Ensemble des parties

[Médiat]

Quand tu veux dire "utilisais", tu veux dire en cours ?

Oui

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[invite9dc7b526]

Ca me rappelle mon prof de math à la fac. En topologie. Il cite un théorème (qui est bel et bien démontré). Met une longue démonstration. Demande si on a compris. Puis dit "et bien non, cette démonstration est fausse" Mais c'était en fait très pédagogique, ça permet effectivement de mieux faire attention à la validité d'un raisonnement mais aussi, en l'occurrence ici, de mieux comprendre le sens profond de certains concepts topologiques pas nécessairement évidents (de mémoire cela avait rapport avec la connexité et les ensembles bien enchaînés).

en DEA un prof nous avait servi la démonstration erronée de Kempe du théorème des quatre couleurs (cette démonstration établit quand-même le "théorème des cinq couleurs"). On n'y avait vu que du feu. Il nous a ensuite raconté qu'il avait fait le même exposé à un séminaire Bourbaki et que la même chose s'était produite : "et il y avait du beau linge" a-t-il ajouté!!!

[Médiat]

Parmi les erreurs célèbres, il y a "L'erreur de Kirmse" (*), mathématicien, qui, AFAIK, n'est connu que pour cela !


(*) Détermination des entiers de Cayley

[invite51d17075]

je trouve vraiment très bien ( ludique et instructif ) ces exemples de "fake démo" ( je cherche un nom ) !
certaines sont de haut niveau, ce qui suppose un minimum de background ( mais élèvent quand même ceux qui souhaitent s'y intéresser )
mais j'aime beaucoup celle sur la récurrence, car elle est même accessible pour un lycéen.

[invite9dc7b526]

Tu trouverais sans-doute intéressant le livre de Lakatos "proofs and refutations".

[invite51d17075]

merci pour l'info....je ne connaissais pas du tout.
c'est probablement plus intéressant que le devenu très fameux bouquin de Mr Lehning

[Deedee81]

Parmi les erreurs célèbres, il y a "L'erreur de Kirmse" (*), mathématicien, qui, AFAIK, n'est connu que pour cela !
(*) Détermination des entiers de Cayley

Tiens, je ne connaissais pas. Le pauvre. Tu aurais un lien ? (cela ne semble pas facile à trouver)

[Deedee81]

Je ne connaissais pas non plus les deux livres cités. J'ai été voir, j'ai trouvé des extraits. Surtout pour Lhening. Excellent :

Si un mathématicien vous dit : "Je n'ai jamais fait d'erreur", vous pouvez être sûr qu'il vous ment.
[...]
rien n'est sans doute ressenti de façon plus honteuse que l'erreur en mathématiques.

Il cite Fermat, l'échec de la résolution des trois corps, le retournement de l'aiguille (problème que je connaissais, merci Delahaye), etc.... etc...
et le caractère fécond des erreurs.

Tiens marrant, il parle aussi de la fameuse "déraisonnable efficacité des mathématiques" que moi aussi j'ai épluché en détail dans une vidéo (pas de lien, je ne veux pas faire d'autopromo).

Super intéressant son bouquin, faudra que je le lise.

[Archi3]

Il me semble que l'ensemble de toutes les parties de N qui sont définissables par un nombre fini de mots (c'est à dire tous les ensembles finis, cofinis, et un certain nombre d'ensembles ni finis ni cofinis comme 2 IN) est dénombrable non ? il suffit de ranger les définitions par ordre alphabétique ...

[Deedee81]

Salut,

Il me semble que l'ensemble de toutes les parties de N qui sont définissables par un nombre fini de mots (c'est à dire tous les ensembles finis, cofinis, et un certain nombre d'ensembles ni finis ni cofinis comme 2 IN) est dénombrable non ? il suffit de ranger les définitions par ordre alphabétique ...

Ca dépend comment on les définit. Une définition pouvant définir plusieurs parties. Par "sous-ensembles {x} tels que x appartient à R", pour des parties de R. L'ensemble des parties ainsi définis est non dénombrables (notons que les définitions de Peano, N, R, etc sont toutes finies). Mais si on associe UNE partie à chaque définition, alors oui c'est dénombrable, c'est assez évident.

Mais il n'y a pas de raison de se limiter ainsi, sinon on ne fait plus beaucoup de mathématiques
Ca a par contre son utilité dans les théories des langages (machines de Turing, automates finis, langages récursifs, etc... J'avais trouvé un cours génial sur le net il y a une vingtaine d'années).

[Médiat]

Salut,

Tiens, je ne connaissais pas. Le pauvre. Tu aurais un lien ? (cela ne semble pas facile à trouver)

Cela date de 1925 je crois, le problème était de déterminer l'équivalent des entiers de IR dans les octonions (les entiers relatifs dans IR, les entiers de Gauss dans les complexes, les entiers de Hurwitz dans les quaternions), Kirmse a publié une solutions qui s'est révélée fausse (son ensemble n'était pas fermé pour la multiplication), le pire c'est qu'avec un petit changement dans sa définition il aurait pu trouver 7 solutions correctes différentes (si tu as lu mon document sur les ensembles de nombres, j'en parle plus en détail)

[Médiat]

Bonjour,

Il me semble que l'ensemble de toutes les parties de N qui sont définissables par un nombre fini de mots (c'est à dire tous les ensembles finis, cofinis, et un certain nombre d'ensembles ni finis ni cofinis comme 2 IN) est dénombrable non ? il suffit de ranger les définitions par ordre alphabétique ...

Il est plus correct de parler de définissable par une formule du premier ordre dans le langage de Péano (par exemple), mais dans le fond c'est correct.

