Enigme arithmétique

[invité576543]

Bonjour,

Tentative d'énigme originale (conception artisanale familiale).


Un mathématicien rend visite à un des ses amis biologistes, et voit sur la table un papier avec des calculs, et un nombre à la fin.

- Que représente ce nombre?, lui demande-t-il
- C'est le nombre de souris qui sont nées la semaine dernière au labo. Des portées de 5 et de 7, d'ailleurs.

- Ce n'est pas possible!, le mathématicien rétorque immédiatement.,
- Euh! Ah, oui, j'ai fait un lapsus, les portées étaient de 6 et 7 souriceaux.
- Non, ce n'est toujours pas possible!
- Quoi? Attends... Tu as raison, je me suis trompé dans la somme, c'est deux de plus.
- Là, c'est possible.

Quel est le nombre écrit sur la feuille?

Cordialement,
-----

[Médiat]

Bonjour,

Tentative d'énigme originale (conception artisanale familiale).


Un mathématicien rend visite à un des ses amis biologistes, et voit sur la table un papier avec des calculs, et un nombre à la fin.

- Que représente ce nombre?, lui demande-t-il
- C'est le nombre de souris qui sont nées la semaine dernière au labo. Des portées de 5 et de 7, d'ailleurs.

- Ce n'est pas possible!, le mathématicien rétorque immédiatement.,
- Euh! Ah, oui, j'ai fait un lapsus, les portées étaient de 6 et 7 souriceaux.
- Non, ce n'est toujours pas possible!
- Quoi? Attends... Tu as raison, je me suis trompé dans la somme, c'est deux de plus.
- Là, c'est possible.

Quel est le nombre écrit sur la feuille?

Cordialement,

Réponse la plus petite = 4 (le biologiste ne sait pas faire la somme 6+0).

[invité576543]

Réponse la plus petite = 4 (le biologiste ne sait pas faire la somme 6+0).

Non. C'est un biologiste, il ne va pas dire "toutes les portées sont de taille 5" quand le nombre de portée est nul, comme le ferait un mathématicien ayant troqué l'usage commun de la langue au profit de la rigueur.

Cordialement,

[Médiat]

Non. C'est un biologiste, il ne va pas dire "toutes les portées sont de taille 5" quand le nombre de portée est nul, comme le ferait un mathématicien ayant troqué l'usage commun de la langue au profit de la rigueur.

Cordialement,

Bizarre, j'ai déjà lu un certain mmy qui aurait qualifié une telle énigme de "mal posée".

Sinon les autres solutions sont, bien sur, 11, 16 et 23.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Bizarre, j'ai déjà lu un certain mmy qui aurait qualifié une telle énigme de "mal posée".

Ben non, elle est bien posée selon mes critères, le problème que tu soulèves avait été repéré rapidement (et a d'ailleurs amené des modifications des données). C'est pour cela qu'il y a écrit "des portées de 5 et de 7" et non pas, par exemple "des portées de 5 ou de 7".

Mais je comprends que ce soit dur d'abandonner le langage formel pour revenir à du français de base.

Cordialement,

[invité576543]

Sinon les autres solutions sont, bien sur, 11, 16 et 23.

"Bien sûr" ???

Peut-être selon une interprétation que je ne connais pas de l'énoncé. Mais pas dans ce que le consortium familial considère.

Cordialement,

[invité576543]

Par ailleurs l'énigme n'est pas vraiment ciblée vers les professeurs de mathématiques. L'utilisation de la balise spoil est la bienvenue, pour que les jeunes têtes blondes puissent s'amuser aussi un peu.

 Cliquez pour afficher

Pour les profs de maths, une question serait de trouver une expression générale en fonction de n et m pour le plus grand entier positif qui ne peut pas s'écrire an+bm, avec a et b positifs ou nul. Nous n'avons pas encore trouvé, snif...

[SunnySky]

Je croirais que la réponse est unique, et que c'est...

 Cliquez pour afficher

11, ce qui n'est pas flatteur pour le biologiste...

[invité576543]

Après nouvelle analyse, il y a trop de solutions. Plus que ce que nous imaginions.

Nous pensions qu'il n'y avait qu'une solution, 23, mais il y en a bien d'autres (mais pas 16 par exemple). 11 est un peu bizarre, mais effectivement est acceptable.

Tout bien sassé, ça donne au minimum 11, 18, 23 et 30...


Dur de faire des énigmes. Nous allons revoir tout cela pour chercher un énoncé restreignant à une seule solution.

Cordialement,

[Médiat]

Par ailleurs l'énigme n'est pas vraiment ciblée vers les professeurs de mathématiques. L'utilisation de la balise spoil est la bienvenue, pour que les jeunes têtes blondes puissent s'amuser aussi un peu.

