Pente d'un maillon à roulettes lorsqu'on le pose en équilibre sur un triangle rectangle isocèle

[PierreGobbo]

Un triangle rectangle isocèle repose à l'horizontale sur un côté de son angle droit ..
Nous posons un maillon à roulettes sur ce triangle, c-à-d que l'angle aigu supérieur du triangle pénètre le maillon, et que les extrémités du maillon ainsi pénétré reposent l'une sur l'hypothénuse, l'autre sur le côté de l'angle droit ..
On admet qu'il n'y a aucun frottement et que le diamètre des roues est négligeable ..
Question: comment va se positionner le maillon à cheval sur le triangle rectangle isocèle ? Autrement dit: quel angle décrit avec l'horizontale le maillon à roulettes lorsqu'il se positionne en équilibre sur ce triangle rectangle isocèle?
Comme toujours j'arrive pas à mettre l'image ..
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[PierreGobbo]

Tentative pour mettre l'image

[Black Jack 2]

Bonjour,

Même méthode que l'autre post :

(CD) : y = x+1
(AD) : y = -tan(alpha).x

D : x+1 = -tan(alpha).x --> xD = -1/(1+tan(alpha))
yD = -tan(alpha)/(1+tan(alpha))

D(-1/(1+tan(alpha)) ; - tan(alpha)/(1+tan(alpha)))

M (point milieu de AD) : M(-1/(2.(1+tan(alpha))) ; - tan(alpha)/(2.(1+tan(alpha)))

(DP) : y = -x + k , passe par D --> k = (1-tan(alpha))/(1+tan(alpha))

(DP) : y = -x + (1-tan(alpha))/(1+tan(alpha))

--> P((1-tan(alpha))/(1+tan(alpha)) ; 0)

Pour avoir l'équilibre, il faut XP = XM et donc :

-1/(2.(1+tan(alpha))) = (1-tan(alpha))/(1+tan(alpha))

-1/2 = 1 - tan(alpha)

tan(alpha) = 1/2

alpha = arctan(1/2)

[Black Jack 2]

Dans ma réponse précédente, inverser l'axe des abscisses.

[A voir en vidéo sur Futura]

[RF13011]

Bonjour,

Ce n'est pas mon domaine, mais je trouve le problème intéressant. Je vais peut-être dire des bêtises, mais il me semble que la longueur du maillon a son importance.
Deux cas :
1- le maillon est plus court que AB (sur figure du post ci-dessus). Dans ce cas la position d'équilibre est celle où le maillon a basculé de l'autre côté de AB est repose sur le sol.
2- le maillon est plus long que AB. Alors si on appelle I le côté du maillon qui repose sur BC et J l'autre côté, alors J va tomber jusqu'en A et I va se positionner sur le point N de l'hypoténuse BC, tel que NA = longueur du maillon IJ. Dans ce cas le calcul de l'angle que fait le maillon (IJ) avec l'horizontale est plus difficile à déterminer.

Bien entendu, il n'y a aucun frottement et aucune résistance au mouvement du maillon.

Qu"en pensez-vous ?

[PierreGobbo]

Merci Black jack 2, de tout coeur ..

[PierreGobbo]

RF13011, la longueur du maillon n'a aucune incidence, on considère que le triangle est assez grand pour le contenir .. La démonstration de Black Jack est parfaite ..

[yaadno]

bonsoir:
ce que je sais de qq pb de statique c'est que lorsqu'on fait des hypothèses il faut les faire toutes et voir ensuite les conséquences physiques;
je suppose que le maillon a un poids,?
les contacts étant sans frottement,les actions sur le maillon sont normales aux surfaces en contact;
Dans ces conditions peux-tu dessiner l'équilibre du maillon et éventuellement exprimer la valeur des forces?
cdlt

[PierreGobbo]

Yaadno, tout ce que tu demandes a été fait par les jeunes ..

[yaadno]

Pas mal la pirouette!
Ce que je voulais te montrer,c'est qu'avec les hypothèses que tu fais(sans frottement) le pb n'existe pas;(somme des forces=0 et somme des moments=0)
cdlt

[gts2]

Ce que je voulais te montrer, c'est qu'avec les hypothèses que tu fais(sans frottement) le pb n'existe pas;(somme des forces=0 et somme des moments=0)

Quel problème : la question était quel est l'angle et @Black Jack 2 a répondu ?

[RF13011]

Bonjour,

PierreGobbo, tu dis, "la longueur du maillon n'a aucune incidence, on considère que le triangle est assez grand pour le contenir". Alors comment déterminer la position d'équilibre du maillon, lorsqu'il est court, comme sur le schéma ci-dessous, en fonction des différentes forces agissantes ?

