A en perdre la boule

[dgidgi]

Si vous changez l'énoncé, la réponse change, évidemment. (Et encore, il n'est changé que si "au hasard" est compris comme "uniformément", ce qui n'est pas, strictement, une inférence correcte.)

Je ne change pas l'énoncé.
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[dgidgi]

A Amenuensis,
Vous dites utiliser Bayes pour calculer la probabilité que l'autre enfant soit une fille. Moi je ne calcule pas cette probabilité en utilisant Bayes, c'est clair.

Par contre, je comprendrais qu'on utilise la formule de Bayes pour calculer la probabilité que le garçon qui m'a ouvert la porte provienne d'une famille ayant deux garçons, ou bien provienne d'une famille ayant un garçon ou une fille.

Et dans ce cas là, mais ce nest pas la question dans ce fil que j'ai ouvert, je trouve en utilisant la formule de Bayes, que sachant que c'est un garçon qui m'a accueilli, la probabilité que ce garçon provienne de la famille ayant deux garçons est de 1/2 et que la probabilité que ce garçon provienne de la famille ayant un garçon et une fille est un quart, qu'elle est aussi de un quart pour la provenance de la famille ayant une fille et un garçon et qu'elle est de zéro pour la provenance de ce garçon de la famille ayant deux filles.

Ce 1/2 et ces deux fois 1/4 ne sont en aucun cas les probabilités que l'autre enfant soit un garçon ou une fille

On peut donc se servir de Bayes pour calculer les probabilités d'origine familiale du garçon ayant ouvert la porte, ce qui est différent de calculer les probabiltés du sexe de l'autre enfant de la famille.

[Amanuensis]

La proba que l'autre enfant soit un garçon est la proba que la maison soit du type 2 garçons. Demander la première proba est la même question que demander la seconde.

[Amanuensis]

Une petite clarification : le calcul conditionnel (formule de Bayes) n'est pas nécessaire pour résoudre la question. Je l'ai présenté parce que le point discutable du raisonnement qui mène à la réponse 2/3 est l'affirmation de probabilités égales des trois types de famille. Et le calcul conditionnel est nécessaire pour calculer ces probabilités.

Pour ce genre de problème il n'y a pas 36 méthodes pour calculer les probas. En gros, deux seulement : les considérations de symétries et les calculs conditionnels.

Ici, les considérations de symétrie suffisent, en l'appliquant là où il faut.

Dans le problème posé message #1 ou sa variante, il est facile de constater que les boules ont un statut parfaitement symétrique. De même, dans la variante, rien dans l'énoncé ne permet de différentier les enfants quand à leur rôle dans l'ouverture de la porte. Tous les enfants ont le même statut, donc une probabilité a priori d'être celui ou celle qui ouvre uniforme, la même pour tous.

Ce simple constat de cette symétrie dans l'énoncé suffit à donner la réponse, puisqu'il y a la moitié des garçons qui ont une sœur.

[dgidgi]

Ce simple constat de cette symétrie dans l'énoncé suffit à donner la réponse, puisqu'il y a la moitié des garçons qui ont une sœur.

Très joli raisonnement : la moitié des garçons ont une soeur : c'est vrai !
L'autre moitié des garçons ont donc un frère : c'est logique.

Mais cela n'est pas du tout incompatible avec le fait que le nombre de familles ayant un garçon et une fille est le double du nombre de familles ayant deux garçons : c'est même la conséquence directe de cette situation.
Exemple : pour 4 garçons, il faut 3 familles : 1 avec 2 garçons et 2 familles avec 1 garçon et 1 fille ; pour 8 garçons : 6 familles, 2 avec 2 frères à chaque fois et 4 avec frère et soeur, etc.

Comme une même personne ne peut appartenir à deux familles à la fois, et que c'est bien une famille au hasard qui est consultée (et non pas un garçon au hasard), il a bien deux fois plus de chance de se faire ouvrir la porte par un garçon ayant une soeur que par un garçon ayant un frère.
Les familles ayant deux frères regroupent ces frères deux par deux, si on veut le dire autrement.

