C'est la différence entre quoi et quoi?Envoyé par homotopie
Pourquoi les sommets sont augmentés de 2, et pas de 3 (à savoir a, a' et a")?
Et l'ajout de sommets me rend perplexe. Je croyais comprendre l'idée comme de passer de (8, 4) à (8, 5), en ajoutant le sommet e. Mais cela semble contradiction à l'ajout de sommets supplémentaires.
Amicalement,
Nous avons d'abord un 1er espace X (qui n'est pas une surface) avec deux nappes collées en un point, celui-ci a (m+n) sommets, mn arêtes, mn/2 faces . X est transformée en une surface Y avec p sommets, q arêtes, r faces. Comme c'est pénible de tous les calculer je compte la différence ds=p-(m+n), da=q-mn, df=r-mn/2. (La nouvelle caractéristique p+r-q=((m+n)+mn/2-mn)+(ds+df-da)=ancienne caractéristique*+D avec D=ds+df-da (*: il n'y a pas que les surfaces qui ont une caractéristique, d'ailleurs dans ma présentation plus complète de celle-ci je le fais pour des espaces graphes sans exiger la condition "surface")
ds, da, df ?
Dans la transformation de X en Y, on ajoute a' et a" mais a est déjà présent dans la décomposition de X, donc {sommets de Y}={sommets de X} U {a',a"}, ds=+2.
da : arêtes la transformation se fait au sein de deux faces, les anciennes arêtes ne sont pas retirées. Arêtes de Y=arêtes de X + les 7 nommées précédemment. da=+7
df : on supprime deux faces de X mais on en crée 6 nouvelles. Faces de Y=faces de X + 6 nouvelles -2 anciennes, df=6-2=+4
Attention ce ne sont pas des sommets imposés par le problème, ils ne servent qu'à une seule chose : fusionner deux faces. Il ne faut pas oublier le but recherché : trouver une surface d'une caractéristique orientée contenant n+m sommets les n étant reliés à tous les m sans croisement. Ce but est atteint par un biais distinct des précédents car la caractéristique plus faible permet un peu de liberté.Et l'ajout de sommets me rend perplexe. Je croyais comprendre l'idée comme de passer de (8, 4) à (8, 5), en ajoutant le sommet e. Mais cela semble contradiction à l'ajout de sommets supplémentaires.
Amicalement,
Une autre façon de le voir, peut-être moins désarmante, est que les faces a4b1 a6e7 sont remplacées par un unique disque collé sur a4b1a7e6a (si je ne me suis pas trompé de sens). (On retrouve facilement un lacet du "type aa'a" "). En espérant que cela ne gène pas (mathématiquement ce n'en est pas un) qu'un disque soit collé sur deux lacets collés en un point.
On peut aussi voir le procédé ainsi : prenons un point a sur un tore collé dans un autre endroit au reste d'une surface plus ou moins complexe, une droite d tangente en a à ce tore, et deux plans se coupant selon d et non tangents au tore (un écartement pas trop grand facilite la vision à mon avis). Ces plans coupent selon deux lacets C1 et C2. La situation de départ est C1 et C2 ont chacun un disque collé (a4b1 et a6e7) Di, la partie entre les deux n'existe pas encore. On découpe un petit disque dans chaque Di de frontière b1 et b2. On rejoint b1 et b2 en collant un disque (comme on a la liberté de passer d'un côté ou de l'autre on peut adapter à une orientation donnée, on peut simplifier en supposant que C1 et C2 sont tournés tout de suite dans le bon sens). Maintenant, on déforme sans déchirure C1 et C2 pour qu'il se place "aux tiers et deux tiers" de C1 et C2, et on déforme le reste de la surface entre b1 et b2 de telle manière de retrouver la portion de tore initial. Ce point de vue plus géométrique peut peut-être aider à comprendre la description purement topologique initiale. Si C1 et C2 faisaient chacun partie d'une nappe collée en a, ce point de vue aide à voir que la transformation d'un voisinage à deux nappes de a s'est transformé en cylindre, le point a est devenu régulier.