 Cliquez pour afficher

Pour les profs de maths, une question serait de trouver une expression générale en fonction de n et m pour le plus grand entier positif qui ne peut pas s'écrire an+bm, avec a et b positifs ou nul. Nous n'avons pas encore trouvé, snif...

Puisqu'il semble y avoir concours de mauvaise foi et recherche de polémique, je ferais d'abord remarqué qu'il n'y a aucune raison d'exclure les solutions où l'un des nombres de portées est nul, ou alors il faut aussi exclure les solutions où l'un des nombres de portées est égal à 1, sinon le biologiste aurait dit, par exemple " 1 portée de 5 et des portées de 7".
Un autre argument encore plus fort est que l'énoncé précise que le deuxième personnage est un mathématicien or, comme il n'est absolument pas utile d'être mathématicien pour constater que 11 ne peut s'écrire comme une somme de 5 et de 7, ni comme une somme de 6 et de 7, mais que 13 = 6 + 7, et comme il faut bien que l'hypothèse "mathématicien" serve quelque part, par exemple dans sa compréhension formelle de la question, c'est cette compréhension qui est induite par l'énoncé.

Ceci étant dit, pour la recherche, n et m étant donnés, du plus grand nombre qui ne peut pas s'écrire an+bm avec a et b premiers :

 Cliquez pour afficher

si m et n ne sont pas premiers entre eux : pas de solution (trivial)
si m et n sont premiers entre eux (désolé, mais je n'ai pas le temps de rédiger proprement):
1) si x >= mn - n alors il existe a et b tels que x = an + bm, en effet
et on peut écrire
2) si x = mn - n - m, il n'existe pas de a et b tels que x = am + bn, dans le cas contraire on aurait :
mn - n - m = an + bm
mn =(a+1)n + (b+1)m
donc
donc



donc soit k soit k' = 0 ce qui est impossible car on aurait a ou b négatif.
3) si x = mn - n - m + k avec 0 < k < m
soit c tel que , il existe d tel que donc


(il faudrait montrer proprement que , mais c'est sans problème)

Le plus grand nombre que l'on ne peut pas écrire sous la forme an + bm est donc (mn - n - m)

[invité576543]

si m et n ne sont pas premiers entre eux : pas de solution (trivial)
si m et n sont premiers entre eux (désolé, mais je n'ai pas le temps de rédiger proprement):
1) si x >= mn - n alors il existe a et b tels que x = an + bm, en effet
et on peut écrire
2) si x = mn - n - m, il n'existe pas de a et b tels que x = am + bn, dans le cas contraire on aurait :
mn - n - m = an + bm
mn =(a+1)n + (b+1)m
donc
donc



donc soit k soit k' = 0 ce qui est impossible car on aurait a ou b négatif.
3) si x = mn - n - m + k avec 0 < k < m
soit c tel que , il existe d tel que donc


(il faudrait montrer proprement que , mais c'est sans problème)

Le plus grand nombre que l'on ne peut pas écrire sous la forme an + bm est donc (mn - n - m)

Grand merci pour cette partie du message,

Cordialement,

[JPL]

Puisqu'il semble y avoir concours de mauvaise foi et recherche de polémique

Cool ! On est dans le forum Science ludique

[SunnySky]

...Tout bien sassé, ça donne au minimum 11, 18, 23 et 30...

Personnellement, je n'aime pas 18 car le mathématicien n'aurait pas dit que c'est impossible la deuxième fois (3 portées de 6). Ni 23 (3 portées de 6 et une de 5), ni 30 (5 portées de 6, 6 portées de 5).

Donc, à mon avis, le fait que le mathématicien indique que c'est impossible 2 fois fait en sorte que la solution est unique.

Et je dois dire qu'effectivement, produire une énigme originale, ça mérite au moins un peu de respect, si ce n'est de l'admiration!

[invité576543]

Personnellement, je n'aime pas 18 car le mathématicien n'aurait pas dit que c'est impossible la deuxième fois (3 portées de 6).

C'est là le problème d'interprétation soulevé sans grande explication par Médiat. L'idée était que dire "des portées de 5 et de 7" se traduit formellement par "au moins une portée de 5 et au moins une portée de 7".

Personnellement, je ne vois pas d'autre interprétation possible. Mais comme tu ne le vois pas comme cela, je cherche à comprendre, pour pouvoir améliorer l'énoncé.

Ni 23 (3 portées de 6 et une de 5)

Dans le deuxième cas, c'est 6 et 7, pas 6 et 5.

Et je dois dire qu'effectivement, produire une énigme originale, ça mérite au moins un peu de respect, si ce n'est de l'admiration!

Merci. Pour le moment le résultat n'est pas terrible, mais je pense qu'il y a une base pour faire quelque chose...

Cordialement,