Alors le statut des garçons et des filles n'est pas le même, à ce niveau du pb, quand on a identifié le sexe du portier, pour le problème posé, pour reprendre votre concept de statut.

Deuxièmement, dire que Bayes n'est pas nécessaire pour calculer des probabilités ici est un peu facile après que j'ai fait remarquer que Bayes permet de calculer la probabilité que le garçon ayant ouvert la porte provienne d'une famille de deux garçons, alors que vous affirmiez que par Bayes vous trouviez la probabilité que ce garçon portier ait un frère, ce qui n'est pas la même chose.
En fait, Bayes est hors sujet pour la queston posée.
Mais le sujet est intéressant.

[dgidgi]

Le concept de symétrie entre garçon et fille n'est pas pris à défaut par ces probabilités de 2/3 et 1/3 que j'énonce.
Si c'est un garçon qui ouvre, il y a une probabilité de 2/3 qu'il ait une soeur, et si c'est une fille qui ouvre, il y a une probabilité de 2/3 pour qu'elle ait un frère.
Pourquoi faudrait-il que cette symétrie des situations garçons-filles introduise une égalité des probabilités d'avoir un frère ou une soeur ? Les probabilités en question sont différentes et la situation de symétrie (ou de dualité) est parfaitement conservée.

[Amanuensis]

Une précision peut-être utile : ce que j'expose n'est pas mes réflexions personnelles basées sur de vagues notions que ce que sont les probabilités, mais consiste simplement à rapporter ce qu'on trouve dans nombre de manuels sur le calcul des probabilités.

Le problème est classique, sous des formes éventuellement différentes (genre couleur de côté de carte), son traitement classique, que ce soit par symétrie ou par calcul de probabilités conditionnelles.

Le seul "débat" possible pourrait porter sur la compréhension de l'énoncé ; la difficulté principale dans ce genre de question est bien de vérifier que l'énoncé ne présente aucune ambiguité.

[dgidgi]

Voulez-vous écrire, comme je l'ai fait moi-même votre calcul détaillé amenant à votre résultat, je vous prie, par votre calcul de probabilités conditionnelles.

[Médiat]

Amanuensis vous a donné toutes les indications (même sans parler de probabilités conditionnelles) :

- Famille 1 : deux garçons, Albert et Bernard

- Famille 2 : un garçon, Charles, une fille

- Famille 3 : une fille et un garçon, Denis

Quels sont les cas possibles pour qu'un garçon vous ouvre ?

[dgidgi]

Amanuensis vous a donné toutes les indications (même sans parler de probabilités conditionnelles) :



Quels sont les cas possibles pour qu'un garçon vous ouvre ?

Ce n'est pas la bonne manière de présenter le problème, puisque si on se restreint à ces 3 familles (pour moi) ou maison, c'est bien qu'un garçon a déjà ouvert.

La question : quelle est la probabilté qu'un garçon ouvre est hors sujet.

Aux trois possibilités présentées, les trois familles chez l'une desquelles on frappe à la porte au hasard (sous entendu avec prbabilité 1/3), ajoutez une donnée :
un garçon a ouvert.

Posez alors la question :
quelle est la probabilité pour qu'il ait une soeur ?

[Médiat]

La question : quelle est la probabilté qu'un garçon ouvre est hors sujet.

Ce n'est pas la question que je pose.

[Amanuensis]

Le sujet est, très précisément :

Je rends visite à une famille pour laquelle je sais qu'elle est composée des parents et de deux enfants, dont j'ignore totalement le sexe.

A la porte d'entrée, je suis accueilli par un garçon, qui est donc l'un des deux enfants.
Quelle est la probabilité pour que l'autre enfant de cette famille soit une fille ?