Amicalement
pour moi
Soit, mais je serais un peu plus perfectionniste, et une solution s=m+n, a=mn et f=mn/2 serait quand même mieux!Il ne faut pas oublier le but recherché : trouver une surface d'une caractéristique orientée contenant n+m sommets les n étant reliés à tous les m sans croisement.
Amicalement,
Transformation d'une surface orientée en surface non orientée, résolution du cas non orienté pour les cas n et m pairs, n impair m pair non multiple de 4.
Autour des sommets de type m (m est pair) on a toujours le même cycle des sommets de type n (que je vais numéroter)
a un des sommets type m :
on a toujours autour de a une séquence (si m>=4)
i-1(c)i(b)i+1(c)i+2(b)i+3, avec b et c deux autres sommets (n>=3) de type m. (Eventuellement i-1=i+3)
Autour de b on a aussi i i+1 i+2 i+3, idem autour de c.
Description topologique de la transformation, on coupe selon ab les deux faces aib(i+1) et a(i+2)b(i+3), et on recolle de telle manière que l'on ait désormais autour de a, à la place de i i+1 i+2 i+3, i i+2 i+1 i+3 le reste du cycle étant inchangé (on constate aisément que l'on a la même chose autour de b).
Description en termes de faces, on remplace les faces aib(i+1) et ai+2bi+3 par aibi+2 et a(i+1)b(i+3), il est encore plus facile de constater le double changement autour de a et de b. La caractéristique est la même.
Un ruban de Moëbius ou presque (c'est très largement inspiré par la méthode de mmy, le "truc" d'inversion des paires) :
aib(i+2) a(i+2)c(i+1) a(i+1)b(i+3) puis on tourne autour de a : a(i+3)?(i+4) jusque a(i-1)ci.
Si on prend comme orientation celle de la lecture des sommets c'est cohérent. Là où on constate l'impossibilité de l'orientabilité est autour de c. L'orientation choisie pour a(i+2)c(i+1) et a(i-1)ci sont incompatibles avec le fait qu'autour de c on ait (i-1)i(i+1)(i+2) et une orientation compatible avec les deux autres faces.
Les faces aib(i+2) a(i+2)c(i+1) ci?(i+1) aic(i-1) forment un ruban de Moëbius.
Pour cela il a fallu au moins 4 sommets pour le type m (comme ici m est pair cela ne supprime que le cas n quelconque m=2) et au moins 3 sommets pour le type n (cela ne supprime que le cas n=2 )
Seul le cas n ou m=2 ne se transforme pas par ce procédé et heureusement
Amicalement
C'est fait pour le cas non orienté, en orienté c'est impossible pour n impair m multiple de 4, cela donnerait une caractéristique impaire à une surface orientée, or pour celles-ci c'est nécessairement pair.
Amicalement
Je reposte une partie du post #67 (après une correction déjà signalée confusion entre 2)a) et 2)b) et un élément qui n'était plus d'actualité)
Je pense que 1) et 2) sont totalement résolus.
Amicalement
J'ai manqué une étape, je croyais avoir compris que (4m', 2n'+1) nono demandait deux sommets de plus?
Amicalement,
Désolé de revenir sur ce message, mais il y a là une petite contradiction, il me semble.
Est-ce que cela vaut le coup que je comprenne la méthode avec a' et a"? Si oui, quel problème règle-t-elle? Je m'y perd...
Amicalement,
Un petit récapitulatif peut ne pas faire de mal.
Rappel du problème général posé :
à quelles conditions pour une surface donnée (on a vu que l'on pouvait se limiter au cas sans bord) est-il possible de relier m sommets à n autres sommets sans intersection.
On a vu qu'une contrainte nécessaire est que : c(S)<=2-(m-2)(n-2)/2. Ca, c'est fait.
Maintenant on est en train de chercher si satisfaire cette contrainte est suffisante.
Or, à partir d'une surface orientée on peut sans perturber d'éventuels liens entre les sommets construire une surface orientée de plus petite caractéristique (ce résultat là on l'a admis
Il en est de même pour les surfaces non orientées (c'est même mieux on peut partir de n'importe quelle surface orientée ou non de caractéristique supérieure).