[Deedee81]

Cela date de 1925 je crois, le problème était de déterminer l'équivalent des entiers de IR dans les octonions (les entiers relatifs dans IR, les entiers de Gauss dans les complexes, les entiers de Hurwitz dans les quaternions), Kirmse a publié une solutions qui s'est révélée fausse (son ensemble n'était pas fermé pour la multiplication), le pire c'est qu'avec un petit changement dans sa définition il aurait pu trouver 7 solutions correctes différentes (si tu as lu mon document sur les ensembles de nombres, j'en parle plus en détail)

Merci,

J'ai trouvé sur le net le livre dans lequel sa soluce avait été imprimée, mais c'est une brique difficile à consulter (lecture en ligne seulement, ce qui ne facilite pas la lecture).
Mais ton explication est impeccable.
C'est gros comme faute, mais dans une démo un peu complexe je suppose que ça peut vite arriver.

[invite51d17075]

Salut,

Je ne connaissais pas non plus les deux livres cités. J'ai été voir, j'ai trouvé des extraits. Surtout pour Lhening. Excellent :

je l'avais cité un peu par ironie tellement l'auto-promo dans les Q/R me semblait assez "lourdingue".
mais si tu dis qu'il est finalement intéressant, je te fais confiance, mais franchement, il ne me donne plus envie.

[Deedee81]

je l'avais cité un peu par ironie tellement l'auto-promo dans les Q/R me semblait assez "lourdingue".
mais si tu dis qu'il est finalement intéressant, je te fais confiance, mais franchement, il ne me donne plus envie.

Ah oui, je n'avais pas fait attention

En tout cas les passages que j'ai lu étaient chouettes. Mais sans plus

[Médiat]

Bonjour,

Je commence le détricotage (il reste encore bien des choses à dire) :

La première chose "vraie" mais qui cache un petit piège est le "à peu près" de la première phrase. En effet, dans le cas fini, il y a n+1 termes à calculer, mais

si n est impair il suffit d'en calculer la moitié, par contre si n est pair, il y a un terme central à calculer, terme que j'ai passé sous silence par la suite, or c'est ce terme central, qui correspond aux ensembles ni finis ni cofinis et qui change tout, puisque lui est égal à , ce qui donne bien le résultat attendu, et qui, en prime, démontre que est pair.

[invite9dc7b526]

(...)contrairement à ce que pense ces prétentieux de logiciens

au fait, la théorie des ensembles est vue comme faisant partie de la Logique?

[Médiat]

au fait, la théorie des ensembles est vue comme faisant partie de la Logique?

En général, en France et aux USA (les 2 cas que je connais), oui (Logic and foundations of mathematics)

[invite9dc7b526]

ok merci. ---

[Archi3]

Bonjour,

Je commence le détricotage (il reste encore bien des choses à dire) :

La première chose "vraie" mais qui cache un petit piège est le "à peu près" de la première phrase. En effet, dans le cas fini, il y a n+1 termes à calculer, mais

si n est impair il suffit d'en calculer la moitié, par contre si n est pair, il y a un terme central à calculer, terme que j'ai passé sous silence par la suite, or c'est ce terme central, qui correspond aux ensembles ni finis ni cofinis et qui change tout, puisque lui est égal à , ce qui donne bien le résultat attendu, et qui, en prime, démontre que est pair.

et donc que est impair ?

[Médiat]

et donc que est impair ?

Absolument

[Verdurin]

Tandis que est pair.

[Médiat]

Bonjour,

Oui, aussi

[invite51d17075]

et donc que est impair ?

Tandis que est pair.

Alors là, je suis sur les fesses ! mais positivement.
Je vais relire tout cela tranquillement et reviendrais avec une question si j'ai un doute sur un point ou un raisonnement.
merci!

[Médiat]

Alors là, je suis sur les fesses ! mais positivement.

Ce fil illustre comment des choses "vraies" peuvent conduire à des conclusions au mieux sans intérêt, au pire complètement fausses, particulièrement lorsqu'on applique aux infinis des méthodes (des analogies, des raisonnements …) qui marchent dans le cas fini.

Les deux affirmations de Archi3 et Verdurin sont valides, mais qu'en faites-vous ? Pourquoi vous troublent-elles ?

[invite51d17075]

Les deux affirmations de Archi3 et Verdurin sont valides, mais qu'en faites-vous ? Pourquoi vous troublent-elles ?

elles ne me troublent pas, elles m'amusent.
et je n'ai rien envie d'en faire ( à part faire travailler mes neurones pour le fun )

quand au reste, j'ai bien saisi depuis le départ que le principe du "jeu" était de jouer avec ces ambiguïtés possibles liées aux finis/infinis/cofinis…, ainsi qu'à la tendance intuitive de "projeter" tout ce qu'on comprend des ensembles finis sur les ensembles infinis.

ps: j'ai quand même fait un peu de maths , donc je ne suis pas dans la "surprise".

[invite51d17075]

ps: j'ai quand même fait un peu de maths , donc je ne suis pas dans la "surprise".

pour le dire autrement, j'ai bien appris à dépasser ce qui peut sembler contre-intuitif au départ : en maths ou en en physique.

[Médiat]

Désolé de vous avoir dérangé, je tacherai de ne pas réitérer.

[invite51d17075]

Désolé de vous avoir dérangé, je tacherai de ne pas réitérer.

je pars du principe que ce n'est pas ironique.
vous ne m'avez pas dérangé, puisque j'ai bien insisté moi-même sur l'aspect très enrichissant du sujet que vous avez posté.
cordialement.

[invite51d17075]

pour revenir sur mon interrogation précédente, je pense ( à vous de m'orienter si je me trompe ) que dans un des cas on peut faire formellement une bijection avec N et pas dans l'autre ….
suis je sur une bonne piste ?
merci.