Question qui est différente, sans ambiguïté, de :

Aux trois possibilités présentées, les trois familles chez l'une desquelles on frappe à la porte au hasard (sous entendu avec prbabilité 1/3), ajoutez une donnée :
un garçon a ouvert.

Posez alors la question :
quelle est la probabilité pour qu'il ait une soeur ?

[dgidgi]

La proba que l'autre enfant soit un garçon est la proba que la maison soit du type 2 garçons. Demander la première proba est la même question que demander la seconde.

Et comme il reste 3 type de maisons (après avoir éliminé le type 2 filles): 2 garçons, 1 garçon-1 fille, 1 fille-1 garçon, parmi lesquelles j'ai frappé à une de manière aléatoire avec la même probabilité pour checune d'elle, il y a bien 1 chance sur 3 que ce gars ait un frère.

[myoper]

il y a bien [...] chance sur [...] que ce gars ait un frère.

Ce gars peut être Charles, Denis, Albert ou Bernard.

[dgidgi]

Le sujet est, très précisément :



Question qui est différente, sans ambiguïté, de :

Non, je ne vois pas la différence.

A noter que la deuxième citation se situe au moment où on reconsidère la situation après avoir vu le garçon portier; c'est tout. Il est évident que ce n'est pas la question initiale, je ne le nie pas, je n'ai fait que me rajuster sur la question de Média qui lui-même reprenait un point de votre développement. Cela ne change rien à ce que j'ai donné initialement.

Revenez aux boules noires et blanches, pour enlever tout critère perturbateur au questionnement.

Je tire une boule du sac C (une fois le sac C rempli de deux boules provenant de A et de B). Elle est blanche.
Probabilité de couleur de l'autre boule ?

[dgidgi]

Ce gars peut être Charles, Denis, Albert ou Bernard.

Il faut considérer les maisons, pas les enfants.
Ce gars peut être de la maison 1, ou de la maison 2 ou de la maison 3, chaque maison étant visitée avec la même probabilité.

[Amanuensis]

Non, je ne vois pas la différence.

Ça, c'était clair depuis les premiers messages. Le seul intérêt de cette discussion est bien de la voir !

Il est évident que ce n'est pas la question initiale, je ne le nie pas

Le problème est que la réponse à la question initiale est 1/2, et la réponse à la nouvelle 2/3.

Je tire une boule du sac C (une fois le sac C rempli de deux boules provenant de A et de B). Elle est blanche.
Probabilité de couleur de l'autre boule ?

1/2, il y a un uniformité entre toutes les boules quand à la probabilité d'être celle tirée.

[dgidgi]

Ce gars peut être Charles, Denis, Albert ou Bernard.

Je ne peux pas rencontrer à la fois Albert et Bernard (les deux frères vivant ensemble, si mes souvenirs sont bons)
Je rencontre soit l'un, soit l'autre, et celui que je rencontre me dit avoir un frère.
Il y a une chance sur trois pour que je rencontre Albert ou Bernard.

Il y a une chance sur trois pour que je rencontre Charles et celui-ci déclare qu'il a une soeur.

Il y a enfin une chance sur trois pour que je rencontre Denis qui me dit aussi avoir une soeur.

Il y a bien donc une chance sur trois pour que le garçon me dise avoir un frère et deux chances sur trois pour que le garçon me dise avoir une soeur.

Merci Myoper d'avoir pensé aux prénoms, c'est plus clair comme cela.

[dgidgi]

1/2, il y a un uniformité entre toutes les boules quand à la probabilité d'être celle tirée.

Je conteste ce 1/2, mais ce n'est pas un scoop.

[Amanuensis]

Merci Myoper d'avoir pensé aux prénoms, c'est plus clair comme cela.

Faut vraiment croire que vous ne lisez pas tous les messages

[Médiat]

Je rencontre soit l'un, soit l'autre, et celui que je rencontre me dit avoir un frère.
Il y a une chance sur trois pour que je rencontre Albert ou Bernard.