Il suffit donc de construire pour le cas orienté et pour le cas non orienté, une surface de caractéristique la plus élevèe satsifaisant la condition nécessaire. Cette caractéristque peut être distincte car une surface orientée est nécessairement paire contrairement à une surface non orientée. L'idée est de le construire pour l'essentiel avec des carrés dont les sommets sont ceux donnés par le problème.
Un cas s'est révélé simple à générer (ce qui est compréhensible avec des carrés dont deux sommets opposés sont d'un même type) est le cas m et n pairs. La surface ainsi engendrée est orientée.
Par une petite modification (le i+3 au lieu de i+1) cette méthode a permis de définir un espace orienté pour m pair et n impair. Pour m pair non multiple de 4 c'est une surface orientée.
La contrainte nécessaire donne dans le cas m multiple de 4 n impair donne une caractéristique impaire c (contrairement aux deux cas précédents). Montrer, dans ce cas, que satisfaire cette contrainte est suffisante pour une surface orientée revient à trouver une surface orientée avec une caractéristique c-1 (car la caractéristique est alors paire).
La technique précédente ne pouvait donner tout de suite une surface orientée car la caractéristique de l'espace ainsi créé est impaire. Mais finalement on n'en est pas très loin, ce que l'on obtient en fait (cf la description géométrique de la "réparation") est finalement un p-tore dont on a pincé un cercle (caractéristique 0 pour le cercle, caractéristique 1 pour le sommet, ce pincement augmente la caractéristique d'une unité). La réparation consiste finalement à éliminer ce pincement en créant de chaque côté du point singulier un petit disque dont on colle les bords (c'est le lacet aa'a"a).
Pour le cas non orientée (là pour ces 3 cas la surface à créer doit avoir une caractéristqiue rigoureusement égale à la contrainte). (Et là la technique d'inversion de paires de sommets m'a grandement aidé à trouver une manière d'y arriver à partir de surface ou de "quasi-surface" orientée).
Pour le cas n impair et m multiple de 4, une réparation différente de la précédente a permis d'y arriver (cette réparation admet une description du même type que la réparation précédente mais également une decription uniquement basée sur une redéfinition des faces carrées).
Et, dernièrement, une méthode unique a permis de redéfinir les surfaces orientées des deux 1ers cas, m et n pairs, pour la transformer en surface non orientée de même caractéristique.
Actuellement, je reprends la même technique, petite adaptation du cas n et m pairs pour l'essentiel des faces ce qui a l'immense mérite de ramener les derniers problèmes de collage (ou de définition des faces pour moi c'est presque la même chose) sur 2 ou 3 sommets et quelques faces (bref traitement local sur un "truc" que j'arrive à voir)
J'espère que ce qui précède aidera à t'y retrouver après ces nombreux posts. Sinon, le coup des "a' et a" " a été redécrit dans un post plus récent, en plus géométrique pour un point de vue, et plus en terme de redéfinition des faces pour un autre (ils sont peut-être plus facile d'accès). Si tu comprends une des deux c'est suffisant (et ça devrait aider à comprendre les autres si tu désires les reprendre plus tard). Par contre, je n'ai pas d'autres solutions pour le cas "surface orientée avec un réseau pour m+n sommets m multiple de 4 et n impair".
Amicalement
Bonsoir,
Au passage, voilà comment j'ai compris la méthode (4m'+2, 2n') --> (4m'+2, 2n'+1) proposée par homotopie, en prenant un exemple (la généralisation n'est pas bien compliquée). Ca fait peut-être redite, mais ça m'a aidé pour comprendre...
On cherche à obtenir (6, 5) en partant de la solution générique (6, 4)
(Je rappelle ici la construction paire/paire orientée générique, avec une présentation un peu différente.)
Les cycles sont:
1, 3, 5: abcd
2, 4, 6: abcd
A, C: 123456
B, D: 123456
Ca ne définit pas les faces. En effet, conséquence des cycles, une face contient deux sommets lettre contigus, et deux sommets chiffres contigus. Cela donne mn cas, il n'en faut que la moitié.