[gts2]

Bonjour,

C'est de la mécanique et donc comme dit @yaadno, message #10 "(somme des forces=0 et somme des moments=0)"

Or lors de la somme des moments la longueur peut se mettre en facteur et donc disparait.
On obtient l'angle et la position (qui dépend de la longueur...) s'en déduit.

[Black Jack 2]

Bonjour,

PierreGobbo, tu dis, "la longueur du maillon n'a aucune incidence, on considère que le triangle est assez grand pour le contenir". Alors comment déterminer la position d'équilibre du maillon, lorsqu'il est court, comme sur le schéma ci-dessous, en fonction des différentes forces agissantes ?
Pièce jointe 518600

Bonjour,

Si tu veux vraiment savoir l'influence de la longueur du maillon ... en respectant évidemment les conditions de l'énoncé.

Voila pour 3 longueurs différentes ce que cela donnera :

[RF13011]

Pour bien comprendre les calculs à faire, dans le cas précis du schéma ci-dessous (la position du maillon est quelconque), qu'elle serait la valeur de l'angle bèta (bien sûr pas de frottements, masse du maillon nulle sauf les roulettes; je n'ai pas représenté toutes les forces en présence) ?



Merci pour une réponse

[gts2]

On est dans un cas particulier simple : la détermination des forces est immédiate :



Il reste à exprimer le moment en A
m g L disparaissent et il ne reste que

[Verdurin]

Bonsoir,
pour le cas général :
Pièce jointe 518618
Le maillon est représenté par le segment AB et comme il est supposé homogène ou symétrique son centre de gravité G est le milieu de AB.
À l'équilibre on a vecteur R_A + vecteur R_B= -vecteur P et les moments des vecteurs R_A et R_B par rapport au point G sont opposés.

Soit a et b les angles respectifs des vecteurs R_A et R_B avec le vecteur XY ( l’horizontale. )
Ces angles sont faciles a calculer à partir des données et la somme des composantes horizontales est nulle.
On en déduit que le module de R_A est k⋅cos(b) est que le module de R_B est k⋅cos(a) pour une valeur de k que l'on a pas besoin de connaître.

Il ne reste plus qu'a écrire que les moments sont opposés.

[PierreGobbo]

Verdurin le lien ne marche pas pour Pièce jointe 518618 .. Mets l'image en réel sur le fil ..

[RF13011]

Bonjour,

Je me suis amusé à réaliser une maquette pour illustrer ce problème. Voilà le résultat :


Une confirmation par l'expérimentation !
Cordialement.

[PierreGobbo]

RF13011, les tiges du maillon peuvent être aussi lourdes qu'on veut, même en plomb, la pente sera toujours la même .. Perso pour faire le maillon j'utilise deux lames de scie à métaux, les lames en parallèle et réunies aux extrémités par des roulements à bille de skateboard ou de rollers ..

[PierreGobbo]

On met le maillon dans un fossé ..
j'ai du mal à faire passer les images ..
https://ibb.co/rRX4X31k

[Verdurin]

Je tente de mettre l'image


Et j'ajoute que la condition d'égalité des moments permet d'obtenir l'équation



où x est l'angle du maillon avec l'horizontale.

[PierreGobbo]

Alignement des deux images
https://ibb.co/C30f3yLh

[Verdurin]

J'ai corrigé une erreur de signe et l'équation a disparu.
C'est

[RF13011]

PierreGobo, moi, j'ai usiné au tour les deux petites roulettes avec gorge en laiton et je les ai reliées par deux bandes de PVC de 0,5 mm d'épaisseur et de longueur 12 cm, avec un axe en acier de 4 mm.

[PierreGobbo]

Merci Verdurin .. C'est génial ..

[PierreGobbo]

Pour le maillon dans le fossé je sais pas si c'est bon .. Il faut fixer une extrémité pour que ça fonctionne .. Du coup je me demande si ça modifie pas le problème .. Vous en pensez quoi du maillon dans le fossé, c'est le même problème ?

[Verdurin]

J'ai l'impression que c'est le même problème dans la mesure où les extrémités du maillon sont prises dans un rail.
Mais, avant de m’intéresser à ce problème, la dernière fois que j'ai fais de la statique remonte à 53 ans.

[yaadno]

bonjour:
je vois 2 représentations:
celle de RF avec une tige de masse négligeable et une masse concentrée aux extrémités:donc 4 forces sur le maillon
celle de verdurin:une sorte de palonnier qui porte une charge au milieu,le reste étant négligé:donc 3 forces;
dans cette dernière configuration il faut que les 3 forces soient concourantes;est-ce le cas avec l'hypothèse prise?que faut-il prendre comme hypothèse?
cdlt

[gts2]

D'un point de vue mécanique du solide, les deux représentations sont équivalentes : l'effet de la gravité est modélisable par le poids au centre de gravité.