Objectif
Le but est ici de donner les bonnes pratiques et la bonne approche pour apprendre et comprendre la relativité générale. Au moins les bases. Et pour faire le lien entre le formalisme mathématique et le côté physique.
Motivations
Nous avons trop souvent vu des passionnés vouloir apprendre par eux-mêmes la relativité générale (ce qui n'est pas un mal) mais sans se plonger dans un véritable cours : donc à coup de vulgarisation (souvent YouTube) et de questions dans des forums. Dans un tel cas il est très fréquent de voir que l'aspect mathématique est sous-estimé, mal compris et que le lien avec la physique l'est encore plus. La compréhension de la relativité générale qui en résulte est telle faussé que faire ensuite marche-arrière pour éliminer ce qu'on a "mal compris" devient difficile.
D'où l'idée de rédiger ce guide.
Références
On trouvera pleins de références ici :
https://forums.futura-sciences.com/a...ophysique.html
https://forums.futura-sciences.com/p...-physique.html
https://forums.futura-sciences.com/p...-physique.html
Indiquons aussi :
Gravitation, de Misner, Thorn et Wheeler, qui reste la bible sans doute la plus appréciée sur la relativité générale.
Mathématiques
Les difficultés mathématiques de la relativité générale ne doivent surtout pas être sous-estimées. Cela ne se limite pas à de l'arithmétique, de l'algèbre, du calcul matriciel ou même différentiel.
Ce n'est pas par hasard si dans le cursus universitaire la relativité générale n'est abordée qu'en master.
Il faut y inclure la géométrie différentielle, le calcul tensoriel et même un minimum de topologie différentielle. Croire qu'on peut s'en passer est une grave erreur. Un excellent livre pour se familiariser avec ces mathématiques est : "Le calcul tensoriel en physique', Jean Hladik. Il est d'un abord très facile, très pédagogique, très pédagogique avec exercices résolus et en plus fort complet.
Connaissances préliminaires
Il est totalement illusoire d'apprendre la relativité générale sans d'abord connaitre la relativité restreinte. Il est d'ailleurs symptomatique de voir que la plupart des cours de relativité générale commencent par un rappel de la relativité restreinte.
La relativité restreinte est à la relativité générale ce que la brique est à la maison. La relativité générale c'est "une généralisation de la relativité restreinte à tous les référentiels, incluant la gravité".
Il faut connaitre la relativité restreinte en profondeur, et pas seulement à un niveau vulgarisé mais technique (mathématique). Si ce n'est pas le cas, commencez par là. C'est strictement incontournable et vous n'arriverez pas à comprendre la relativité restreinte "à travers l'étude de la relativité générale". Répétons-le, ce serait totalement illusoire. Là aussi les bibliothèques virtuelles précédentes peuvent vous aider.
Et bien entendu, maîtriser à fond la relativité restreinte nécessite aussi de maîtriser la physique non relativiste. On n'a rien sans rien et on ne construit jamais le toit d'une maison avant ses fondations.
Des expressions comme "composantes covariantes et contravariantes", "tenseur énergie-impulsion",... doivent devenir aussi familier et facile à utiliser que "maison", "smartphone" ou "banane flambée au whisky"
Etapes
Donnons dans les grandes lignes ce qu'il faut voir et dans quel esprit.
Mesure de l'espace et du temps
La relativité générale, c'est l'espace-temps. C'est donc l'espace et le temps. Il faut donc avoir une idée des notions de mesure de l'espace et du temps (dans un cadre relativité générale donc avec un espace-temps courbe). L'idéal est le premier chapitre de Gravity mais vous trouverez ça dans d'autres documents.
Définition de l'espace-temps
L'étape suivante est de bien comprendre l'espace-temps. Le concept même d'espace-temps est déjà connu en relativité restreinte. C'est donc déjà un bon point.
Mais que signifie un espace-temps courbe ?
Le mieux est de voir cela d'une part
- physiquement : l'espace-temps est défini par son contenu. A nouveau le premier chapitre de Gravity est l'archétype de ce type d'explication.
- mathématiquement : nombre de sources internet permettent de comprendre, maîtriser et visualiser les variétés.
La définition de la métrique comme une mesure des distances et des angles en chaque point permet de bien comprendre cette notion dans le cadre de la relativité générale. Là aussi la maîtrise de ce qu'en dit la relativité restreinte est une aide indispensable.
Le principe d'équivalence
Ensuite vient le principe d'équivalence. Celui-ci est au coeur de la notion de gravité et de la relativité générale.
Il faut d'abord connaitre le principe d'équivalence faible, celui de la physique newtonienne. Et sa version forte (égalité des masses gravitationnelles et inertielles). En général on connait mais une piqure de rappel est utile.
L'expérience de pensée des ascenseurs d'Einstein est utile et surtout son interprétation physique, qui est double : elle montre qu'on peut décrire géométriquement la gravité et elle conduit à la formulation moderne du principe d'équivalence : l'existence de référentiels locaux où la relativité restreinte est valide et notion d'espace tangent.
Cette notion d'espace tangent est très importante et assez facile à saisir.
Connexion et géodésiques
La compréhension du concept de géodésique se fait à travers la géométrie. C'est le plus facile. Puis on peut faire le lien avec le principe d'équivalence ce qui permet une compréhension physique des géodésiques.
Notons que c'est ici que la géométrie différentielle devient indispensable. Elle permet de bien comprendre ce que signifie la connexion (appelé souvent en relativité : les symboles de Christoffel). Et cela conduit facilement à l'équation des géodésiques. Une compréhension géométrique facilite une compréhension physique.
Certains cours/livres abordent le problème sous un angle purement calculatoire (vision "matricielle" des tenseurs, peu ou pas de géométrie). D'un point de vue pratique, c'est bien, mais d'un point de vue pédagogique, c'est une catastrophe. Comprendre/visualiser les aspects physiques de la relativité générale rend la géométrie différentielle incontournable.
Tenseur de courbure
Dans la continuation de ce qui précède, on s'attaque alors au tenseur de courbure de Riemann (et ses dérivés). Il est bon de commencer plus simple : notion de rayon de courbure, courbure de Gauss.
Et un exercice indispensable : quel est le sens physique des composantes du tenseur de courbure. Ce sens physique est lié aux forces de marrées, à la dilatation du temps gravitationnelle.... Bien comprendre le lien entre ces composantes et la physique est très important.
Limite classique
Dernière étape, la limite classique. C'est-à-dire le lien avec la formulation newtonienne de la gravitation universelle. Cela permet alors d'arriver à l'équation d'Einstein. Bien comprendre cette limite classique donne l'essentiel de la compréhension physique de cette équation. Mais il est aussi utile de voir comment on la résout (avec valeurs aux limites, etc.)
Une fois armé de tout ça, vous n'aurez aucun mal à aborder les trous noirs, les ondes gravitationnelles, la cosmologie...
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