La description des faces est, il me semble, erronées dans divers messages de homotopie (problèmes avec des -1 et +1). J'utilise la règle suivante:
- on ne garde que la moitié des cas en mettant "pair=impair+1 avec pair=impair+1" et "pair=impair-1 avec pair=impair-1" (ou encore (A_pair-A_impair)(B_pair-B_impair)=1, en notant A et B les deux types de sommets)
Cela donne
1: a2b6c2d6 (1ab2, 1bc6, 1cd2, 1da6)
3: a4b2c4d2 (3ab4, 3bc2, 3cd4, 3da2)
5: a6b4c6d4 (5ab6, 5bc4, 5cd6, 5da4)
2: a1b3c1d3 (1ab2, 3bc2, 1cd2, 3da2)
4: a3b5c3d5 (4ab3, 4bc5, 4cd3, 4da5)
6: a5b1c5d1 (6ab5, 6bc1, 6cd5, 6da1)
Rajoutons un sommet e, avec un cycle abcde partout. Le résultat est le dédoublement de certaines faces:
Prenons le cas de la face 1
1: a2b6c2d(6eX), remplacement de la face 1ad6 -> 1ed6, 1aeX
ou
1: a2b6c2d(Xe6), remplacement de la face 1ad6 -> 1ae6, 1edX
X vaut nécessairement 4, sinon il y a choc avec 2 ou 6. On va prendre le premier choix (X accolé à a), ça doit être neutre par symétrie.
1: a2b6c2d6e4, remplacement de la face 1ad6 -> 1ed6, 1ae4
3: a4b2c4d2e6, remplacement de la face 3ad2 -> 3ed2, 3ae6
5: a6b4c6d4e2, remplacement de la face 5ad4 -> 5ed4, 5ae2
Idem pour les faces paires
2: a1b3c1d3e5, remplacement de la face 2ad3 -> 2ed3, 2ae5
4: a3b5c3d5e1, remplacement de la face 4ad5 -> 4ed5, 4ae1
6: a5b1b5d1e3, remplacement de la face 6ad1 -> 6ed1, 6ae3
On vérifie bien que la liste des faces détruites et créées est cohérente.
Les cycles de b, c et d sont inchangés.
Les cycles de a et e sont
a: 1b2e5b6e3b4e, 214365, paires inversées
e: 1d6a3d2a5d4a, 163254, paires inversées, l'autre cas
La généralisation est simple.
Cordialement,
Non orientée plutôt?
Amicalement,
Non, (4m',2n'+1) admet une solution uniquement avec pour seuls sommets et arêtes les m+n sommets et mn arêtes imposées par le problème lui-même et des faces carrées. (cf post #89)
La solution orientée (avec caractéristique = (2-(m-2)(n-2)/2) - 1 cause parité) a nécessité deux sommets + quelques arêtes et faces de plus dans une première version (je l'ia réécrite depuis).
Amicalement
EDIT : les posts se croisent (pas facile à suivre)
J'ai une et une seule solution (il doit y en avoir d'autres) pour le cas orienté (+/- le lacet aa'a"a) et une et une seule pour le cas non orientée (post #89).
Amicalement
EDIT : bon je lis le post #100
OK, je suis un peu bouché, mais j'y arrive.
Tu cherchais une solution (4m', 2n'+1) sur la surface orientée maximale en caractéristique. Ca ajoute aussi les cas (2m'+1, 2n'+1) nono sur la surface orientée maximale en caractéristique, alors.
L'application c'est le graphe (4, 3) sur le tore (même si ça se dérive du (4, 4) facilement, serait intéressant d'avoir l'exemple avec la méthode partant du (4,2)).
Amicalement,
En effet, le post #100 montre que tu as bien compris la définition de (4m'+2,2n'+1) (qui est aussi celle de (4m',2n'+1) avant transformation).
J'espère que tu as compris pourquoi c'est orienté.
