Théorie de Yang Mills quantique à ''mass gap''.

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Pourquoi est-t-il même difficile de construire une théorie de Yang Mills quantique à ''mass gap'' juste pour le cas simple du groupe de Lie , et non pour tous les groupes de Lie compact et simple ? Par quoi faut il commencer ?
J'ai appris il y a quelques jours que les scientifiques ont réussit à déterminer numériquement et approximativement ( je ne sais pas comment ) le ''mass gap'' d'une théorie de Yang Mills associé au groupe de Lie , mais, jusqu'à maintenant, personne n'a encore réussi à construire cette théorie de Yang Mills du groupe de Lie . Est ce que c'est possible ça ?

Merci d'avance.
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[ThM55]

L'origine de la difficulté c'est que la théorie est non linéaire, donc les quanta sont en auto-interaction. Dans le cas d'un champ libre, par exemple le champ de Klein-Gordon, ou Mawxell on sait le faire analytiquement (la masse dans le lagrangien dans le premier cas, zéro dans le second). Mais on ne sait résoudre aucune théorie quantique de champs en interaction (que ce soit avec lui-même ou avec d'autres champs)! Sauf par des moyens approchés dont les principaux sont: la théorie des perturbations par développement en séries de puissances d'un petit paramètre; la discrétisation sur réseau, adéquate pour des calculs numériques, puis passage à la limite. C'est cette dernière méthode qui a permis de prouver numériquement l'existence d'un mass gap. Cela dit, il existe des méthodes non perturbatives permettant non pas de trouver les solutions analytiques, mais de prouver certaines propriétés, en particulier des propriétés du spectre du hamiltonien. C'est bien de cela que l'on parle: le premier niveau excité. C'est sans doute par ces méthodes qu'on parviendra à prouver rigoureusement l'existence de ce mass gap.

NB: il existe quelques modèles en interaction qu'on peut résoudre exactement (ce qui signifie: trouver des expressions analytiques exactes pour les fonctions de corrélation), mais ils sont peu réalistes car ils sont définis sur un espace-temps à 2 dimensions. Les champs sur un espace-temps à deux dimensions ont de "bonnes" propriétés qu'on ne retrouve pas aux dimensions plus élevées car ils ont plus de symétries.

Mon avis personnel est que les preuves numériques sont conclusives et font perdre presque tout son intérêt à ce problème proposé comme "millenium prize" par le Clay Institute (intérêt scientifique s'entend, pas financier car le prix est toujours d'un million de dollars).

[Anonyme007]

Merci pour ces précisions ThM55.
Est ce que toute théorie de Yang-Mills ( classique ou quantique ) est renormalisable ? Si oui, comment le démontrer ?
Merci d'avance.

[ThM55]

Oui, mais c'est un autre sujet. La renormalisabilité des théories de Yang-Mills quantiques a été établie par 't Hooft et Veltman, ils ont reçu le prix Nobel pour cet exploit. On aussi démontré que c'est vrai pour tout le modèle standard, qui est fondé sur les équations de Yang-Mills pour divers groupes de jauges, mais qui comprend aussi les fermions et le mécanisme de Higgs. La démonstration est un problème mathématique très compliqué. Rien que la démonstration complète à tous les ordres pour l'électrodynamique quantique (càd seulement les photons, électrons et positron) par Klaus Hepp est hautement non triviale, je connais peu de gens qui la connaissent en détail. En général dans les cours pour les physiciens des particules on se contente de l'illustrer au second ordre de perturbation et on donne quelques indications sur les difficultés (comme les "divergences qui se chevauchent") afin de dissuader les étudiants . Les techniques de calcul impliquent le contrôle des symétries (de Lorentz, de Jauge), de l'unitarité et de diverses anomalies et cela s'avère fort complexe pour Yang-Mills.

Il faut aussi comprendre que la renormalisation n'est pas due seulement à l'apparition de divergences (des infinis dans les calculs) car elle est nécessaire même pour des théories finies. On peut d'ailleurs formuler les théories de champs du modèle standard sans qu'une divergence n'apparaisse, si on traite les mathématiques de manière correcte c'est-à-dire en reconnaissant qu'on travaille sur des distributions à support causal qu'il n'est pas correct de multiplier ponctuellement comme on le fait en physique. Si on gère cela correctement, il n'y a pas une seule grandeur infinie dans les calculs. C'est la méthode d'Epstein-Glaser que quasi tous les physiciens ignorent car elle ajoute une grosse couche de complexité dont ils préfèrent se passer, et préfèrent écrire des absurdités mathématiques en manipulant des contretermes et des grandeurs infinies "qui se compensent". Mais même si on fait des maths correctes, on doit procéder à la renormalisation, qui aboutit à une redéfinition des constantes et des échelles apparaissant dans le lagrangien.

De plus, la notion de renormalisation s'étend au delà de la théorie des champs quantiques, elle a été employée en physique statistique pour décrire quantitativement les phénomènes critiques dans les transitions de phase. Cela a donné lieu, grâce à Kenneth Wilson et Kadanov, à une sorte de révolution scientifique silencieuse (c.à.d. que le grand public ignore totalement car les vulgarisateurs ne savent pas comment l'expliquer) par un changement de perspective sur le sujet.

Je ne pourrais pas t'expliquer "comment le démontrer" dans un message, d'autant plus que je suis moi-même très loin d'en maîtriser tous les aspects.

[A voir en vidéo sur Futura]

[coussin]

Comme à mon habitude apparemment , je donne le lien vers la dernière vidéo de la chaîne Youtube Scientia Egregia : https://youtu.be/CODuPtbRTyQ?si=UEppKNlEXfOIU7i6
Cette vidéo, très pédagogique comme d'habitude, traite justement du problème de Yang-Mills, mass gap et renormalisation.

Pour contexte, cette chaîne YouTube, excellente à mon goût, est celle d'Antoine Bourget qui est chercheur à l'institut de physique théorique de l'école Polytechnique.

[ThM55]

J'ai peut-être un peu exagéré en disant que le problème a perdu tout intérêt. Si on relit le texte de Witten pour le prix Clay ( https://www.claymath.org/wp-content/.../yangmills.pdf ), on se rend compte qu'il va beaucoup plus loin que le seul problème du mass gap. Le fait que les premiers états physiques aient une masse est évidemment lié au confinement de la charge de couleur qui impose un état physique lié de couleur neutre (une glueball ou boule de gluons), puisque le lagrangien de Yang-Mills ne comporte pas de terme de masse. Une compréhension théorique du spectre de Yang-Mills pour apporterait forcément dans son sillage une compréhension plus profonde du comportement de cette théorie. Mais cela est bien sûr lié à sa complexité intrinsèque, tous ce sujets sont interdépendants, on ne trouvera pas ce spectre en résolvant une simple équation.

[Anonyme007]

Merci coussin et ThM55 pour toutes ces précisions.
J'ai une autre question si je peux me permettre :
Pourquoi une théorie de Yangs Mills quantique est une théorie quantique des champs constructive ?
Merci d'avance.