Géométrie non euclidienne en cosmologie

[juliem27]

Bonjour,

J'aimerais bien que vous éclaircissiez ma lanterne svp.

Il existe une géométrie hyperbolique à courbure négative et une autre géométrie elliptique à courbure positive. D'après ce que j'ai compris, la géométrie hyperbolique attribue à l'univers une forme de selle à cheval et la géométrie elliptique celle d'une sphère. Est ce que cela possède des implications (compatibilités / incompatibilités) avec les scenari de la fin de l'univers (big bounce, big rip, big crunch, etc) suivant le type de géométrie à laquelle on se réfère ? Qu'est ce qui, appliqué au cas de l'univers, permet d'utiliser tantôt la géométrie hyperbolique et tantôt la géométrie elliptique ? Et est ce que ces deux sortes de géométrie ont des retentissements particuliers, suivant si on les emploie sur la théorie de la gravitation quantique à boucles et sur les théories des cordes ?

Désolée, je n'y connais pas grand chose...
Merci pour l'attention que vous porterez à mes questions !
Bonne semaine à vous
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[Deedee81]

Salut,

Je fais vite (je suis bientôt parti) à compléter par d'autres (ou à partir de questions plus ciblées).

- A l'échelle de l'univers, la physique classique n'est plus applicable. La relativité générale est nécessaire. Et en relativité générale, l'espace-temps est décrit par une variété riemannienne.
- Les variétés riemanniennes peuvent avoir une courbure variable de point en point, toutefois "globalement" à l'échelle de l'univers et en prenant en compte le principe cosmologique (univers globalement homogène et isotrope) on peut considérer sa géométrie comme constante.
- Il s'agit là de variétés à quatre dimensions. Mais à un temps cosmologique donné on peut effectuer une coupe spatiale à trois dimensions, qui doit alors être sphérique, euclidienne ou hyperbolique.
- Les observations montrent que l'espace est globalement euclidien, ce qui est attribué à l'inflation initiale au début de l'univers.
- En l'absence de constante cosmologique, un univers spatialement euclidien ou hyperbolique est éternel, un sphérique va finir par se recontracter (big crunch).
- Il semble que la constante cosmologique ne soit pas nulle (observation de l'accélération de l'expansion) mais le sujet est encore mal maîtrisé/connu.
- La théorie des cordes (que je connais mal) et la gravité quantique à boucles (que je connais assez bien) sont des théories encore spéculatives de gravité quantique et on peut construire de nombreux modèles, ce qui ne change pas grand chose (tout reste possible). En particulier il existe divers modèles d'univers avec "pré-big bang" (ce qui a précédé la phase actuelle).

[Amanuensis]

la géométrie hyperbolique attribue à l'univers une forme de selle à cheval

Non. La géométrie hyperbolique c'est bien autre chose ! Un meilleur exemple de surface de géométrie hyperbolique est la trompette de Gabriel (qui est partout de courbure négative), mais ne permet en rien de comprendre la cosmologie! Et de toutes manières, l'espace est 3D, ce n'est pas une surface.

et la géométrie elliptique celle d'une sphère.

Guère mieux. Mais un peu mieux: grossièrement la courbure "locale à grande échelle" est comparable à celle d'une hypersphère. Cela ne reste qu'une image.

Qu'est ce qui, appliqué au cas de l'univers, permet d'utiliser tantôt la géométrie hyperbolique et tantôt la géométrie elliptique ?

Les observations d'abord. Des modèles, contraints par les observations, ensuite.

[Amanuensis]

Quelques remarques générales:

Attention de ne pas confondre (c'est courant!) la courbure "spatiale" (en 3D) et la courbure de l'espace-temps (en 4D). Quand des articles indiquent que la courbure à grande échelle est "presque nulle", il s'agit de la courbure spatiale (et moyennant une hypothèse forte, celle d'homogénéité spatiale). Par contre quand on dit que la présence de masse affecte la courbure (équation de champ d'Einstein) il s'agit de la courbure d'espace-temps (qui inclut les courbures d'espace).

Pas facile de comprendre cela en débutant, d'accord, mais il est important de savoir qu'il y a cette distinction à faire. C'est ambiant dans toute la RG: le modèle est essentiellement en 4D, alors que les observations distinguent par nécessité le spatial et le temporel.

Autre caveat: quand on parle de courbure de l'Univers, c'est toujours à grande échelle, une sorte de moyenne. À échelle plus petite, c'est plutôt gondolé! À celle du Système Solaire, la courbure 4D est très loin d'être nulle (si c'était le cas les planètes n'orbiteraient pas autour du Soleil !), et la courbure spatiale non nulle se manifeste par des effets proches du Soleil, comme la déviations des rayons lumineux passant à sa proximité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[juliem27]

Merci sincèrement pour vos réponses !

Du coup, je me permets de rebondir sur ce que vous avez écrit afin de solliciter quelques précisions supplémentaires :

1) Est ce que les différents objets mathématiques (hors trompette de Gabriel et hyper-sphere) sont tributaires des différentes géométries ? J'aurai tendance à penser que oui (mais bon je n'y connais rien...) : si c'est effectivement le cas, qu'est ce qui permet de relier un objet mathematique à un type de geometrie précis ?

2) En l'absence de constante cosmologique, le big bounce a t il egalement une existance theorique dans le cadre de la géométrie sphérique ?

3) Quelles sont les différences entre les géométries sphérique et elliptique ?

4) Est ce que la constante cosmologique demeure inchangée quelque soit la théorie choisie pour expliquer l'expansion de l'univers (énergie noire VS antimatière existant dans une autre dimension de l'espace temps) ?

5) Si j'ai bien compris, en cosmologie les 3 géométries cohabitent, même celle d'Euclide ? Quelles sont les implications de la géométrie euclidienne en cosmologie ? Pouvez vous me citer un ou des exemples de modélisations ou de calculs qui la nécessitent ?

6) Je ne savais pas qu'il existait plusieurs scenari pré-big bang. Du coup, j'ai fait une recherche rapide. J'ai lu qu'il y avait la theorie inflationniste qui s'opposait à la theorie du rebond. Pouvez vous m'expliquer svp comment la théorie du rebond décrit la naissance de l'univers sans recourir à la singularité ? (Oui, je sais, on s'éloigne du sujet de départ, mais ça m'embête d'encombrer le forum en ouvrant un fil de discussion uniquement pour cela.)

Merci vraiment pour votre apport et d'avoir pris le temps de développer autant vos réponses !
Bonne soirée à vous

[mach3]

(Oui, je sais, on s'éloigne du sujet de départ, mais ça m'embête d'encombrer le forum en ouvrant un fil de discussion uniquement pour cela.)

Pour une meilleure lisibilité, mieux vaut créer une nouvelle discussion si une question s'eloigne trop du sujet de départ. Ca n'encombre pas le forum, il est fait pour ca.

m@ch3

[juliem27]

Pour une meilleure lisibilité, mieux vaut créer une nouvelle discussion si une question s'eloigne trop du sujet de départ. Ca n'encombre pas le forum, il est fait pour ca.

m@ch3

ok je poste ça tout de suite 😉 merci