Le passage orienté -> non orienté pour les cas (2m', 2n') et (4m'+2, 2n'+1) ne me semble pas très difficile.
Restent les deux transformations* du double disque du cas (4m', 2n'+1). (* une pour le cas orienté une pour le cas nono)
Amicalement
Bonjour,
Cas m et n impairs,
type n : 2n'+1 sommets ; type m : 2m'+1 sommets (ceux de type m sont notés entre parenthèses pour les faces)
n et m>=5 (le cas n ou m=3 est en fait déjà entièrement résolu des faits que 3-2=1 et qui peut le plus peut le moins)
Les 1ères faces sont définies "autour des" sommets i de type n avec i impair entre 1 et 2n'-1 (2n'+1 va compenser partiellement le sommet pair en moins par rapport aux impairs)
Ces faces sont toutes de la forme iJf(i)"J+1" avec "J+1" le successeur dans le m-cycle (123...m), et f(i)=
a) i+1 si J impair distinct de m=2m'+1 (les valeurs prises par i+1 sont tous les pairs ; la valeur 2n'+1 n'est jamais prise)
b) i-1 si J pair et i distinct de 1, 2n'+1 si i=1 et J pair (les valeurs prises par "i-1" sont 2n'+1 et les pairs entre 2 et 2n'-2 ; la valeur 2n' n'est pas prise)
c) i+3 si J=m=2m'+1 et i distinct de 2n'-1, 2n'+1 si J=m et i=2n'-1 (les valeurs prises par "i+3" sont les pairs entre 4 et 2n', et, 2n'+1 ; la valeur 2 n'est pas prise)
Autour des sommets impairs distincts de 2n'+1 on a un disque, même cycle : (1...m)
Autour des sommets pairs distincts de 2 et de 2n' (éventuellement il n'y en a pas, n=5) cycle (m...1)
Autres sommets de type n :
Autour de 2 on a pour l'instant : m m-1...2 1 manque 1 vers m
autour de 2n'=n-1 on a pour l'instant des "morceaux" : 2.1.(2m'+1) ; (2m').(2m'-1) ;...; (j pair).(j-1) ;...; (21)
autour de n=2n'+1 on a pour l'instant des "morceaux" : 1.(2m'+1=m).(2m') ; (2m'-1).(2m'-2) ; ...; (j impair).(j-1) ;...; (32)
Autour des sommets de type n :
Autour de (j) distinct de 1 et m, on a 1 2…m-1 m (ou sens opposé selon la parité) ; il manque 2n’ 2n’+1 (sens pour préserver l’orientation opposé selon parité)
Autour de (1) 214…i pair i-1 i+2… 2n’ 2n’-1 2n’+1 2 ; il manque 2n’+1
Autour de (m=2m’+1) ça se complique et la congruence modulo 4 de n’ entre en jeu, on a :
i i-3 i-4 pour i pair entre 6 et 2n’ ; 4 1 2n’+1 ; 2n’+1 2n’-1 2n’-2
n=5 : 415 + 532 = 41532 ; il ne manque que 24
n=7 : 632 + 417 + 754 + 26 : déjà un cycle(1754), il manque 26 pour que ce sommet ne soit pas trop irrégulier
n=9 : 632 + 854 + 419 + 976=854197632 : il ne manque que 28
n=11 : 632 + 854 + 10.76 + 41.11 + 11.98 : déjà un cycle (41.11.9854) et un début 10.7632 ; il manque 2.10 pour que ce sommet ne soit pas trop irrégulier
bref si 2 va vers 2n’ autour de 2m’+1, on aura un disque si n est congru à 1 modulo 4 (et on a bien une surface) et deux disques collés en le sommet m si n est congru à 3 modulo 4 (même pas peur : deux disques collés en un point on sait réparer maintenant).