Il y a une chance sur trois pour que je rencontre Charles et celui-ci déclare qu'il a une soeur.

Il y a enfin une chance sur trois pour que je rencontre Denis qui me dit aussi avoir une soeur.

Il y a bien donc une chance sur trois pour que le garçon me dise avoir un frère et deux chances sur trois pour que le garçon me dise avoir une soeur.

Je rencontre soit l'un, soit l'autre, et celui que je rencontre me dit avoir un frère.

Il y a une chance sur quatre pour que je rencontre Albert.

Il y a une chance sur quatre pour que je rencontre Bernard

Il y a une chance sur Quatre pour que je rencontre Charles et celui-ci déclare qu'il a une soeur.

Il y a enfin une chance sur quatre pour que je rencontre Denis qui me dit aussi avoir une soeur.

Il y a bien donc deux chance sur quatre pour que le garçon me dise avoir un frère et deux chances sur quatre pour que le garçon me dise avoir une soeur.

[Amanuensis]

Je conteste ce 1/2, mais ce n'est pas un scoop.

Vous pouvez aussi contester que 2+2=4 si cela vous fait plaisir.

Les sciences, ce n'est pas de la politique ou de la philo.

[Amanuensis]

L'erreur de fond est la confusion entre probabilités a priori (avant d'ouvrir la porte) et a posteriori (après avoir constaté que c'est un garçon qui a ouvert).

Travailler uniquement en probabilités conditionnelles permet d'éviter confusion et ambiguïtés.

Notons ff, gg, gf et fg les quatre types de maison.

Notons la probabilité a priori d'une maison avec deux filles p(M=ff|K), où K représente le contexte (les informations fournies par l'énoncé et connues juste avant l'ouverture de la porte). Les autres proba à l'avenant.

L'énoncé nous permet de calculer, par considération de symétrie, p(M=ff|K)=1/4. Ce résultat ne tombe pas d'un chapeau, c'est l'argument de symétrie dans les termes de l'énoncé qui est mis à contribution.

Une fois le constat que c'est un garçon qui a ouvert, alors (si on cherche à considérer les maisons, ce qui n'est pas nécessaire) il faut calculer p(M=ff | K et "c'est un garçon qui a ouvert") ; la notation permet d'éviter la confusion avec p(M=ff|K).

Il semble que personne ne butte sur l'idée que p(M=ff | K et "c'est un garçon qui a ouvert") soit différent de p(M=ff|K), resp. 0 et 1/4.

Pour la même raison, i.e., la nouvelle information, on a p(M=gg | K et "c'est un garçon qui a ouvert") différent de p(M=gg|K). Le calcul conditionnel, prenant en compte les calculs (par argument de symétrie) donnant que p("un garçon ouvre" | K et M=gf) =1/2, p("un garçon ouvre" | K et M=gg) =1, etc., donne p(M=gg | K et "c'est un garçon qui a ouvert")=1/2. Et le même type de calcul donne 1/4 pour gf, 1/4 pour fg, c'est à dire autre chose que l'uniformité entre gg, fg et gf (pas si étonnant que ça, il n'y pas symétrie quand aux garçons).

En appliquant ensuite p(sœur | K et M=gg et "un garçon a ouvert")=0, p(sœur | K et M=gf et "un garçon a ouvert")=1, etc., on calcul p(sœur |K et "un garçon a ouvert") = 1/2.

Tout cela a dit sous forme verbale déjà plusieurs fois.

(On aura remarqué que calculer directement sur l'enfant qui ouvre est beaucoup plus court, et donne, qui en aurait douté, le même résultat.)

Le point important est qu'une probabilité se calcule, il y a des règles, il y a tout un formalisme, pour ces calculs.

Ce n'est pas une question de "contestation" ; on est ici dans le cas classique d'un énoncé verbal qu'il faut traduire dans un formalisme, suivi d'un calcul, c'est à dire en gros celui d'un exercice scolaire de maths.

