré qu'en prenant les comme variables, c'était instantané (et si simple !).
Hélas, je n'ai pas tellement avancé, toujours à la page 321 de L&L, Chap. X, "Particules dans un champ de gravitation".
En effet, si je vois bien que (1), et si je suis d'accord avec le résultat intermédiaire (1), je ne vois pas du tout d'où sort, moyennant l'utilisation de
, le résultat (qui me paraît d'ailleurs bien étrange)

Notamment, dans (1), je ne vois aucune dérivée des par les , il n'y a que des dérivées des ...
Je croyais avoir tout compris entre 1970 (date à laquelle j'ai entrepris seul l'étude de ce thème, avec les fascicules sur le calcul tensoriel (CAC), les Lichnerowicz, L&L), et 1972-1973, où j'ai suivi des cours du DEA de l'Université Paris VI ! Ma mémoire est vide, aujourd'hui, d'ailleurs j'oublie tout, je perds tout...
Désolé de vous ennuyer avec des évidences pour vous.
Encore merci à tout "relativiste" qui veut bien m'aider.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Bonjour. Courage, ce n'est pas si difficile, on appelle cela de la gymnastique tensorielle. Si on est un peu rouillé, c'est toujours difficile de se remettre à la gym. C'est un peu barbant, ça n'élève pas l'esprit, mais avec de la pratique, on finit par surmonter les douleurs .

Comme est constant, en dérivant le produit au membre de gauche on obtient



donc on peut exprimer les dérivées des en fonction de celles des (contracter avec ):

[ThM55]

Ensuite, comme on a la différentielle de g, le déterminant (qui est négatif en RG, faut pas l'oublier), on a



et pour la racine carrée (signe moins pour prendre la racine d'un nombre positif):

[AtomeKid]

Effectivement ! Merci pour cet "exercice d'assouplissement" ! Comme en "gym", il y a l'échauffement, l'assouplissement et la musculation. Sur le plan physique, je suis parallèlement en train de me battre (mais en manquant de temps) pour limiter la perte de souplesse et de masse musculaire. A l'approche de 77 ans, ce n'est pas évident, et avec le déclin physique, il y a aussi le déclin cognitif (notamment la perte catastrophique de mémoire immédiate, de capacité de concentration...). On ne peut que lutter pour freiner cette perte (tant physique que cognitive). Heureusement, je suis encore capable d'enseigner et de transmettre le flambeau à des jeunes (beaucoup trop peu nombreux !) qui ont de moins en moins accès à la formation scientifique, le vivier de nos jeunes étant complètement négligé par le système scolaire et universitaire actuel - en particulier depuis 1981 (lire J.P. Demailly et L. Lafforgue).

[AtomeKid]

En effet !
Grand merci !
Bonne continuation à votre belle activité dans le Forum !
AK