Bonjour à tous, saurez vous me dire si les tenseurs ( Ricci, Métrique, Energie-impulsion Riemman) en relativité générale ont des unités ? Si oui quelles sont-elles ? Je sais juste que les tenseurs se présentent sous forme de tableau.. Merci et si vous avez des livres à me conseiller ou des sites allez-y😉
Merci bcp !
Bonjour,
Je note L la dimension de longueur, T la dimension de temps et M la dimension de masse. Pour une théorie relativiste comme la relativité générale, il est commode de travailler avec un système d'unités où c=1(vitesse de la lumière égale à 1), ce qui permet d'identifier longueur et temps, ainsi que masse et énergie, et donc de faire L=T. Il ne reste alors que deux dimensions indépendantes: L et M.
Avec cette convention:
Les composantes g_munu de la métrique sont sans dimension. Par exemple, pour une métrique plate, comme en relativité restreinte, on a une matrice diagonale avec sur la diagonale (-1,1,1,1).
La dimension des composantes T_munu du tenseur énergie impulsion est M/L^3. Par exemple, T_00 est une densité d'énergie, T_0i est une densité d'impulsion, et T_ii est une pression (i: indice spatial).
La dimension des composantes des tenseurs de courbure (Riemann, Ricci ou scalaire) est 1/L^2. En effet, ces composantes sont définies en termes de dérivées secondes de la métrique (et produit de deux dérivées premières).
La constante de Newton G a dimension L/M, comme cela se voit à partir de la formule de Newton pour la force gravitationnelle.
L'équation d'Einstein s'écrit (à un facteur numérique 8 pi près): R_munu -1/2 R g_munu = G T_munu.
Le membre de gauche a dimension 1/L^2 et le membre de droite a dimension L/M fois M/L^3, ce qui est bien homogène.
Remarque: ce qui précède est pour un espace-temps de dimension 4. Exercice: tout refaire en dimension d'espace-temps arbitraire.
Je suis certain que t'as reponsr est complete mais le probleme c est que je ne suis qu'en seconde (premiere l an prochain).. Je comprends donc assez mal ces notions.. J'ai maintenant presque fini en avance le programme de première mais cela m avance que très peu^^. Saurez tu me dire quelle notions faudrait-il que j'aborde pour comprendre ? Je garde ta reponse de côté pour quand je serai en mesure de bien la comprendre✌..
Comme je n'ai absolument pas l'appareil mathématique, je fais que la théorie sans les détails.. Mais le malus c'est que j'ai atteinds la limite, pour avancer il me faudrait un minimum de maths pour comprendre^^.
Merci
Vu le niveau ( classe de seconde) du demandeur, sujet déplacé en section "pédagogie". Merci à ceux qui répondront à partir de maintenant de bien vouloir adapter le niveau de leurs réponses.
Dernière modification par mh34 ; 06/07/2019 à 12h22.
"mal nommer un objet, c'est ajouter au malheur de ce monde". Albert Camus
Salut,
Ben oui. Ce n'est pas par hasard que la relativité générale n'est enseignée qu'en master dans le cursus universitaire français...Envoyé par Astrolife
Quand-même quelques pistes pour compléter la réponse de 0577 (qui ne savait pas qu'il s'adressait à un lycéen rentrant en 1ère) :
1) Déjà comprendre ce qu'est une métrique. Il s'agit de définir une distance entre deux éléments d'un ensemble. Ici l'ensemble est l'espace-temps, et puisque tu parles des tenseurs de courbure, tu as dû comprendre que cet ensemble n'est pas un "simple" espace affine euclidien (comme l'espace en trois dimensions dans lequel on fait de la mécanique classique et que tu as dû voir en cours), ni même l'espace de Minkowski de la relativité restreinte (dans lequel la métrique est diagonale et ses coefficients sont partout identiques).
La notion de métrique permet de généraliser la notion de distance à des ensembles "plus compliqués", dont tu entendras parler si tu poursuis des études de maths-physique au-delà du bac.
