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géométrie dans l'espace (ensemble de points)



  1. #1
    steph1907

    géométrie dans l'espace (ensemble de points)


    ------

    Bonjour à tous !
    Voilà je suis bloqué à la dernière question d'un exercice donc j'aurai aimé que vous me mettiez sur la voie de la réponse !

    Voici l'énoncé :

    ABC est un triangle équilatéral tel que AB=4.
    G est son centre de gravité (point d'intersection des médianes).

    -A la première question , on nous demande de prouver que :
    MA² + MB² + MC² = 3MG² + GA² + GB² + GC² , ce que j'ai réussi à faire !

    -Ensuite , il faut trouver l'ensemble des points M tel que :
    MA² + MB² + MC² =57 ! Je trouve une sphere de centre G et de rayon "racine de (41/3)"

    =>Mais ensuite on nous demande de trouver l'ensemble des points M tels que :
    MA² - 4MB² = 0 (sachant que c'est une sphere) ! Et c'est ici ou je coince un peu !
    J'ai pensé à un tas de choses mais qui n'aboutissent pas vraiment ( équation paramétrique de cercle , barycentres , produit scalaire ).

    Si vous pouviez donc m'éclairer , ce serait très gentil ! Merci !

    -----

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  3. #2
    God's Breath

    Re : géométrie dans l'espace (ensemble de points)

    Citation Envoyé par steph1907 Voir le message
    Mais ensuite on nous demande de trouver l'ensemble des points M tels que :
    MA2 - 4MB2 = 0 (sachant que c'est une sphere) ! Et c'est ici ou je coince un peu !
    Si est le barycentre de , alors

  4. #3
    Jeanpaul

    Re : géométrie dans l'espace (ensemble de points)

    Eh bien reproduis l'astuce qui a si bien réussi !
    Seulement au lieu de prendre G centre de gravité, prends un autre point U et écris AM = AU + UM et BM = BU + UM (en vecteurs, of course !)
    Ecris la différence MA² - 4 MB² et regarde si tu ne pourrais pas choisir le point U pour que les termes en UM disparaissent, comme à la question précédente.

    PS Grillé par God's Breath !

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : géométrie dans l'espace (ensemble de points)

    Les élèves de terminale d'autrefois auraient écrit que MA = 2 MB en longueurs et invoqué le théorème qui dit que dans un triangle les bissectrices intérieure et extérieure en M coupent le côté AB en des points E et F tels que EA/EB = MA/MB = FA/FB donc que ABEF sont en division harmonique et que M est sur le cercle de diamètre EF.

  6. #5
    God's Breath

    Re : géométrie dans l'espace (ensemble de points)

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Les élèves de terminale d'autrefois auraient écrit que MA = 2 MB en longueurs et invoqué le théorème qui dit que dans un triangle les bissectrices intérieure et extérieure en M coupent le côté AB en des points E et F tels que EA/EB = MA/MB = FA/FB donc que ABEF sont en division harmonique et que M est sur le cercle de diamètre EF.
    Les bonnes vieilles divisions harmoniques et les cercles d'Apollonius :

    Si est le barycentre de et celui de , alors
    et , donc

    et le lieu cherché est la sphère de diamètre

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    steph1907

    Re : géométrie dans l'espace (ensemble de points)

    OK merci beaucoup pour votre aide ! Je refais tout ça demain après-midi : si j'ai bien compris , il s'agit de reprendre la méthode de la question d'avant , mais en prenant un autre point que G , de telle sorte que les calculs se simplifient !

    PS: Compliments au forum pour les aides intelligentes et l'état d'esprit des membres !

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  10. #7
    steph1907

    Re : géométrie dans l'espace (ensemble de points)

    C'est tout bon !
    (raisonnement en terme de vecteurs bien sûr)
    J'ai donc pris l'expression MA² - 4MB² = 0 et je coupe ensuite par le point U tel que U = barycentre des points (A,1) et (B,-4).
    Je trouve ensuite - 3MU² + UA² + UB² = 0 !
    Or comme UA - 4 UB = 0 , j'exprime UB et UA en fonction de AB (qui fait 4) et ça aboutit !
    Je déduit ensuite MU : l'ensemble est la sphère de centre U et je vais maintenant calculer son rayon !
    Merci à tous !

  11. #8
    steph1907

    Re : géométrie dans l'espace (ensemble de points)

    Alors voilà désolé de remettre ça sur le tapis mais je doute un peu de mon résultat !
    La sphere que je trouve a pour centre la barycentre des points (A,1);(B,-4) et a pour rayon racine de (80/3) !
    En faisant une figure à l'echelle 1 , si je trace le cercle de même centre et même rayon , l'équation est vérifiée avec une erreur de quelques millimètres!
    Pourriez vous me dire si c'est juste ?

  12. #9
    Jeanpaul

    Re : géométrie dans l'espace (ensemble de points)

    Non, ça ne colle pas. Cherche déjà les points M et M' de AB tels que MA = 2 MB (en longueurs)
    Tu trouves que MB = 4/3 et M'B = 4, donc le diamètre du cercle est 4 +4/3.

  13. #10
    steph1907

    Re : géométrie dans l'espace (ensemble de points)

    Merci beaucoup mais j'ai trouvé mon erreur !
    Je trouve un rayon de 8/3 ! Ca coïncide avec ce que tu me dis jeanpaul !
    Voila j'ai fais une figure et avec tous point M du cercle, ca fonctionne !

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