A en perdre la boule

[dgidgi]

On dispose de trois sacs opaques A, B et C.
Au début de l'expérience, seul le sac C est vide. Le sac A contient deux boules, une noire et une blanche, indiscernables au toucher, et le sac B contient aussi deux boules, une noire et une blanche, indiscernables aussi au toucher.

On tire une boule du sac A au hasard et on la met dans le sac C, sans regarder sa couleur.
On tire ensuite une boule au hasard du sac B et on la met dans le sac C, sans regarder non plus sa couleur.

Puis on tire une des deux boules du sac C et on regarde sa couleur.
Quelle est la probabilité pour que l'autre boule du sac C ne soit pas de la même couleur que celle qu'on a tirée en premier ?
-----

[dgidgi]

Je ne rencontre pas beaucoup de succès, alors je vais le présenter autrement.

Partons tout d'abord du principe que le sexe d'un enfant est soit masculin avec une probabilité de 0,5 ou feminin avec cette même probabilité de 0,5, même si cela est discutable, admettons-le, merci
.
Je rends visite à une famille pour laquelle je sais qu'elle est composée des parents et de deux enfants, dont j'ignore totalement le sexe.

A la porte d'entrée, je suis accueilli par un garçon, qui est donc l'un des deux enfants.
Quelle est la probabilité pour que l'autre enfant de cette famille soit une fille ?

[Clemgon]

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2/3! Il faut considérer les 4 cas possibles puis éliminer celui qui ne l'est plus (ici le cas fille-fille)

[SunnySky]

Pour moi, c'est plutôt simple...

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p=0,5 aux deux questions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[dgidgi]

On peut donc se tromper tout en étant de bonne foi, puisque il y a deux réponses différentes à ce petit problème.

Une chose est certaine : c'est la même réponse qui convient aux deux questions.

[dgidgi]

Bon , c'est Clemgon qui a raison.
Il faut bien considérer qu'il y a quatre cas possibles :
le 1er enfant peut être fille ou garçon, chacune de ces possibilités ayant pour probabilté 1/2.
Le 2ème enfant peut alors être aussi fille ou garçon avec à chaque fois cette même probabilité 1/2.
On peut donc avoir 4 issues possibles sur le sexe des enfants :
Garçon et garçon : probabilité 1/4
Garçon et fille : probabilité 1/4
fille et garçon : probabilité 1/4
fille et fille : probabilité 1/4.

Le fait d'être accueilli par un garçon sur le palier élimine pour cette famille le choix fille et fille.
Il reste donc comme possibilités pour celle-ci :
garçon et garçon; garçon et fille ; fille et garçon, avec chaque issue de même probabilité.
Deux de ces trois possibilités comportent une fille :
il ya bien donc deux chances sur trois que le deuxième enfant soit une fille, d'où cette probabilité 2/3.

Quelques remarques :
1) beaucoup de gens pensent que les choix garçon fille et fille garçon ne font qu'un , surtout si on n'évoque pas l'âge des enfants. Il n'en est rien, ce n'est pas la même chose. De même noir et blanc ou blanc et noir pour les boules, ce n'est pas pareil, même si l'ordre de tirage des boules ne peut pas être déterminé.
2) Il suffit de parler de sexe pour voir des gens s'intéresser à la discussion.

[JPL]

Il suffit de parler de sexe pour voir des gens s'intéresser à la discussion.

Le rapport avec les boules étant plus clair ?

[dgidgi]

Elle est pas claire la correspondance entre les deux versions ?

Je veux bien expliquer s'il le faut :
La première boule mise dans le sac C peut être blanche (probabilté 1/2) ou noire (probabilité 1/2 aussi).
La deuxième boule mise dans le sac C est soumise aux mêmes conditions :
blanche avec probabilité 1/2 ou noire avec probabilité 1/2.
Les choix de boules dans le sac C sont donc :
blanche et blanche probabilité : 1/2 *1/2 = 1/4
blanche et noire avec probabilité 1/4
noire et blanche avec probabilité 1/4
noire et noire avec probabilité 1/4.
Quand on tire une boule du sac C et qu'on regarde sa couleur, on élimine le cas des deux boules qui n'ont pas cette couleur.
Il reste donc trois cas possibles de même probabilité 1/4, dont deux contiennent la couleur autre que celle qu'on a tirée, d'où les deux chances sur trois de la réponse.