Mais comme ta question ne porte que sur l'analyse dimensionnelle, la réponse est simple : la distance s'exprime en unités de longueur. Comme l'ensemble dont on s'occupe est l'espace-temps, on assimile le temps à une longueur (en fait ça revient à remplacer la variablepar
Dans l'espace euclidien en 3D dont tu as l'habitude, le théorème de Pythagore permet de définir la distance
Le tenseur métrique y est simplement la matrice 3x3 diagonale
Dans l'espace de Minkowski (espace-temps de la RR), de manière analogue on écrit
Le tenseur métrique y est la matrice 4x4 diagonale
(remarque, le choix du signe + devant la coordonnée de temps et du signe - devant les coordonnées d'espace n'est qu'une convention)
De manière générale, dans l'espace-temps courbe de la RG, les composantes de la métrique ne sont pas toutes égales à 1 en valeur absolue, et il peut y avoir des termes croisés
(*) Localement car, du fait de la courbure, les valeurs des composantes
2) Comme 0577 l'a dit, les tenseurs de Ricci et d'Einstein (que tu peux voir comme des matrices 4x4) ont des composantes qui s'expriment à partir des dérivées secondes (et des produits de dérivées premières des composantes de la métrique) par rapport aux différentes coordonnées (qui je le rappelle ont toutes la dimension d'une longueur).
De la même façon que quand tu dérives une distance (de dimension L) par rapport au temps (de dimension T) pour obtenir une vitesse (de dimension L.T-1), quand tu dérives une fois une composante de la métrique (nombre sans dimension) par rapport à une coordonnée de dimension L, tu obtiens une quantité de dimension L-1. Et quand tu la dérives une deuxième fois par rapport à une coordonnée, tu obtiens une quantité de dimension L-2.
Donc les composantes du tenseur de Ricci et du tenseur d'Einstein sont de dimension L-2.
Est-ce que ça va mieux comme ça ?
Tentative louable Yves, mais des "dx" et une "matrice 3x3 ou 4x4" en fin de seconde aujourd'hui me paraissent extrêmement prématurés, même pour un élève autodidacte en avance. Je pense que ce que veut @astrolife c'est de la vulgarisation sans math comme ce qu'on trouve dans les revues type Science & Vie. Les mathématiques de seconde pour leur parties Algébre, Analyse et Géométrie se réduisent, pour situer en gros le niveau, à quelques factorisations et développements élémentaires, aux fonctions du second degré simples et leurs représentations graphiques et au théorème de Pythagore dans sa version la plus explicite.
Dernière modification par eudea-panjclinne ; 09/07/2019 à 07h39.
Bonjour,
Essayant et débutant dans l'abordage de l'outil, pas certain d'avoir encore bien saisi l'outil.
Est ce que je me trompe en le définissant ainsi?
Pas spécialement d'unité, mais des définitions, des référentiels. Comme le tenseur électromagnétique. le tenseur des contraintes de maxwell, tenseur énergie impulsion...
Il peut avoir toutes les "unités", dépend dans quels champs vectoriels, on en a besoin. C'est une "forme" de vecteur, mais c'est un "vecteur" à géométrie variable. Le pourquoi des matrices pour le paramétrer.
Bonjour
Le peu que je crois savoir à propos de ces matrices, c'est que g00 est une densité volumique d'énergie (J/m^3)
à faire confirmer bien sûr
cordialement
Certainement pas. Confusion avec le tenseur énergie-impulsion peut-être ?
De toutes manière c'est des conventions. Pour le tenseur métrique, ca dépend de la dimension qu'on décide de donner à l'intervalle d'espace-temps par exemple.
Ca dépend aussi si on décide que les dimensions sont portées par les vecteurs de base, les coordonnées ou un mix des deux.
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
probablement; mais honnêtement je sais pas : peut être que c'est une notation qu date,
encore une fois je ne sais pas si c’est l'explication