Les quadrilatères suivants seront de la forme 2n'(j)2n'+1(j') (2n’+1 va rejouer un rôle d’impair, en général j’=j+3)
Pour l'instant les faces ont été définies en gardant une même orientation, la conserver va se révéler un peu délicat.
m=5, m=7, m=9, m=11 permettent de comprendre le cas général :
m=5
2n' : (215) ; (43)
2n'+1 : (154) ; (32)
On ne peut pas coller le 1 et le 5 sans créer une singularité du fait que 2n’(1) et 2n’+1(5) sont déjà bordés 2 fois. Restent 2, 3 et 4 créer une face (2n')j(2n'+1)j' avec j,j'=3,4 ou 3,2 crée aussi une singularité car cela « casserait » le cycle de 2n’ ou de 2n’+1. On peut coller 2 et 4 mais on ne préserve plus l'orientation.
Cas orienté : pas de création de faces, on finit avec un décagone avec ce qui manque 2(5)2n'(4)2n'+1(3)2n'(2)2n'+1( 1)2
Non orienté : on ajoute la face 2n'(2)2n'+1(4 )
autour de 2n' : 34215
autour de (2n'+1) : 15423
on finit avec un hexagone ce qui manque 2(1)2n'+1(3)2n'(5)2
m=7
2n' : (217) ; (65) ; (43)
2n'+1 : (176) ; (54) ; (32)
on peut créer les faces 2n'(3)2n'+1(6) et 2n’(5)2n’+1(2) en préservant l'orientabilité.
on a
2n' : 4365217
2n'+1 : 1763254
on finit avec un hexagone avec ce qui manque (type m entre parenthèses) 2(7)2n'(4)2n’+1(1)2
m=9
2n’ : 219 ; 87 ; 65 ; 43
2n’+1 : 198 ; 76 ; 54 ; 32
les faces 2n’(3)2n’+1(6) , 2n’(5)2n’+1(8) préservent l’orientation
2n’ : 219 ; 436587
2n’+1 : 19854 ; 7632
le décagone 2(9)2n’(4)2n’+1(7)2n’(2)2n’+1( 1)2 préserve l’orientation et finit de rendre les points réguliers (ou quasi régulier, sommet m)
le quadrilatère 2n’(2)2n’+1(4) + l’hexagone 2(9)2n’(7)2n’+1(1)2 rend les points réguliers (ou quasi régulier, sommet m)
m=11
2n’ : 21.11 ; 10.9 ; 87 ; 65 ; 43
2n’+1 : 1.11.10 ; 98 ; 76 ; 54 ; 32
les faces 2n’(3)2n’+1(6) , 2n’(5)2n’+1(8) , 2n’(7)2n’+1(10) et 2n’(9)2n’+1(2) préservent l’orientation
2n’ : 436587.10.921.11
2n’+1 : 1.11.10.76329854
l’hexagone 2(11)2n’(4)2n’+1(1)2 préserve l’orientation et finit de rendre les points réguliers (ou quasi régulier)
m=4m’’+3 on a une solution orientée avec des quadrilatères et un hexagone (un point n’est éventuellement que quasi-régulier). L’hexagone fait descendre la « contrainte » de 0,5.
m=4m’’+1 on a une solution non orientée avec des quadrilatères et un hexagone (un point n’est éventuellement que quasi-régulier)
on a une solution orientée avec des quadrilatères et un décagone (un point n’est éventuellement que quasi-régulier). Le décagone abaisse la « contrainte » de 1,5.
n=4n’+1, tous les points sont réguliers
n=4n’+3, un point a un voisinage en forme de deux disques collés en un point, les autres sont réguliers. (On a vu, cf cas 4m’,2n’+1, que ce genre de points peut être régularisé en conservant la caractéristique mais sans conserver l’orientation*, ou en conservant une éventuelle orientation mais en abaissant la caractéristique de 1). * : du moins si deux quadrilatères de chaque disque ont un même sommet opposé, on le vérifie aisément (les points ne changent pas souvent de points opposés sur les quadrilatères)
On peut donc finir n et m impairs>5
Cas orienté :
n et m congrus à 1 modulo 4 : pas de réparation de points singuliers mais un décagone =>caractéristique=contrainte-1,5=max possible OK
n et m congrus à 3 modulo 4 : seulement un hexagone (hors quadrilatères) mais une réparation=>caractéristique=co ntrainte-1,5=max possible OK
n et m non congrus modulo 4 : en faisant le bon choix seulement un hexagone et pas de réparation=> caractéristique=contrainte-0,5=max possible OK
Cas non orienté :
On peut construire avec seulement un hexagone et réparer sans abaisser la caractéristique si nécessaire. Dans le cas n et m non congrus modulo 4, soit les prendre dans le mauvais sens, soit faire la transformation orienté->nono vu pour les cas produit n.m multiple de 4.
