géométrie dans l'espace (ensemble de points)

[invite970550c4]

Bonjour à tous !
Voilà je suis bloqué à la dernière question d'un exercice donc j'aurai aimé que vous me mettiez sur la voie de la réponse !

Voici l'énoncé :

ABC est un triangle équilatéral tel que AB=4.
G est son centre de gravité (point d'intersection des médianes).

-A la première question , on nous demande de prouver que :
MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC² , ce que j'ai réussi à faire !

-Ensuite , il faut trouver l'ensemble des points M tel que :
MA² + MB² + MC² =57 ! Je trouve une sphere de centre G et de rayon "racine de (41/3)"

=>Mais ensuite on nous demande de trouver l'ensemble des points M tels que :
MA² - 4MB² = 0 (sachant que c'est une sphere) ! Et c'est ici ou je coince un peu !
J'ai pensé à un tas de choses mais qui n'aboutissent pas vraiment ( équation paramétrique de cercle , barycentres , produit scalaire ).

Si vous pouviez donc m'éclairer , ce serait très gentil ! Merci !
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[God's Breath]

Mais ensuite on nous demande de trouver l'ensemble des points M tels que :
MA2 - 4MB2 = 0 (sachant que c'est une sphere) ! Et c'est ici ou je coince un peu !

Si est le barycentre de , alors

[Jeanpaul]

Eh bien reproduis l'astuce qui a si bien réussi !
Seulement au lieu de prendre G centre de gravité, prends un autre point U et écris AM = AU + UM et BM = BU + UM (en vecteurs, of course !)
Ecris la différence MA² - 4 MB² et regarde si tu ne pourrais pas choisir le point U pour que les termes en UM disparaissent, comme à la question précédente.

PS Grillé par God's Breath !

[Jeanpaul]

Les élèves de terminale d'autrefois auraient écrit que MA = 2 MB en longueurs et invoqué le théorème qui dit que dans un triangle les bissectrices intérieure et extérieure en M coupent le côté AB en des points E et F tels que EA/EB = MA/MB = FA/FB donc que ABEF sont en division harmonique et que M est sur le cercle de diamètre EF.

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Les élèves de terminale d'autrefois auraient écrit que MA = 2 MB en longueurs et invoqué le théorème qui dit que dans un triangle les bissectrices intérieure et extérieure en M coupent le côté AB en des points E et F tels que EA/EB = MA/MB = FA/FB donc que ABEF sont en division harmonique et que M est sur le cercle de diamètre EF.

Les bonnes vieilles divisions harmoniques et les cercles d'Apollonius :

Si est le barycentre de et celui de , alors
et , donc

et le lieu cherché est la sphère de diamètre

[invite970550c4]

OK merci beaucoup pour votre aide ! Je refais tout ça demain après-midi : si j'ai bien compris , il s'agit de reprendre la méthode de la question d'avant , mais en prenant un autre point que G , de telle sorte que les calculs se simplifient !

PS: Compliments au forum pour les aides intelligentes et l'état d'esprit des membres !

[invite970550c4]

C'est tout bon !
(raisonnement en terme de vecteurs bien sûr)
J'ai donc pris l'expression MA² - 4MB² = 0 et je coupe ensuite par le point U tel que U = barycentre des points (A,1) et (B,-4).
Je trouve ensuite - 3MU² + UA² + UB² = 0 !
Or comme UA - 4 UB = 0 , j'exprime UB et UA en fonction de AB (qui fait 4) et ça aboutit !
Je déduit ensuite MU : l'ensemble est la sphère de centre U et je vais maintenant calculer son rayon !
Merci à tous !

[invite970550c4]

Alors voilà désolé de remettre ça sur le tapis mais je doute un peu de mon résultat !
La sphere que je trouve a pour centre la barycentre des points (A,1);(B,-4) et a pour rayon racine de (80/3) !
En faisant une figure à l'echelle 1 , si je trace le cercle de même centre et même rayon , l'équation est vérifiée avec une erreur de quelques millimètres!
Pourriez vous me dire si c'est juste ?

[Jeanpaul]

Non, ça ne colle pas. Cherche déjà les points M et M' de AB tels que MA = 2 MB (en longueurs)
Tu trouves que MB = 4/3 et M'B = 4, donc le diamètre du cercle est 4 +4/3.

[invite970550c4]

Merci beaucoup mais j'ai trouvé mon erreur !
Je trouve un rayon de 8/3 ! Ca coïncide avec ce que tu me dis jeanpaul !
Voila j'ai fais une figure et avec tous point M du cercle, ca fonctionne !