C'est peut être plus facile à comprendre avec des boules qu' avec le sexe des enfants ?

[Amanuensis]

Cela me paraît bien affirmatif.

La question est classique, et la réponse tout autant, surtout si on s'intéresse aux méthodes bayésiennes...

blanche et blanche probabilité : 1/2 *1/2 = 1/4
blanche et noire avec probabilité 1/4
noire et blanche avec probabilité 1/4
noire et noire avec probabilité 1/4.

Ca, oui, même s'il manque une petite précision.

Mais ça ?

Il reste donc trois cas possibles de même probabilité 1/4

[dgidgi]

Si on tire une boule blanche du sac C, c'est qu'on n'est pas dans le cas où ce sac C contiendrait deux boules noires.
Il peut donc contenir soit une blanche et une noire, soit une noire et une blanche (ce n'est pas pareil) soit deux blanches. Il y a bien deux issues possibles sur trois faisant apparaître une noire en deuxième boule.

Même raisonnement si on tire une noire en premier du sac C, cela élimine le cas blanche blanche et il reste noire blanche, blanche noire, et noire noire avec chacune la même probabilité? Deux chances sur trois donc que l'autre boule soit blanche.

Qu'est-ce qui n'est pas clair ?

[Amanuensis]

Si on tire une boule blanche du sac C, c'est qu'on n'est pas dans le cas où ce sac C contiendrait deux boules noires.

Oui

Il peut donc contenir soit une blanche et une noire, soit une noire et une blanche (ce n'est pas pareil) soit deux blanches. Il y a bien deux issues possibles sur trois faisant apparaître une noire en deuxième boule.

Oui

il reste noire blanche, blanche noire, et noire noire avec chacune la même probabilité? Deux chances sur trois donc que l'autre boule soit blanche.

Non

Qu'est-ce qui n'est pas clair ?

Ce n'est pas une question de clarté... Je trouve le raisonnement très clair.

[Amanuensis]

Remarquons qu'il y a une manière simple de départager...

Il suffit de se rencontrer, et on fait un pari sur la couleur de la seconde boule. Je vous donne 1 Euro quand c'est différent, et vous me donnez 1,8 Euro quand c'est pareil. On répète 1000 fois...

Je suis près à jouer... Et vous ?

[dgidgi]

Je trouve encore heureux que vous trouviez mes explications claires, car l'effort de clarté est bien de mon côté.

Maintenant, si vous aviez la bonté de bien vouloir expliciter un peu votre "non".
Que réfutez-vous dans les deux phrases que vous rejetez ? La première ? La deuxième ? Les deux ? Et sur quels arguments ?

Si on tire une blanche du sac C, c'est que le sac contient l'une des trois combinaisons blanche blanche, blanche noire ou noire blanche. Il ne peut pas contenir noire, noire.

Et sur les trois combinaisons possibles avec le même niveau de probabilité, deux ont comme deuxième boule de ce sac C une noire et une seule présente une deuxième boule blanche.

Que réfutez-vous la-dessus et sur quel raisonnement ?

[Amanuensis]

Que réfutez-vous dans les deux phrases que vous rejetez ? La première ? La deuxième ? Les deux ?

Bonne question, j'avais hésité à le faire, à cause du "oui et non" :

- il reste noire blanche, blanche noire, et noire noire

oui

- avec chacune la même probabilité?

oui et non

- Deux chances sur trois donc que l'autre boule soit blanche.

non

Et sur quels arguments ?

Vous ne donnez pas les vôtres. Vous répétez la même chose, sans justifier certaines des affirmations. Je me contente de pointer celles qui sont, à mon avis, fausses ; il m'est difficile de réfuter un raisonnement qui n'est pas présenté.

Comment calcule-t-on une probabilité ?

[dgidgi]

Remarquons qu'il y a une manière simple de départager...

Il suffit de se rencontrer, et on fait un pari sur la couleur de la seconde boule. Je vous donne 1 Euro quand c'est différent, et vous me donnez 1,8 Euro quand c'est pareil. On répète 1000 fois...