Conclusion :
on a bien il est possible de relier m sommets à n autres sans croisement sur une surface S (à b bords) si et seulement si c(S)+b<=2-(m-2)(n-2)/2.
Ca mériterait presque de faire un post bien propre avec tout ça.
Cordialement
C'est quand la publication du théorème homotopie/mmy ??
Quelque chose me dit que le résultat était déjà connu.C'est quand la publication du théorème homotopie/mmy ??
Pas mécontent nénamoins d'avoir réussi avec mmy à le montrer. A chacun sa notion de "science ludique"
Bonjour,
Pour la transformation orienté -> non orienté, la description que tu donnes me semble être identique avec ce que j'avais fait dans une figure tôt dans ce fil, couper le long d'un lacet à deux éléments et inverser. Sur une figure en pavage (sans croisement mais avec répétition des sommets, on voit très bien ce qu'il se passe.
On peut voir ce qu'il se passe sur les "étoiles" (faites le dession), les cycles avec intermédiaires.
Dans le cas pair/pair et dérivé, cela fait un tableau très simple, par exemple, pour un (4, 2m)
1 : a 4 b 2 c 4 d 2 e ...
2 : a 3 b 1 c 3 d 1 e ...
3 : a 2 b 4 c 2 d 4 e ...
4 : a 1 b 3 c 1 d 3 e ...
Les colonnes sont simples à lire! Pour passer en nono, on va prendre un lacet alternant deux lettres contigues, c et d par exemple. On fait passer la ligne 4 en tête pour la suite
4 : a 1 b 3 c1d 3 e ...
1 : a 4 b 2 c4d 2 e ...
2 : a 3 b 1 c3d 1 e ...
3 : a 2 b 4 c2d 4 e ...
Et on va simplement "tourner le rectangle" des c-d autour du point central
4 : a 1 b 3 d2c 3 e ...
1 : a 4 b 2 d3c 2 e ...
2 : a 3 b 1 d4c 1 e ...
3 : a 2 b 4 d1c 4 e ...
On voit que seules certaines faces impliquant c et d on été modifiées. C'est important, puisque cela veut dire que toute opération modifiant le reste restera possible, en particulier l'ajout d'un nouveau point!
Dans les cycles de lettres, la seule modification est la permutation d'une paire.
Je compte faire des petits dessins...
Cordialement,
PS1: J'ai de plus en plus de retard pour digérer les constructions, et la dernière livraison est arrivée vite fait!
PS2: Théorème homotopie, je n'ai servi que de candide et d'illustrateur...
Bonjour,
Il n'y a pas moins de 9 faces changées.Le but affiché est néanmoins atteint 1b2d/2c4d/4b3d/4a1b forment un ruban de Moëbius (ça se recolle le long de 1b dans le même sens 1 vers b) or dans la config initiale une orientation commune pour les faces définies est possible.
La découpe pour moi ne se fait pas seulement le long d'un lacet 3c4d ou 1c2d, comme annoncé, mais les faces 1c4d et 3c2d sont entièrement coupées le long de leurs arêtes.
