Enigme arithmétique (suite)

[Médiat]

J'ai baptisé ce fil "Enigme arithmétique (suite)" car il est fortement inspiré du fil (et donc des idées) de Michel (mmy) : http://forums.futura-sciences.com/sc...thmetique.html.

Un jeu est constitué d'un nombre très grand de boîtes, ces boîtes sont de deux types, les boîtes d'un même type contiennent toutes le même nombre de billes (entre 0 et 1000).

Une manette permet de vider le contenu d'un certain nombre (entre 0 et 11 000) de boîtes de chacun des deux types.

Un joueur constate à haute voix qu'il a pu obtenir tous les nombres entre 0 et 10 000 sauf 437 cas, et tous les nombres entre 10 000 et 11 000 (après il a pris un peu de repos).

Un mathématicien de passage dit "Si tu n'as pas raté de cas, les nombres de boules dans les boîtes de type 1 et 2 sont égaux à mon âge et à celui de ma fille".

A quel âge le mathématicien a-t-il eu sa fille ?

Merci de répondre sous spoiler.

Avec, par avance, toutes mes excuses à ceux qui chercheront si je me suis planté dans l'établissement de cette énigme.
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[Médiat]

J'ai choisi un nombre élevé , 437, pour décourager les tentatives de résoudre cette énigme, "à la main", j'ai l'impression d'avoir trop bien réussi .

Voici une version plus simple :
Le nombre de billes dans chaque type de boîte est supérieur ou égal à 3 (on peut prendre cette règle pour la première énigme), le joueur dit :

-- Il n'y a que 26 nombres que je n'ai pas réussi à composer
-- Si ton calcul est exact les nombres de boules dans les boîtes de type 1 et 2 sont égaux aux âges de mes deux filles.

Quelle est la différence d'âge des deux soeurs ?

Indication : je suis pervers (comme tous les logiciens diraient certains)

[zoonel]

Bonjour,
je ne comprends pas très bien l'énigme
On a un certain nombre de boîtes de type A ou B où chaque boîte de type A possède le même nombre de billes et on peut dire de même pour les boîtes de type B.
0-1000 c'est le nombre de billes possible dans une boîte? (parce que la dernière phrase limite plutôt ce nombre à 0-130 en comptant large ^^)

Une manette permet de vider le contenu d'un certain nombre (entre 0 et 11 000) de boîtes de chacun des deux types

0-11000 c'est sensé représenter quoi? des billes ou des boîtes?
Il a pu obtenir un certain nombre de cas ... de quoi? il a tiré plusieurs fois sur la manette, ça c'est remis a zéro, ...?

La comme je lis l'énigme, on a des boîtes, beaucoup de boîtes et on tire un levier qui en vide au hasard entre 0 et 11k sauf que le gars n'a pas pu obtenir 437 cas compris entre 0 et 10k. Les biles n'interviennent nulle part et l'énigme n'a aucun sens

[Médiat]

On a un certain nombre de boîtes de type A ou B où chaque boîte de type A possède le même nombre de billes et on peut dire de même pour les boîtes de type B.

Oui

0-1000 c'est le nombre de billes possible dans une boîte? (parce que la dernière phrase limite plutôt ce nombre à 0-130 en comptant large ^^)

Nombre de billes dans une boîte de 0 à 1000, c'est la règle du jeu (et j'ai ajouté, dans le message #2, pour simplifier, que l'on peut se restreindre à la fourchette (3 à 1000)). La fourchette 3 à 130 est le cas particulier de cet exemple, en remarquant cela, tu commences à résoudre l'énigme

0-11000 c'est sensé représenter quoi? des billes ou des boîtes?

certain nombre (entre 0 et 11 000) de boîtes

Je ne vois aucune ambiguité.

Il a pu obtenir un certain nombre de cas ... de quoi? il a tiré plusieurs fois sur la manette, ça c'est remis a zéro, ...?

Il compte les billes, avec remise à 0 à chaque fois

La comme je lis l'énigme, on a des boîtes, beaucoup de boîtes et on tire un levier qui en vide au hasard entre 0 et 11k sauf que le gars n'a pas pu obtenir 437 cas compris entre 0 et 10k. Les biles n'interviennent nulle part et l'énigme n'a aucun sens

C'est fort possible et même, sans doute certain, mais la lecture du fil cité dans mon message, et/ou un peu de réflexion aurait, tout éclairci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[lper]

Bonjour Médiat,
je te propose :

 Cliquez pour afficher

j'ai deux solutions en fait :
soit 29 ans (47 -18)
soit 17 ans (39 - 22)

[lper]

ou alors :

 Cliquez pour afficher

103 ans ! (110 -7)

[Médiat]

Salut lper, content de te relire

 Cliquez pour afficher

(110 - 7) 327 cas impossibles
(47 - 18) 391 cas impossibles (là, tu n'es pas loin)
(39 - 22) 399 cas impossibles

[lper]

Salut lper, content de te relire

De même !
Je viens de trouver mon erreur, oubli des négatifs...à 2 ans près en effet pour l'âge de la fille !
Merci pour cette petite énigme que je j'ai laissé résoudre par mon esclave numérique...