Si le résultat des calculs corrects est contraire à l'intuition, c'est le résultat qui prime, et le progrès est obtenu en améliorant l'intuition en analysant point par point le calcul.

[myoper]

Il faut considérer les maisons, pas les enfants.
Ce gars peut être de la maison 1, ou de la maison 2 ou de la maison 3, chaque maison étant visitée avec la même probabilité.

Oui.
Ce raisonnement vaut jusqu'à ce que la porte soit ouverte.

Ensuite, on se demande si celui qui a ouvert à un frère ou pas et non pas de quelle maison il est.

Je ne peux pas rencontrer à la fois Albert et Bernard (les deux frères vivant ensemble, si mes souvenirs sont bons)

Parfaitement exact et cette remarque s'applique aux 4 gars.
Quand je suis devant (un seul à la fois, donc), je ne sais pas devant lequel je suis.

[dgidgi]

Je rencontre soit l'un, soit l'autre, et celui que je rencontre me dit avoir un frère.

Il y a une chance sur quatre pour que je rencontre Albert.

Il y a une chance sur quatre pour que je rencontre Bernard

Il y a une chance sur Quatre pour que je rencontre Charles et celui-ci déclare qu'il a une soeur.

Il y a enfin une chance sur quatre pour que je rencontre Denis qui me dit aussi avoir une soeur.

Il y a bien donc deux chance sur quatre pour que le garçon me dise avoir un frère et deux chances sur quatre pour que le garçon me dise avoir une soeur.

Non, ce n'est pas cela.
Il y a une chance sur quatre que je frappe à la porte de chez Albert ou Bernard,
il y a une chance sur quatre que je frappe à la porte de chez Charles
il y a une chance sur quatre que je frappe à la porte de chez Denis.
Il y a une chance sur quatre que je frappe chez les deux soeurs.

Comme c'est un garçon qui a ouvert, je ne suis pas chez les deux soeurs.
D'éliminer cette possibilité de maison, me laisse le choix de manière uniforme entre les trois autres maisons, peu importe que le garçon présent soit obligé d'ouvrir la porte ou l'ait ouverte par hasard ou pas: il est un garçon qui a ouvert la porte, je ne suis pas chez les filles.

[Amanuensis]

PS : J'arrête les frais là, j'ai déjà trop donné sur ce fil. Mes meilleurs vœux de réussite à ceux qui prendront la relève.

[myoper]

il est un garçon qui a ouvert la porte, je ne suis pas chez les filles.

Oui, l'un des quatre garçons.
Pourquoi considérer qu'Albert et Bernard ne font qu'un ?
C'est bien Albert ou Bernard qui ouvre la porte et pas les deux.

[Médiat]

Je fais un dernier essai avant d'abondonner :
Maison 1 : 2 garçons G1 et G2
Maison 2 : 2 filles F1 et F2
Maison 3 : 1 Garçon G1 (l'ainé) et 1 fille F2
Maison 4 : 1 fille F1 (l'ainée) et 1 garçon G1

Cela fait 8 cas possibles (équiprobables avant d'ouvrir la porte, non ?) pour déterminer qui ouvre la porte :
M1 - G1
M1 - G2
M2 - F1
M2 - F2
M3 - G1
M3 - F2
M4 - F1
M4 - G2
Comme c'est un garçon qui a ouvert, cela élimine les cas
M2 - F1
M2 - F2
M3 - F2
M4 - F1

Dans ce qui reste, il y a deux cas ou l'autre enfant est un garçon et deux ou l'autre est une fille.


Je trouve étrange que vous fassiez la différence entre les maisons M3 et M4, mais pas entre les cas M1 - G1 et M1 - G2, alors que c'est la même notion qui les définit.

[dgidgi]

Oui, l'un des quatre garçons.
Pourquoi considérer qu'Albert et Bernard ne font qu'un ?
C'est bien Albert ou Bernard qui ouvre la porte et pas les deux.