pour moi, dire "on découpe le long de 3c4d et on permutte c et d" revient à dire que 3 et 4 restent en place (ce qui fait une symétrie et non une rotation, d'ailleurs l'opération consisterait en seulement une rotation d'un lacet découpé puis recollé est neutre par rapport à l'orientation, il suffit de prendre un tore pour s'en convaincre, dans ton exemple cela fonctionne car c'est plus complexe que cette seule opération)
c4-4d est recollé sur d4-4c ; d3-3c est recollé sur c3-3d. (Ceci ne définit pas entièrement la transformation : on dédouble en découpant le long de ces arêtes celui qui est dit être recollé est le modifié l'autre reste inchangé)
Faces concernées sont celles ayant c4, 4d, 3c ou 3d dans son bord :
1c4d et 2c3d ont deux de ces arêtes sur leur bord, 1c, 1d, 2c et 2d sont inchangées, ces faces doivent rester inchangées et on sait quelles copies de 3c, 3d, 4c et 4d sont celles sur qui on recolle : les arêtes de 1c4d et 2c3d, faces qui restent donc invariantes dans la transformation)
Les autres faces concernées sont 3b4c qui devient 3b4d et 3d4e qui devient 3c4e (2 arêtes changées pour chacun)
4+4=8=4x2, on a vu toutes les faces concernées.
Bilan : deux faces modifiées.
On a alors
1 : a(4)b(2)c(4)d(2)e...
2 : a(3)b(1)c(3)d(1)e...
3 : a(2)b(4)d(2)c(4)e...
4 : a(1)b(3)d(1)c(4)e...
Autour de a, b et e aucun changement=> cycle inchangé
autour de c et d, les changements ne perturbent en rien, en effet, pour tous les points autour de 1 on a 214, la permuation c<->d ne perturbe donc pas leur cycle.
Ruban de Moëbius (prouvant que l'on a bien rendu impossible toute orientation d'ensemble de la surface) :
1b2c/2d3c/3d4b/1b4a
Ca fait un peu moins "tremblement de terre", non ?
La transformation que j'ai définie précédemment ressemble à la dernière mais en diffère sur au moins deux points.
Le lacet utilsé n'est pas le long des arêtes mais se fait sur les faces (ce qui nécessite un peu moins d'hypothèses, il me semble que les hypothèses pour les deux sont satisfaites pour les deux dans les cas d'utilisation ceci dit). On coupe en 2 les faces 1c4d et 2c3d en allant de c à d (on a donc un lacet). Autour des autres sommets que c et d il n'y arien de changé. Autour de c et d il y a permutation 1-4 et 2-3 deviennent 1-2 et 3-4. Pourquoi ça marche (existence du ruban de Moëbius) ? On peut définir un côté et un autre localement :
autour de c (en tournant dans le sens d'orientation de la surface qui est sensé être orientée) on aura par exemple : 1-> 4->...->2->3->...->1
ce qui implique qu'autour de d :
4->1->...->3->2->...->1
Ce qui est en bleu est du même côté ce qui est en rouge, les deux faces 1c4d et 2c3d forment une frontière infranchissable entre les deux à cet endroit. Mais ceci n'a un sens que localement, sauf pour une sphère, et un point reliant le côté bleu au côté rouge (un autre sommet relié à 2 et 3 suffit càd l'existence d'un 3ème sommet dans notre problème)
En découpant et en recollant selon la mauvaise orientation on détruit l'orientation de la surface car la connexité entre les deux côtés par une autre voie interdit de changer l'orientation du côté bleu ou du côté rouge (sur une sphère c'est possible)
La définition (et sa haute teneur en cyclicité) des faces permet de trouver un ruban de Moëbius très court mais son existence en était certaine.
Amicalement
Annulé par l'auteur
bonjour ,je connais le pb
c'est impossible
jacques
lol, tu n'a pas lu très loin dans le sujet
Re : Enigme des 3 maisons
La solution existe, elle n'est pas mathématique mais seulement pratique.
http://www.pedagonet.com/other/rep160a.htm
j ai la soluce fo pa chercher ce n est qu 'un plan de raccordemen en energie dc il suffit de plier la feuille de papier de manire a avoir un plan 3D et voila comme sa on sort pa du plan et on ne croise rien
codialement
hellios.
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Dernière modification par JPL ; 07/10/2007 à 14h56.
beaucoup de formules, d'application de théorème , mais bon qui a trouvé une solution, si solution existe??
merci à tous