Je suis près à jouer... Et vous ?

Vous n'expliquez pas votre raisonnement et je vous le reproche.
La couleur sera la même un fois sur trois et sera différente deux fois sur trois, environ.
C'est simulable autrement qu'en se rencontrant et en jouant de l'argent.
Mais votre histoire risque de me faire gagner 60 euros, ce qui est à mettre en regard des frais de déplacement et du temps perdu.

[Amanuensis]

C'est simulable autrement qu'en se rencontrant et en jouant de l'argent.

L'avez-vous fait ?

[dgidgi]

J'ai fait un arbre.

[dgidgi]

Et je répète que chacune des occurences restantes a la même probabilité, qui est le tiers des trois occurences restantes, ou le quart des quatres occurences initiales avant qu'on en supprime une par le choix de la couleur.

Expliquez votre position, au lieu de noyer le poisson.

[Amanuensis]

Et je répète que chacune des occurences restantes a la même probabilité, qui est le tiers des trois occurences restantes, ou le quart des quatres occurences initiales avant qu'on en supprime une par le choix de la couleur.

Je dis que les occurrences restantes n'ont pas la même probabilité après qu'on connaisse la couleur d'une des boules.

[Amanuensis]

J'ai fait un arbre.

Ce n'est pas une simulation. Une simulation serait de faire exactement ce qui est décrit, étape par étape, avec un générateur pseudo-aléatoire et des milliers de répétitions.

[invitebd2b1648]

Ce n'est pas une simulation. Une simulation serait de faire exactement ce qui est décrit, étape par étape, avec un générateur pseudo-aléatoire et des milliers de répétitions.

Hello !

Je me demande, est-ce que çà ne reviendrait pas à écouter plein de musiques et à essayer de savoir la prochaine ???

@ +

[dgidgi]

Ce n'est pas une simulation. Une simulation serait de faire exactement ce qui est décrit, étape par étape, avec un générateur pseudo-aléatoire et des milliers de répétitions.

J'en suis conscient ; une simulation n'est pas une preuve non plus, alors qu'un arbre est une démonstration, un formalisme , de la logique. Une simulation, c'est pour la physique, pour la chimie, ce n'est pas pour les maths. C'est comme votre pari, le résultat d'une partie de jeu peut être parfaitement en désaccord avec les probabilités
J'ai une certaine confiance dans ce raisonnement qui est d'une simplicité disons élémentaire, deux tirages à 50% de réussite successifs, il n'y a pas de grande théorie la-dessus.

Maintenant, j'attends vos chiffres, vos probabilités différentes pour les trois issues possibles quand on a retiré le choix de la double couleur qu'on n'a pas tirée de l'offre des cas favorables.

[Amanuensis]

vos probabilités différentes pour les trois issues possibles quand on a retiré le choix de la double couleur qu'on n'a pas tirée de l'offre des cas favorables.

1/2 pour celle à couleurs identiques, 1/4 pour chacune des deux autres.

Vous allez me demander pourquoi. Mais pourquoi dites-vous qu'elles sont égales ? Quel est le raisonnement qui vous permet d'affirmer qu'elles sont égales ? (Encore une fois, comment calcule-t-on une probabilité ?)

[dgidgi]

Je ne suis pas d'accord avec ce quart et ce demi.

Je vais revenir à l'exemple des familles à deux enfants, qui est exactement le même problème que celui des boules noires ou blanches et de cette expérience à deux épreuves avec ce sac C.

Sur 1000 familles à 2 enfants, les probabilités ne disent rien d'autre qu'il y a 250 familles fille-fille ; 250 familles fille-garçons ; 250 familles garçons-filles et 250 familles garçons-garçons.

Autrement dit, il y a, sur 1000 familles à 2 enfants, 500 familles où les deux enfants sont de même sexe (soit 250 pour chacun des deux sexes) et 500 familles où les enfants sont de sexe différent.