[invité576543]

que j'ai laissé résoudre par mon esclave numérique...

On devrait réserver la rubrique aux humains...

Cordialement,

[Médiat]

Je viens de trouver mon erreur, oubli des négatifs...

Arghh... normalement, il n'y a pas de négatifs, mais c'est peut-être lié à ta méthode ...

à 2 ans près en effet pour l'âge de la fille !

[lper]

On devrait réserver la rubrique aux humains...

Y a sans doute une méthode beaucoup plus élégante que la mienne en effet, la fainéantise (de ma profession) j'avoue...

Arghh... normalement, il n'y a pas de négatifs, mais c'est peut-être lié à ta méthode ...

J'ai juste posé un système d'équation du premier degré à 4 inconnues dont l'une peut être négative...

[invité576543]

Y a sans doute une méthode beaucoup plus élégante que la mienne en effet

Clairement Médiat a trouvé et démontré une certaine formule (je ne précise pas, on peut trouver la question en comparant les énigmes et l'ancien fil), et le sujet de l'énigme est, indirectement, de trouver cette formule.

Peux-tu résoudre avec tes moyens de "force brute" l'énigme du message #1? (J'ai l'impression que tu as répondu au message #2, mais j'ai la flemme de vérifier...)

Cordialement,

[lper]

Clairement Médiat a trouvé et démontré une certaine formule (je ne précise pas, on peut trouver la question en comparant les énigmes et l'ancien fil), et le sujet de l'énigme est, indirectement, de trouver cette formule.

Peux-tu résoudre avec tes moyens de "force brute" l'énigme du message #1? (J'ai l'impression que tu as répondu au message #2, mais j'ai la flemme de vérifier...)

Cordialement,

Ma formule est un algorithme, je n'ai pas le courage, le temps et sûrement le potentiel pour trouver cette formule de manière purement mathématique.
Je pense avoir trouvé la solution du message #1 ce qui est déja pour moi un bon amusement de comprendre et de trouver, je laisse place aux matheux pour le reste...

[Médiat]

le sujet de l'énigme est, indirectement, de trouver cette formule.

Oui, et avec deux aspects :
1) trouver la formule empiriquement en expérimentant avec de petites valeurs, ce qui est un aspect où tous les curieux d'énigmes peuvent prendre plaisir
2) démontrer la formule (plus pour le plaisir des matheux purs et durs)

[lper]

Petite rectification, y a pas de négatifs dans ma méthode en effet, désolé d'avoir mis le doute...

[invité576543]

Bonjour,

La démo suivante me semble élégante. Je ne mets que la partie essentielle, volontairement, c'est peu compréhensible pour qui n'a pas posé le problème...

 Cliquez pour afficher

Soit a et b premiers entre eux

Prenons les couples d'entiers (x, y) avec 0 ≤ x ≤ a, et 0 ≤ y ≤ b

L'application (x,y) --> (a-x, b-y) est bijective et son propre inverse sur cet ensemble de couples.

On peut vérifier que (bx+ay) + (b(a-x)+a(b-y)) = 2ab

Donc, soit les deux termes à gauche sont égaux au produit ab, soit exactement l'un d'entre eux est < ab.

bx+ay=ab n'a que deux solutions dans l'ensemble des couples indiqué, par l'hypothèse que a et b premiers entre eux.

Cordialement,

[Médiat]

@Michel (mmy)

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Si j'ai bien compris, tu démontres que l'équation bx+ay=ab (avec a et b premiers entre eux et 0 ≤ x ≤ a, et 0 ≤ y ≤ b) a exactement deux solutions (les 2 solutions sont évidentes et en remarquant que bx doit être congru à 0 modulo a, x ne peut prendre que les valeurs 0 et a, c'est à dire les deux solutions évidentes), mais je ne vois pas quelle conclusion on peut en tirer.

Si tu pouvais m'éclairer ...

Cordialement.

[invité576543]

Je donne la suite

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Il y a (a+1)(b+1) couples dans l'ensemble.

Si on enlève les deux solutions pour ab, il reste ((a+1)(b+1)-2) couples que l'on peut appairer de manière qu'un couple donne un bx+ay strictement inférieur à ab, et l'autre couple donne un résultat strictement supérieur à ab

Il y a donc exactement ((a+1)(b+1)-2)/2 valeurs atteintes strictement inférieures à ab, d'où on déduit le nombre de valeurs non atteintes.

[Médiat]

@Michel (mmy)

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Je suis passé par une autre méthode (mais aussi d'appariement) qui arrive à la même formule, mais sous la forme : (a-1)(b-1)/2

[Médiat]

Attention, la réponse est dans le message ci-dessous.

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Donc, comme l'a écrit Michel (mmy), si a et b sont premiers entre eux, le nombre de combinaisons impossibles est (a-1)(b-1)/2.

Ce résultat devrait permettre de résoudre les deux énigmes proposées.

Question subsidiaire :
Trouver l'erreur dans l'énoncé de l'énigme du message #1 (il ne s'agit ni de faute d'orthographe, ni de l'imprécision levé au message #4)