Ils ne font "qu'un" parce qu'ils habitent la même maison.
C'est la maison que je visite au hasard avec équiprobabilité entre les cas : GG, GF et FG. Albert et Bernard sont dans la maison GG. Ils ne représentent qu'un cas : celui où j'ai frappé à leur porte. Les deux autres cas se produisent quand je frappe aux deux autres portes.

Je suis d'accord que de savoir la probabilité avec laquelle le garçon est issu de telle ou telle maison se calcule comme vous le proposez ou par Bayes, mais ce n'est pas le sujet ici.
On ne cherche pas à savoir d'où vient le garçon (de quelle maison ou famille), mais on cherche à savoir s'il a un frère ou une soeur.

[dgidgi]

Je voudrais donner un dernier modèle de cette situation :
Fabriquez-vous 30 dominos de la manière suivante : chaque domino a deux cases vierges. Sur 10 de ces dominos, vous écrivez G et G dans les cases, sur 10 autres dominos vous écrivez G et F dans les cases vierges et sur les 10 derniers vous écivez F et G dans les cases vierges.
Vous pourriez en fabriquer 10 de plus en les marquant F et F, mais il faudrait les mettre de côté et ne pas s'en servir, alors c'est inutile.
Ces 30 dominos représentent un échantillon de ce qui peut se rencontrer dans les familles de 2 enfants quand on a occulté le cas de 2 filles et qu'on pense équiprobables les naissances de garçons et de filles. Chacun d'eux représente une famille, ou une maison que je me propose de visiter pour mettre en oeuvre mon calcul de probabilité.

Bon, vous retournez ces 30 dominos, puis vous les prenez 1 par 1. A chaque domino, vous interrogez un G (et un seul, même s'il y a deux G sur le domino) pour savoir si l'autre case du domino est un G ou une F, et vous notez le résultat, à savoir ce qui est écrit sur l'autre case du domino dont vous avez questionné le G.

Quand vous aurez éclusé le tas de 30 dominos, si vous avez travaillé conscienseument, vous aurez écrit 10 G et 20 F.

Un modèle qu'on peut agrandir à des milliers de dominos s'il le faut : le nombre de F sera le double du nombre de G sur la feuille de notes.
La probabilité qu'un garçon ait un frère est 1/3 et celle qu'il ait une soeur est 2/3.

Je n'écris pas cela pour insister lourdement, mais pour dire, que mon raisonnement est assez ancré dans mon mental et que je tiens à le défendre, à convaincre si possible certains qui veulent bien me lire.

Je suis conscient de n'avoit pas toujours répondu profondément à toutes les objections qui m'ont été faites, par manque de temps, surtout aujourd'hui. Je reconnais que certains sont sans doute déçus que je ne réponde pas à leurs objections, je pense à Médiat, en particulier.
Je tiens néanmoins à faire remarquer que j'ai tenté par raisonnement de démonter certaines erreurs ou pistes que j'ai trouvé mauvaises. En particulier les probabilités conditionnelles ou calculs par formule de Bayes qui sont contresens ici, ên fait, car la présence du garçon à la porte n'est pas un événement aléatoire, mais une donnée imposée par l'énoncé (comme celle de laisser les 10 dominos FF à la pioche). Les raisonnements par symétrie me semblent aussi un peu trop rapides. La symétrie garçon fille de l'énoncé n'a pas à se traduire par une symétrie probabilté d'un frère et probabilité d'une soeur, c'est plus fin que cela. Enfin le reproche que les probabilités doivent absolument être des calculs compliqués et non des fréquences ou rapports ou proportions me laisse dubitatif, les probabilités élémentaires sont bien des quotients, et ici on est bien dans des exemples de probabilités élémentaires.

Enfin je promets, si on veut bien croire mes promesses, de chercher à débattre, mais lentement, sur ce que je détecte comme paille dans les raisonnements de mes divers contradicteurs, par rapport au problème posé, si cela n'a pas déjà été fait.