Si je suis en présence de l'un des deux enfants, je peux éliminer les 250 familles dans lesquelles le sexe des deux enfants n'est pas celui de cet enfant. Je dispose alors d'un choix de 750 familles pour classer la famille que je visite ; soit elle appartient à l'une des 250 familles sur les 750 restantes où les deux enfants sont du même sexe que le portier (au passage 250/750 = 1/3) ; soit elle appartient à l'une des 500 familles dont les deux enfants n'ont pas le même sexe et dont l'effectif n'a pas bougé du fait d'avoir oté du choix les 250 familles dont les deux enfants n'ont pas le sexe du portier (et au passage 500/750 = 2/3).
On retrouve des proportions : 1/3 pour le même sexe et 2/3 pour des sexes différents qui correspondent , si je ne m'abuse, aux calculs de probabilités attendus : nombre de cas favorables divisé par nombre de cas possibles, que vous vous évertuez à me faire annoner.

Je pense que la traduction de mon exemple en terme de boules blanches et de boules noires au lieu de garçon et fille n'est pas le plus difficile du problème.

Sur 1000 expéreinces successives, on aura 250 issues noire-noire ; 250 issues noire-blanche ; 250 issues blanche-noire et 250 issues blanche-blanche.
Autremet dit 500 issues où les deux boules du sac C sont de la même couleur (dont 250 sacs de boules blanches et 250 sacs de boules noires) et 500 issues où les dex boules sont de couleurs différentes.
En tirant une boule de C, et en considérant sa couleur, se trouvent éliminées les 250 issues où les deux boules ne sont pas de cette dernière couleur tirée.
Reste donc 750 cas possibles.
Sur ces 750 cas, 250 (= 1/3) sont des sacs contenant des boules de même couleur, et 500 (500/750 = 2/3) sont de la couleur différente.

Dernière remarque : je suis revenu à l'exemple des familles à deux enfants, car j'ai controlé la véracité du résultat par un sondage : sur les 13 enfants de familles différentes mais ayant deux enfants qui étaient devant moi, 5 de ces familles avaient deux enfants de même sexe que celui qui était devant moi.
Petit sondage, échantillon trop petit, mais réellement effectué.

[Amanuensis]

Je ne suis pas d'accord avec ce quart et ce demi.

Faites une simulation... Sciences en s'amusant, cela reste sciences, avec application de la démarche scientifique.

(...)

La suite n'est qu'une répétition de toujours la même chose, avec la même confusion entre proportions et probabilités (confusion explicitée par "nombre de cas favorables divisé par nombre de cas possibles"). Le calcul des probabilités n'est ni fait, ni présenté ; seul le calcul des proportions est fait, et l'uniformité affirmée mais non démontrée.

Notons que si la question était "on prend une famille au hasard (l'uniformité étant sous-entendue) parmi celles ayant deux enfants mais pas de fille", la réponse serait juste. Mais ce n'est pas la question.

[dgidgi]

Notons que si la question était "on prend une famille au hasard (l'uniformité étant sous-entendue) parmi celles ayant deux enfants mais pas de fille", la réponse serait juste. Mais ce n'est pas la question.

Vous n'y êtes pas.
La question est bien :
"on prend une famille au hasard parmi celles ayant deux enfants pas DEUX filles".

La seule certitude qu'on a pour les deux enfants de cette famille, dont on vient de voir un garçon, c'est qu'elle n'est pas formée de deux filles.

On lui laisse le droit d'avoir une fille, c'est même ce qui se passe deux fois sur trois.

Pour finaliser le calcul, chacune des probabilités des trois issues possibles se calcule par l'opération arithmétique (1/4) / (3/4) ce qui donne bien (1/4) * (4/3) donc 1/3, aucune difficulté pour généraliser l'arithmétque du millier d'essai, des 250 ou 500 par rapport à 750.

Je vous prierai de bien vouloir exposer vos calculs, s'ils existent.

[Amanuensis]

Présentons le cas avec quatre familles :

- Famille 1 : deux garçons, Albert et Bernard

- Famille 2 : un garçon, Charles, une fille

- Famille 3 : une fille et un garçon, Denis

- Famille 4 : deux filles.

On en prend une au hasard (1/4 de proba chacune), un enfant ouvre.

