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Un ensemble fini de points dans le plan



  1. #1
    -Zweig-

    Un ensemble fini de points dans le plan


    ------

    Bonjour,

    On considère un ensemble fini de points dans le plan tel que tout triplet de points (A,B,C) forme un triangle ABC d'aire inférieure ou égale à 1.

    Montrer que tous ces points sont contenus dans un triangle d'aire inférieure ou égale à 4.

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  4. #2
    CoucouHibou

    Re : Un ensemble fini de points dans le plan

    Bonjour,

    c'est de la géométrie à l'ancienne, mais j'aime bien.

    J'espère juste que ce n'est pas une astuce pour que quelqu'un fasse tes exos de maths à ta place .

     Cliquez pour afficher


    Cordialement,

    Hibou

  5. #3
    -Zweig-

    Re : Un ensemble fini de points dans le plan

    Salut,

    Non du tout, ce n'est pas le genre d'exercices qu'on a en classe de toute façon (cet exercice est tiré des olympiades coréennes pour information).

    Je ne sais pas ce qu'est une enveloppe convexe mais je vois "triangle d'aire maximale" (principe de l'extremum), donc ça doit être la même solution que moi, à quelques détails près .

    Perso, je n'ai pas utilisé le centre de gravité.

  6. #4
    -Zweig-

    Re : Un ensemble fini de points dans le plan

    Pourrais-je voir ta solution ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    -Zweig-

    Re : Un ensemble fini de points dans le plan

    Alors ?

  9. #6
    CoucouHibou

    Re : Un ensemble fini de points dans le plan

    Bonjour,

    Oups, oubli, j'étais parti en vacances et ça m'était sorti de la tête...

    Voici la démonstration telle que je l'avais écrite, mais après réflexion, pas besoin de parler de l'enveloppe convexe. De toutes façons, le triangle d'aire maximale est forcément formé par 3 points d'icelle...



    Soit E l'ensemble de points vérifiant la propriété P : tout triplet de l'ensemble E forme un triangle d'aire inférieure ou égale à 1.

    Soit C l'ensemble des points délimitant l'enveloppe convexe de E. Les points de C vérifient P.

    Soit un triplet (X,Y,Z) de points de C tels que l'aire du triangle (X,Y,Z) soit maximale. Soit H le centre de gravité de (X,Y,Z).

    On appelle Q l'hypothèse "(X,Y,Z) est d'aire maximale".

    Appelons (X',Y',Z') le triangle image de (X,Y,Z) par l'homothétie de centre H de facteur -2. X,Y et Z sont les milieux de [Y'Z'],[X',Z'] et [X',Y'] respectivement.

    Montrons que le triangle (X',Y',Z') contient tous les points de C.

    Supposons qu'il existe un point W de C strictement à l'extérieur de (X', Y', Z'). Soit d la distance de W au triangle (X',Y',Z'), d>0. Supposons que le côté [Y'Z'] est le plus proche de W.

    Si on appelle h la valeur de la hauteur de (X,Y,Z) issue de X, alors le triangle (W,Y,Z) a une hauteur h+d>h, donc l'aire de (W,Y,Z) est plus grande que celle de (X,Y,Z), ce qui est contraire à l'hypothèse Q

    Il n'existe donc pas de tel point.

    Donc (X',Y',Z') contient tous les points de C, et donc tous les points de E. L'aire de ce triangle vaut 4 fois celle du triangle (X,Y,Z), elle est donc inférieure à 4, CQFD.

    Voilà, j'espère que cela te va, bonne continuation, cordialement,

    Hibou

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  11. #7
    -Zweig-

    Re : Un ensemble fini de points dans le plan

    Salut,

    J'ai fait exactement la même chose, à part que je n'ai pas parlé du centre de gravité

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