Nombres exotiques

[Kemiste]

Bonjour,

à tous, c'est un vrai déluge d'imagination

Pour une fois que je comprends une "énigme mathématique" j'en profite !
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[CM63]

128=2^(8-1)

[CM63]

32768=2^((6+7-8)*3)

[CM63]

1024=4^(10/2)
4096=4⁶+9sin(0)

[CM63]

[CM63]

[CM63]

[CM63]

[vgondr98]

50^(2+0) = 2500

[CM63]

[CM63]

[CM63]

[CM63]

[CM63]

[Deedee81]

Salut,

Qui peut démontrer la conjecture : "il existe une infinité d'exotiques jumeaux" ?
(ça m'est venu comme ça, mais je n'ai pas cherché à le démontrer... mais j'ai l'intuition que ça ne doit pas être si difficile)

[Médiat]

Bonjour,

Que veux dire jumeaux ici ? n et n+1 ?

Par exemple

[Deedee81]

Que veux dire jumeaux ici ? n et n+1 ?

Oui, c'est à ça que je pensais.

Par exemple

Joli.

[Médiat]

Une autre piste :




etc.

[CM63]

Bonjour,

Si on a trouvé une formule exotique pour un nombre n se terminant par 0, il est trivial d'en trouver 9 autres pour les nombres de n+1 à n+9.
Si on a trouvé une formule exotique pour un nombre n, il est trivial d'en trouver une pour 10n, qui se termine par 0. CQFD, non?

[Deedee81]

Bonjour,

Si on a trouvé une formule exotique pour un nombre n se terminant par 0, il est trivial d'en trouver 9 autres pour les nombres de n+1 à n+9.
Si on a trouvé une formule exotique pour un nombre n, il est trivial d'en trouver une pour 10n, qui se termine par 0. CQFD, non?

J'y avais pensé et on ne doit pas être loin d'une démo générale.

Mais il y a deux petits os. Par exemple pour :
"Si on a trouvé une formule exotique pour un nombre n se terminant par 0, il est trivial d'en trouver 9 autres pour les nombres de n+1 à n+9."

- d'abord prouver qu'il y a une infinité d'exotiques se terminant par 0. EDIT ce que donne ta deuxième ligne, mais je n'ai pas réfléchit s'il y avait un nonos
- ensuite, il ne faut pas que la formule donne un statut "important" au zéro (pas bêtement + 0) sinon sa disparition va poser un problème

[Médiat]

Pour illustrer le point soulevé par Deedee81 : 120 = ((2 + 1) ! - 0!)!

[CM63]

Bonjour,

il ne faut pas que la formule donne un statut "important" au zéro (pas bêtement + 0) sinon sa disparition va poser un problème

Très juste, je n'y avais pas pensé.

[CM63]

Bonjour,

De plus, j'ai fait une erreur de raisonnement : "ayant une formule pour n, il est aisé d'en trouver une pour 10n", je pensais : "en ajoutant +0", hé bien non. le +0 ne va pas multiplier le nombre par 10 !!

[CM63]

(où signifie "x en base y").

J'ai mis le temps, mais je m'aperçois que cette formule ne respecte pas la définition.

[CM63]

1024=4^(10/2)
4096=4⁶+9sin(0)

Là aussi, la première formule n'est pas bonne.

[CM63]

En base 2:
10=1+cos(0)

[CM63]

Bonjour,

Je corrige ma formule pour 1024:

[Médiat]

0! = 1 = 0!
1! = 1 = 1!
2! = 2 = 2!
3! = 6 = exp(ln(6)
4! = 24 = ??
5! = 120 = ((1 + 2)! - 0!)!
6! = 720 =(7 - 2 + 0!)!
7! = 5040 = (5 + 4 - 0! - 0!)!
8! = 40320 = (4 + 3 + 2 - 0! + 0)!
9! = 362880 = (6 + 3 + 2 - 8/8 - 0!)!
10! = 3628800 = (6 + 3 + 2 - 8/8 + 0 + 0)!
11! = 39916800 = (6 + 8 - 3 + 9/9 - 1 + 0 + 0)!
12! = 479001600 = (4 + 7 + 1 + 9 - 6 - 0! - 0! - 0! + 0)!
13! = 6227020800 = (6 + 7 + 2*2*2 - 8 + 0 + 0 + 0 + 0)!
14! = 87178291200 = (8 + 7 - 1 + 9 - 8 - 1 + 7 - (2 + 0!)! - 2 + 0!)!
15! = 1307674368000 = (7 + 6 + 3 - 1 + 7 + 4 - 8 - 3 + 6 - (0! + 0! + 0! + 0)!)!
16! = 20922789888000 = (2*9 - 2 + 8 - 8 + 2 + 7 - 9 + 8 - 8 + 0 + 0 + 0 + 0)!
17! = 355687428096000 = (8 + 9 + 3 + 5 - 8 + 5 + 6 - 7 - 4 - 2 - 0! + 6 - 0! - 0! - 0!)!
18! = 6402373705728000 = (6 + 4 + 8 + 7 - 7 + 5 + 2 - 7 + 3 - 3 + 0! - 2 + 0! + 0 + 0 + 0)!

etc

Vu le nombre de chiffres de n! (et le nombre de 0) il est plus que "vraisemblable" que tous les n! soient exotiques (à part, peut-être 4!)

[Médiat]

Bonjour,

Qui peut démontrer la conjecture : "il existe une infinité d'exotiques jumeaux" ?

Pour n>3, on a n! > 9 + n, donc on peut écrire


Il est donc facile d'écrire :

[Deedee81]

Salut,

Fantastique.

Vu la définition, je ne m'attendais pas à de tels résultats. Chapeau.