L'enfant qui a ouvert est l'un des deux de la maison, au hasard. L'enfant qui a ouvert est donc pris au hasard, uniformément, parmi les 8. Il y a symétrie complète entre les 8 enfants, ce qui justifie l'uniformité.

Alors, et alors seulement, il est constaté, nouvelle information, que c'est un garçon. Les probabilités des maisons sont changées par la nouvelle information (probabilités conditionnelles, formule de Bayes). Les probabilités a priori (ne prenant pas en compte la nouvelle information) pour les maisons sont (1/4,1/4,1/4,1/4), celles a posteriori (conditionnelles à la nouvelle information) sont (1/2, 1/4, 1/4, 0) : on constate le changement de la proba de la quatrième de 1/4 à 0 (ce que tout le monde voit), mais il y a en même temps, et pour la même raison, changement de la probabilité des autres.

Pour les enfants, les proba passent de 1/8 par enfant à 0 pour les filles et (uniformité) 1/4 pour les garçons. Si on veut garder l'uniformité, faut travailler avec l'ensemble des enfants, pas l'ensemble des maisons.

Si on prend l'espace des événements corrects, ici l'enfant qui a ouvert, la valeur de 1/2 tombe de suite : l'autre enfant de la famille est un garçon si c'est Albert ou Bernard qui a ouvert, l'autre enfant est une fille si c'est Charles ou Denis.

L'énorme difficulté de ce genre de question est la signification de "au hasard" ; c'est pourquoi une simulation permet de clarifier un énoncé.

Ici, la différence est entre on tire la maison au hasard (sous-entendu uniformément) d'abord, puis on tire au hasard un des enfants et on constate qu'il y a au moins un garçon (réponse 1/2) ; soit on sait a priori qu'il y a au moins un garçon, puis on tire la maison au hasard (réponse 2/3 quel que soit la manière dont est choisi l'enfant).

Un autre cas où ce serait 2/3 est : on choisit la maison au hasard, et la porte est ouverte par un garçon s'il y en a un (i.e., le choix de l'enfant qui ouvre n'est pas uniforme). Il est courant de confondre ce cas avec celui du choix uniforme de l'enfant qui ouvre.

Les proba 1/4, 1/2, 1/2 s'obtiennent en raisonnant sur l'enfant : si c'est la première maison, il est certain que c'est un garçon qui ouvre, si c'est la 2 ou la 3, il n'y a qu'une chance sur 2 que ce soit un garçon qui ouvre. Que ce soit ouvert par une fille élimine la 4, mais diminue de moitié (relativement à la 1) la proba que ce soit la 2 ou la 3.

En appliquant strictement les calculs bayésiens, en distinguant explicitement probabilités a priori et probabilités a posteriori (i.e., en explicitant le conditionnement de la proba, en ne parlant que de probabilités conditionnelles), c'est à dire en évitant la confusion apportée par l'usage du mot "probabilité" sans qualificatif, les réponses tombent toutes seules (si l'énoncé n'est pas ambigu, mais dans cette discussion je n'ai pas détecté d'ambiguïté dans l'énoncé).

[Amanuensis]

"on prend une famille au hasard parmi celles ayant deux enfants pas DEUX filles".

Si vous changez l'énoncé, la réponse change, évidemment. (Et encore, il n'est changé que si "au hasard" est compris comme "uniformément", ce qui n'est pas, strictement, une inférence correcte.)

[Amanuensis]

Je vous prierai de bien vouloir exposer vos calculs, s'ils existent.

PS : Ce ne sont pas "mes calculs", mais des calculs et des explications qu'on trouve dans nombre d'ouvrages traitant des calculs de probabilité, et en particulier des probabilités conditionnelles. La question est très classique, et couramment utilisée pour, justement, enseigner le calcul des probas, technique qui n'a rien d'intuitif.

[Amanuensis]

L'enfant qui a ouvert est l'un des deux de la maison, au hasard.

PPS : Que ce soit la bonne interprétation est corroboré par le cas des boules

]Puis on tire une des deux boules du sac C et on regarde sa couleur.

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À partir de maintenant, je me contenterai de répondre aux questions correspondant à des demandes de clarification sur ce que j'ai exposé. Je ne répondrai pas aux apostrophes discourtoises genre "Vous n'y êtes pas."